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第四章第四章 离散随机信号处理离散随机信号处理 离散时域信号和系统有离散时域信号和系统有时域和频域时域和频域两种表示，两种表示，之前的分析和讨论都是以假定信号为确定性为基础之前的分析和讨论都是以假定信号为确定性为基础的。所谓确定性是指序列在每一点上的值都可以由的。所谓确定性是指序列在每一点上的值都可以由数学表达式，数据链表或某种法则确定，也就是说数学表达式，数据链表或某种法则确定，也就是说信号的过去、当前和未来的值都是确知的。对于确信号的过去、当前和未来的值都是确知的。对于确定性信号，我们可以用定性信号，我们可以用Z Z变换或者傅里叶变换变换或者傅里叶变换来表示。来表示。然而在实际工程问题中，我们遇到的离散时间然而在实际工程问题中，我们遇到的离散时间信号或数据往往是无法用确定的数学解析式或数据信号或数据往往是无法用确定的数学解析式或数据链表来表示的，有可能描述这种信号的参变量是随链表来表示的，有可能描述这种信号的参变量是随机变量，我们将这类信号称为随机信号。机变量，我们将这类信号称为随机信号。例如信号：例如信号：，如果其中的参变量除了时，如果其中的参变量除了时间变量间变量t t以外，以外，都是常数，那么该信号有确定的变换都是常数，那么该信号有确定的变换规律，每一时刻的值都可以唯一确定，即为规律，每一时刻的值都可以唯一确定，即为确定性信号确定性信号；如；如果其中的参变量除了时间果其中的参变量除了时间t t变量以外，变量以外，有一个为随机有一个为随机变量时，该信号的波形都是不确定的，是变量时，该信号的波形都是不确定的，是随机信号随机信号，它的每，它的每一次实现都是一个一次实现都是一个随机样本随机样本。因此，不同于确定性信号，我们用因此，不同于确定性信号，我们用统计方法统计方法来描述随机来描述随机信号，即它的特征由一组概率密度函数来刻画。对于随机信信号，即它的特征由一组概率密度函数来刻画。对于随机信号，其号，其Z Z变换和傅里叶变换显然都是不存在的，然而在随机信变换和傅里叶变换显然都是不存在的，然而在随机信号广义平稳的条件下，我们却可以利用号广义平稳的条件下，我们却可以利用自相关序列和自协方自相关序列和自协方差序列差序列来描述随机信号的性质，这两个序列都是确定性的，来描述随机信号的性质，这两个序列都是确定性的，且且自协方差序列的自协方差序列的Z Z变换和傅里叶变换通常是存在变换和傅里叶变换通常是存在的，其傅里的，其傅里叶变换可以解释为叶变换可以解释为信号功率的频域分布信号功率的频域分布。这种解释使得离散。这种解释使得离散随机信号可以在随机信号可以在频域频域进行分析和处理，而且离散随机信号通进行分析和处理，而且离散随机信号通过线性系统以后的输出也可以用过线性系统以后的输出也可以用自协方差序列自协方差序列来描述。来描述。信号的分类如图信号的分类如图4-54-5（书上（书上144144页）页）信号分为信号分为确定性信号确定性信号和和随机信号随机信号两大类。两大类。平稳随机信号平稳随机信号的统计特性不随时间的平移而变化的统计特性不随时间的平移而变化广义平稳随机信号广义平稳随机信号是指均值和相关函数都不随时间是指均值和相关函数都不随时间的平移而变化的信号的平移而变化的信号各态历经信号各态历经信号是宽平稳信号的一种，它的所以样本是宽平稳信号的一种，它的所以样本函数是某一固定时刻的统计特性和单一样本函数在函数是某一固定时刻的统计特性和单一样本函数在无限长时间内的统计特性相同。无限长时间内的统计特性相同。平稳随机信号的数字特征平稳随机信号的数字特征各态历经随机信号的数字特征各态历经随机信号的数字特征1 1、数学期望、数学期望 2 2、均方值、均方值3 3、方差、方差 4 4、自相关序列、自相关序列5 5、自协方差序列、自协方差序列 6 6、互相关、互协方差序列、互相关、互协方差序列1 1、数学期望、数学期望 2 2、均方值、均方值3 3、方差、方差 4 4、自相关序列、自相关序列5 5、自协方差序列、自协方差序列 6 6、互相关、互协方差序列、互相关、互协方差序列 在本章中，我们将学习在本章中，我们将学习离散随机信号的频谱，离散随机信号的频谱，离散线性系统对随机信号的响应和离散线性系统对随机信号的响应和FIRFIR最优滤波和线最优滤波和线性预测等内容，即课本的性预测等内容，即课本的2 24 4节节。在这些内容的讨论过程中，会涉及到概率论和在这些内容的讨论过程中，会涉及到概率论和随机过程的一些知识。