数学研究的一般方法.ppt

第二章第二章 数学研究的一般方法数学研究的一般方法 数学研究的一般方法，就是指数学研究数学研究的一般方法，就是指数学研究过程中的基本方法。它们是：过程中的基本方法。它们是：观察法与观察法与实验法；实验法；划分与比较；划分与比较；分析与综合；分析与综合；抽象与概括；抽象与概括；一般化与特殊化。在数一般化与特殊化。在数学教学中恰当地运用这些方法，将有助于学教学中恰当地运用这些方法，将有助于提高教学质量，也有助于培养学生良好的提高教学质量，也有助于培养学生良好的数学素质。数学素质。1 观察法与实验法观察法与实验法观察法和实验法是获取经验材料的基本途径，是形成、发观察法和实验法是获取经验材料的基本途径，是形成、发展和验证科学理论的实践基础，也是自然科学研究中十分展和验证科学理论的实践基础，也是自然科学研究中十分重要的方法和数学方法论种最基本的方法之一。重要的方法和数学方法论种最基本的方法之一。一、观察法一、观察法（一）观察法的含义（一）观察法的含义前苏联数学教育家前苏联数学教育家B.A.B.A.奥加涅相认为：观察是人们对客观奥加涅相认为：观察是人们对客观世界的各个客观事物和现象，在其自然条件下，按照客观世界的各个客观事物和现象，在其自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系的方法。的方法。从数学的角度来说，观察就是人们对事物或问题的数学特从数学的角度来说，观察就是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获取信息，运用思维辨认其形式、结构和数量征通过视觉获取信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。关系，从而发现某些规律或性质的方法。在数学知识的发现和解决数学问题的过程中，观察法是常在数学知识的发现和解决数学问题的过程中，观察法是常用的有效方法之一。用的有效方法之一。（二）观察法的作用（二）观察法的作用1 1在数学中，通过观察不仅可以收集新材料，发在数学中，通过观察不仅可以收集新材料，发现新事实，获得新知识，而且常常还可以促使数现新事实，获得新知识，而且常常还可以促使数学的发现和理论的创新。学的发现和理论的创新。2 2在数学教学中，观察具有重要的作用。通过观在数学教学中，观察具有重要的作用。通过观察既可深入了解事物的本质，有助于数学概念的察既可深入了解事物的本质，有助于数学概念的形成，也可把握事物间的关系，有助于数学命题形成，也可把握事物间的关系，有助于数学命题的发现。的发现。3 3对于数学解题教学，通过观察可发现已知与未对于数学解题教学，通过观察可发现已知与未知或结论之间的联系，从而实现解题思路的突破，知或结论之间的联系，从而实现解题思路的突破，有助于迅速而且正确地找到解题方法。有助于迅速而且正确地找到解题方法。二、实验法二、实验法（一）实验法的含义（一）实验法的含义一般来说，实验就是按照科学研究的目的，一般来说，实验就是按照科学研究的目的，根据研究对象的自然状态和自身发展规律，根据研究对象的自然状态和自身发展规律，人为地设置条件，来引起或控制事物现象人为地设置条件，来引起或控制事物现象的发生或发展过程，并通过感观来认识对的发生或发展过程，并通过感观来认识对象和规律的方法。象和规律的方法。实验总是和观察相联系的，观察常常可用实验总是和观察相联系的，观察常常可用实验作基础，而实验又可使观察得到的性实验作基础，而实验又可使观察得到的性质或规律得以重现或验证。实验法也是解质或规律得以重现或验证。实验法也是解决某些数学问题的有效方法。决某些数学问题的有效方法。（二）实验法的作用（二）实验法的作用1具有简化和纯化数学对象的作用。具有简化和纯化数学对象的作用。2具有强化数学对象的作用。具有强化数学对象的作用。3具有重复再现研究对象的作用。具有重复再现研究对象的作用。例例2证明平面几何中的“三角形内角和定理”教师在讲授此定理时，一般可通过定量实验引导学生发现这一定理，如用量角器测量三角形内角并求和也可以用割补法用纸片剪下一个三角形，然后“撕下”两个角，并将它们拼在另一个角的顶点处，这样三角形的三个内角就可结合在一起形成一个平角。这个实验不仅帮助我们建立命题，而且还这个实验不仅帮助我们建立命题，而且还提供了一种证明此命题的方法。提供了一种证明此命题的方法。在以上问题的解题过程中充分显示出实验在以上问题的解题过程中充分显示出实验法的重要作用。法的重要作用。通过观察、实验的途径，我们可以获得各通过观察、实验的途径，我们可以获得各种各样的经验材料，这是我们发现数学真种各样的经验材料，这是我们发现数学真理的基础。理的基础。2 划分法与比较法划分法与比较法划分法和比较法是数学研究的一般方法，划分法和比较法是数学研究的一般方法，也是自然科学研究中对感性材料进行初步也是自然科学研究中对感性材料进行初步加工的方法。加工的方法。一、划分法一、划分法（一）划分法的标准、意义及规则（一）划分法的标准、意义及规则划分是指按照事物间的异同，将相同性质的对象划分是指按照事物间的异同，将相同性质的对象归为一类，不同性质的对象归入不同类别的思维归为一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方法。每一种分类都按照一定的标准进行。其标方法。每一种分类都按照一定的标准进行。其标准应根据研究的目的或观察问题的角度来确定。准应根据研究的目的或观察问题的角度来确定。划分的意义在于使知识条理化，并进而系统化，划分的意义在于使知识条理化，并进而系统化，促进认知结构的发展。数学上的划分包括对概念促进认知结构的发展。数学上的划分包括对概念的划分、对性质的划分、方法的整理以及解题中的划分、对性质的划分、方法的整理以及解题中的分域讨论等。的分域讨论等。任何划分都包含三个部分：划分的母项、划分的任何划分都包含三个部分：划分的母项、划分的子项以及划分的标准。子项以及划分的标准。1对概念的划分对概念的划分概念的内涵可以通过定义来揭示，概念的概念的内涵可以通过定义来揭示，概念的外延则可借助划分来揭示。外延则可借助划分来揭示。对概念的划分就是把一个概念按照一定的对概念的划分就是把一个概念按照一定的标准分为若干各种概念的逻辑方法。划分标准分为若干各种概念的逻辑方法。划分的母项就是被划分的概念；划分的子项就的母项就是被划分的概念；划分的子项就是从母项划分出来的各个种概念；划分的是从母项划分出来的各个种概念；划分的标准就是据以划分的属性。标准就是据以划分的属性。（1）划分的几种形式）划分的几种形式一次划分；一次划分；连续划分；连续划分；复分；复分；二分法二分法通过对概念进行划分，可以帮助学生把所学的知通过对概念进行划分，可以帮助学生把所学的知识系统化，正确地理解各个概念之间的关系，划识系统化，正确地理解各个概念之间的关系，划分也可以作为对于某些类型问题的推理分析方法。分也可以作为对于某些类型问题的推理分析方法。对概念进行划分，除了要掌握划分的方式外，还对概念进行划分，除了要掌握划分的方式外，还必须遵守划分的要求（规则）。必须遵守划分的要求（规则）。（2）划分的基本要求）划分的基本要求划分必须是相称的；划分必须是相称的；划分的各子项之间的关划分的各子项之间的关系必须是不相容关系；系必须是不相容关系；每一次划分必须按同一每一次划分必须按同一标准进行；标准进行；划分不能越级划分不能越级 2对对象的划分对对象的划分 在中学数学里，把问题按所研究的对象来在中学数学里，把问题按所研究的对象来划分，有算术题、代数题、几何题、三角划分，有算术题、代数题、几何题、三角题、微积分题等等。任何问题必须放在一题、微积分题等等。任何问题必须放在一个确定的系统中去研究，才有确定的意义个确定的系统中去研究，才有确定的意义和解答。按所研究的对象来划分，可明确和解答。按所研究的对象来划分，可明确其所属的数学系统，这样就有了研究问题其所属的数学系统，这样就有了研究问题的科学基础和依据；由此，在所属的数学的科学基础和依据；由此，在所属的数学系统中，就可根据有关的基础知识、解题系统中，就可根据有关的基础知识、解题经验和方法来解决问题。经验和方法来解决问题。（二）举例（二）举例例例1 从从1到到300之间取之间取3个不同的整数个不同的整数,使此使此 3数之和能被数之和能被3整除整除,有多少种取法有多少种取法?运用分类思想可以得到解题的一个运用分类思想可以得到解题的一个重要工具重要工具抽屉原则抽屉原则“抽屉原则抽屉原则”包括以下三项原则：包括以下三项原则：原则一：把多于个的元素按任一确定的分成个集合，那么原则一：把多于个的元素按任一确定的分成个集合，那么一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素原则二：把多于个的元素按任一确定的方式分成个集合，原则二：把多于个的元素按任一确定的方式分成个集合，则必定有一个集合中含有个或个以上的元素则必定有一个集合中含有个或个以上的元素原则地显然是原则一的推广原则地显然是原则一的推广原则三：把无穷多个元素分成有穷个集合（按一定的方式）原则三：把无穷多个元素分成有穷个集合（按一定的方式），则至少有一个集合含无穷多个元素，则至少有一个集合含无穷多个元素分成的一个分成的一个“集合集合”，可以形象地比喻为一个个的抽屉，可以形象地比喻为一个个的抽屉，而解题的关键正在于设计合乎题意的而解题的关键正在于设计合乎题意的“抽屉抽屉”。