由于随机信号的理论非常高随机过程的一些知识。由于随机信号的理论非常高深、抽象，严格讨论需要较高的数学水平，因此我深、抽象，严格讨论需要较高的数学水平，因此我们主要目的是收集和解释有关随机过程的一些具体们主要目的是收集和解释有关随机过程的一些具体结果和结论，这些结果和结论无论在本课程的学习结果和结论，这些结果和结论无论在本课程的学习还是具体的工程实践中都非常有用。还是具体的工程实践中都非常有用。离散随机信号的频谱离散随机信号的频谱(功率谱功率谱)假设平稳离散随机过程假设平稳离散随机过程 是实序列，则其自相关序列是实序列，则其自相关序列和自协方差序列和自协方差序列 定义为：定义为：其中其中性质：性质：1 1、均方值；均方值；方差方差2 2、，为偶函数，为偶函数4 4、对于大多数随机过程，他们各个随机变量如果在时间上间、对于大多数随机过程，他们各个随机变量如果在时间上间隔越远，之间的相关性就越弱，当时间间隔趋于无穷远时，随隔越远，之间的相关性就越弱，当时间间隔趋于无穷远时，随机变量之间就趋于独立，即机变量之间就趋于独立，即 对于平稳随机信号对于平稳随机信号x(n)x(n)，如果，如果 ，则则 ，且，且 ，即即 ，是绝对可和的是绝对可和的所以当所以当 时，时，存在傅里叶变换和存在傅里叶变换和Z Z变换，变换，即有即有 ，功率谱密度函数，功率谱密度函数或叫功率密度谱函数或叫功率密度谱函数即此时即此时 与与 为一傅里叶变换对为一傅里叶变换对1 1 ，为信号的平均功率，为信号的平均功率2 2 ，即功率谱非负，即功率谱非负 且且 ，为实偶函数为实偶函数例例1 1：白噪声：白噪声，其，其例例2 2：带限白噪声：带限白噪声，其，其，例例3 3：正弦离散随机信号：正弦离散随机信号 ，其中其中 ，为常数，为常数，为在为在 区间内均匀分布的随机变区间内均匀分布的随机变量即量即 ，则，则均值均值自相关函数自相关函数功率谱密度功率谱密度四、修正四、修正若若，则定义，则定义即即则有则有 可见修正后的随机序列的自相关同原随机序列自相关之间可见修正后的随机序列的自相关同原随机序列自相关之间只差一常数只差一常数 有均值随机信号的功率谱密度和去均值后的随机信号功率有均值随机信号的功率谱密度和去均值后的随机信号功率谱密度，除在谱密度，除在w=0w=0处差处差 之外，在其它之外，在其它w w之处的功率谱密度是一之处的功率谱密度是一样的。样的。线性系统线性系统对随机信号的响应对随机信号的响应 在第一章，我们讨论了输入为确定离散时间信号时，线在第一章，我们讨论了输入为确定离散时间信号时，线性非时变系统的响应问题，分别得出了系统响应的时域和频性非时变系统的响应问题，分别得出了系统响应的时域和频域表示。本节将在随机信号模型表示信号的情况下，讨论线域表示。本节将在随机信号模型表示信号的情况下，讨论线性系统对随机信号响应的时域和频域分析。性系统对随机信号响应的时域和频域分析。假设一个稳定的线性非时变系统，其单位脉冲响应为假设一个稳定的线性非时变系统，其单位脉冲响应为h(n)h(n)，输入序列，输入序列x(n)x(n)是广义平稳离散随机过程的一个样本，输出序是广义平稳离散随机过程的一个样本，输出序列列y(n)y(n)是输出随机过程的一个样本，与是输出随机过程的一个样本，与x(n)x(n)存在线性变换关系存在线性变换关系如下如下:其中其中为直流分量。为直流分量。1.1.一个均值为常数的广义平稳随机信一个均值为常数的广义平稳随机信号输入一个线性系统，其输出仍为号输入一个线性系统，其输出仍为均值是常数的广义平稳随机信号，均值是常数的广义平稳随机信号，只是输出均值按线性系统的直流增只是输出均值按线性系统的直流增益增减一个倍数。益增减一个倍数。2 2输出信号输出信号y(n)y(n)的自相关序列的自相关序列即即讨论：讨论：(1).(1).由于自相关函数由于自相关函数 与起始时刻与起始时刻n n无关，仅与时间无关，仅与时间 差差m m有关，因此输出随机过程有关，因此输出随机过程y(n)y(n)也是平稳的。也是平稳的。(2).(2).定义定义 ，为系统单，为系统单 位冲激响应自相关函数，所以线性系统输出的自相关是位冲激响应自相关函数，所以线性系统输出的自相关是 输入的自相关和系统单位冲激响应自相关的卷积和。输入的自相关和系统单位冲激响应自相关的卷积和。(3).(3).输出随机过程自相关函数的输出随机过程自相关函数的Z Z变换，变换，其中其中 为系统单位冲激响应自相关函数的为系统单位冲激响应自相关函数的Z Z变换：变换：输出随机过程输出随机过程y(n)y(n)的功率谱密度为的功率谱密度为而而 其中其中表示直流信号功率，表示直流信号功率，表示交流信号功率。