二、比较法二、比较法（一）比较法的含义（一）比较法的含义所谓比较，就是在思维中确定两个所谓比较，就是在思维中确定两个或两个以上对象，或同一对象在不同的时或两个以上对象，或同一对象在不同的时间、条件下的共同点和不同点，比较是在间、条件下的共同点和不同点，比较是在分析与综合的基础上进行的，要使学生经分析与综合的基础上进行的，要使学生经抽象概括得到理性认识必须通过比较。抽象概括得到理性认识必须通过比较。在人们的社会实践，特别是在科学研究中，比较在人们的社会实践，特别是在科学研究中，比较作为一种科学方法普遍地被应用，作为一种科学方法普遍地被应用，“有比较才能有比较才能有鉴别有鉴别”，通过比较，可以从思想上把握现实世，通过比较，可以从思想上把握现实世界对象的本质特征和非本质特征，反映客观事物界对象的本质特征和非本质特征，反映客观事物相互对立又相互联系而存在的实际情况，达到正相互对立又相互联系而存在的实际情况，达到正确认识事物的目的。正如俄国教育家乌申斯基确认识事物的目的。正如俄国教育家乌申斯基（K.）所说：）所说：“比较是一切理解比较是一切理解和一切思维的基础。我们正是通过比较来了解世和一切思维的基础。我们正是通过比较来了解世界上的一切的，如果我们面前出现某种新的东西，界上的一切的，如果我们面前出现某种新的东西，我们既不能拿它去同什么东西比较，又不能把它我们既不能拿它去同什么东西比较，又不能把它同什么东西区别开来同什么东西区别开来那么，我们就不能对它那么，我们就不能对它形成一种思想，也不能对它说出一句话来。形成一种思想，也不能对它说出一句话来。”（二）数学解题中的比较方法（二）数学解题中的比较方法在数学教学中，有经验的教师通过旧知识在数学教学中，有经验的教师通过旧知识引进新知识，学生在新旧知识的比较中，引进新知识，学生在新旧知识的比较中，提出疑问，创设问题情境。比较在数学学提出疑问，创设问题情境。比较在数学学习中不仅是一种科学的认识方法，而且已习中不仅是一种科学的认识方法，而且已发展成为一种独立的数学解题方法。发展成为一种独立的数学解题方法。1概念或同类事物的比较概念或同类事物的比较2用比较法证明不等式用比较法证明不等式（1）作差法）作差法量值大小比较的基本思想是：量值大小比较的基本思想是：例例3 求证：周长相等的圆与正方形求证：周长相等的圆与正方形中，以圆的面积为大。中，以圆的面积为大。（2）作商法）作商法其依据是：3 分析法与综合法分析法与综合法自然界的一切事物都是由部分组成的统一自然界的一切事物都是由部分组成的统一整体。作为思维方法的分析与综合，就是整体。作为思维方法的分析与综合，就是以整体和部分的矛盾关系为基础，由思维以整体和部分的矛盾关系为基础，由思维主体对认识对象按照一定目标进行的分解主体对认识对象按照一定目标进行的分解与组合。与组合。一、分析法一、分析法（一）分析法的含义（一）分析法的含义一般地，分析是指对研究对象的整体进行一般地，分析是指对研究对象的整体进行分解、剖析，以达到认识对象的各个部分分解、剖析，以达到认识对象的各个部分的性质或各个部分在整体中的作用所采用的性质或各个部分在整体中的作用所采用的思维方法。因为对部分或要素的认识是的思维方法。因为对部分或要素的认识是对整体事物认识的基础，所以分析是抽象对整体事物认识的基础，所以分析是抽象的前提。的前提。例如，我们在研究数的概念时，把实数分例如，我们在研究数的概念时，把实数分为有理数和无理数，又把有理数分为正数、为有理数和无理数，又把有理数分为正数、零和负数，再把正数分为正整数（自然数）零和负数，再把正数分为正整数（自然数）和正分数来逐一研究，从而认识各种数的和正分数来逐一研究，从而认识各种数的实际意义及其运算等，这种研究方法就是实际意义及其运算等，这种研究方法就是分析法。分析法。而在数学中，分析还特指从结果（或结论）而在数学中，分析还特指从结果（或结论）出发追溯其产生原因的思维方法，即执果出发追溯其产生原因的思维方法，即执果索因法。有时候，我们又把分析看成是主索因法。有时候，我们又把分析看成是主要从数量方面研究客观事物的性质的研究要从数量方面研究客观事物的性质的研究方法。在中学数学中，关于解题途径和方方法。