表示交流信号功率。若若 ，则，则 ，即，即 ，则有，则有 关于关于 的推导：的推导：(a).(b).例如：假设例如：假设 是一个理想的带通滤波器，通带为是一个理想的带通滤波器，通带为即即 ，若输入信号，若输入信号x(n)x(n)的均值的均值 ，且功，且功率谱密度为率谱密度为 ，则输出信号功率为，则输出信号功率为考虑到考虑到 为实偶函数，所以最后一等号成立。为实偶函数，所以最后一等号成立。3 3定义线性系统输入和输出之间的互相关为定义线性系统输入和输出之间的互相关为 即线性系统输入和输出之间的互相关是系统单位冲激响即线性系统输入和输出之间的互相关是系统单位冲激响应和输入自相关序列的卷积和。应和输入自相关序列的卷积和。对于输入与输出的互相关，有对于输入与输出的互相关，有 可见，互功率谱正比于系统的频率响应，利用这一点，可见，互功率谱正比于系统的频率响应，利用这一点，给一个未知线性非时变系统加上一个白噪声输入，观测该系给一个未知线性非时变系统加上一个白噪声输入，观测该系统对它的响应，就可以通过估计互功率谱来估计这个系统的统对它的响应，就可以通过估计互功率谱来估计这个系统的频率响应和冲激响应。频率响应和冲激响应。FIRFIR最优滤波和线性预测最优滤波和线性预测 在通信系统、控制系统、地质勘测等很多工程应用在通信系统、控制系统、地质勘测等很多工程应用中，通过设计滤波器来实现信号估计是我们经常会碰到中，通过设计滤波器来实现信号估计是我们经常会碰到的问题。在这一章中，我们从统计的观点出发，基于最的问题。在这一章中，我们从统计的观点出发，基于最小均方误差的准则设计最优的线性滤波器。因此，对于小均方误差的准则设计最优的线性滤波器。因此，对于平稳信号而言，在设计的过程中只要用到二阶统计量，平稳信号而言，在设计的过程中只要用到二阶统计量，包括信号的自相关函数和互相关函数。包括信号的自相关函数和互相关函数。一、最佳滤波和维纳霍普方程一、最佳滤波和维纳霍普方程 设广义平稳随机信号设广义平稳随机信号 ，其中，其中s(n)s(n)为信为信号，号，w(n)w(n)为加性噪声或测量误差。要求设计能够实现最佳滤为加性噪声或测量误差。要求设计能够实现最佳滤波的波的FIRFIR滤波器，对滤波器，对x(n)x(n)做滤波处理，使输出信号做滤波处理，使输出信号y(n)y(n)能够按能够按最优准则逼近有用信号最优准则逼近有用信号s(n)s(n)。最优准则：滤波器输出与输入信号之间的均方误差为最小最优准则：滤波器输出与输入信号之间的均方误差为最小。求解以上方程，即可求得求解以上方程，即可求得FIRFIR滤波器系数滤波器系数h(k)h(k)，其中其中 按最小均方误差准则设计的最优按最小均方误差准则设计的最优FIRFIR滤波器，其均方误差为滤波器，其均方误差为当满足维纳霍普方程时，当满足维纳霍普方程时，可得最小均方误差为可得最小均方误差为例例1 1：假设信号：假设信号s(n)s(n)，有，有 ，w(n)w(n)是与是与s(n)s(n)统计独立统计独立的实白噪声，且方差的实白噪声，且方差 ，试按最小均方误差准则设计，试按最小均方误差准则设计2 2阶最阶最优优FIRFIR滤波器。滤波器。解：对于解：对于w(n)w(n)，有，有 ，所以，所以 二、线性预测二、线性预测 定义：根据已知的前定义：根据已知的前p p个观测样本，预测当前时刻的信号个观测样本，预测当前时刻的信号x(n)x(n)的估值的估值 。即已知。即已知x(n-p)x(n-p)，x(n-p+1)x(n-p+1)，x(n-1)x(n-1)，预，预测测x(n)x(n)。定义预测误差：定义预测误差：则预测均方误差为：则预测均方误差为：将均方误差看成是预测系数将均方误差看成是预测系数 的函数，求解最的函数，求解最优线性预测时的优线性预测时的 ，令，令其中其中且最小均方误差为且最小均方误差为 联立以上两式，可得联立以上两式，可得 尤拉沃克尤拉沃克(Yule-Walker)(Yule-Walker)方程方程 注意：将尤拉沃克方程和维纳霍普方程比较，可见尤拉注意：将尤拉沃克方程和维纳霍普方程比较，可见尤拉沃克方程是维纳霍普方程的一种应用形式，可以由它推导出沃克方程是维纳霍普方程的一种应用形式，可以由它推导出来。因此，线性预测误差来。因此，线性预测误差 和时刻和时刻n n之前之前(包括时刻包括时刻n)n)的的p p点点输入序列输入序列x(n-m)x(n-m)，严格正交，即严格正交，即