在中学数学中，关于解题途径和方法的说明，也叫法的说明，也叫“分析分析”。（二）分析和逆推（二）分析和逆推分析在数学中还特指从结果（或结论）出发追溯分析在数学中还特指从结果（或结论）出发追溯其产生原因的思维方法，即执果索因法。这种方其产生原因的思维方法，即执果索因法。这种方法又分为两种：一种是逆求法；另一种是逆推法。法又分为两种：一种是逆求法；另一种是逆推法。如果在执果索因过程中，每一步分析得到的是充如果在执果索因过程中，每一步分析得到的是充要条件，即所进行的变换是等价变换时，则称这要条件，即所进行的变换是等价变换时，则称这种方法是逆推法。其思维过程的主干可表示为：种方法是逆推法。其思维过程的主干可表示为：如果每一步分析是从结论出发寻求其成立如果每一步分析是从结论出发寻求其成立的充分条件，则这种方法称为逆求法。其的充分条件，则这种方法称为逆求法。其思维过程的主干可表示为：思维过程的主干可表示为：由以上例题可以看出，在分析过程中，分析思路是十分重要的只要有了正确明晰的分析思路，就可以按照分析法的推理模式，逐步将分析过程写出来，同时也就完成了分析证明（三）分析法的作用1分析法是认识事物的一种方法2分析法是科学研究的一种方法3分析法在中学数学教学中有着重要的作用（1）分析法是中学数学中的一种重要的解题方法（2）分析法有利于锻炼、培养和提高学生的逻辑思维能力二、综合法二、综合法（一）综合法的含义（一）综合法的含义综合是在分析的基础上把对研究对象的各个部分、综合是在分析的基础上把对研究对象的各个部分、方面、要素和层次有机地联系起来、结合起来加方面、要素和层次有机地联系起来、结合起来加以综合研究，从而在整体上把握事物的本质及规以综合研究，从而在整体上把握事物的本质及规律，以形成对研究对象整体认识的思维方法。也律，以形成对研究对象整体认识的思维方法。也就是在从事物的各个部分、方面、因素和层次的就是在从事物的各个部分、方面、因素和层次的特点、属性出发，寻找它们间的内在联系的基础特点、属性出发，寻找它们间的内在联系的基础上，进行概括与上升（即综合），认识整体事物上，进行概括与上升（即综合），认识整体事物的本质规律的一种方法。的本质规律的一种方法。所以分析的终点就是综合的起点。综合是所以分析的终点就是综合的起点。综合是以已知性质和分析为基础的，从已知出发以已知性质和分析为基础的，从已知出发逐步推求未知的思考方法，即由因导果法。逐步推求未知的思考方法，即由因导果法。综合思维是一种侧重于整理性的思维，是综合思维是一种侧重于整理性的思维，是数学中表达求解、论证过程的基本方法。数学中表达求解、论证过程的基本方法。但是综合并不是分析结果的简单相加，由但是综合并不是分析结果的简单相加，由于研究对象各部分或各方面性质的有机联于研究对象各部分或各方面性质的有机联结，往往会发现许多新的联系和性质，因结，往往会发现许多新的联系和性质，因此它并不排斥发现性的一面。此它并不排斥发现性的一面。此题用综合法探索时，其思路可表示如下：（二）综合法的作用（二）综合法的作用1综合法是认识事物的一种方法综合法是认识事物的一种方法2综合法是进行科学研究的一种方法3综合法在中学数学教学中有着重要的作用（1）综合法是中学数学中一种重要的论证方法（2）综合法对于培养学生的逻辑推理能力具有十分重要的作用4综合法克服了分析法的局限性（三）分析法与综合法的关系在数学中，分析与综合是辩证统一的两个方面。分析与综合之间，既相互依存、相互补充、相互渗透、相互转化、相辅相成，又相互否定、相互对立，以致形成对立的统一，构成统一的“分析综合法”。在实际解题时，要根据问题的特点灵活运用这两种基本方法。思考的过程重在探索和分析，表述的过程则需要整理和综合。但是更多的场合是交替地使用分析和综合，即采用分析综合法进行思考，使问题更快地得到解决。4 抽象法与概括法抽象法与概括法 抽象法与概括法也是数学方法论中的重抽象法与概括法也是数学方法论中的重要方法，它们在科学研究和教学中都具有要方法，它们在科学研究和教学中都具有重要的地位和作用。重要的地位和作用。一、抽象法一、抽象法（一）抽象法的含义（一）抽象法的含义 抽象法就是透过事物的现象，深入里层，抽取抽象法就是透过事物的现象，深入里层，抽取事物本质的一种过程和方法。事物本质的一种过程和方法。数学中的抽象就是仅考虑问题的有关数、形方面数学中的抽象就是仅考虑问题的有关数、形方面的主要特征、主要关系，尽可能用数学概念、数的主要特征、主要关系，尽可能用数学概念、数学符号、数学表达式去表现事物对象及关系，而学符号、数学表达式去表现事物对象及关系，而舍弃其余一切次要因素。这样，我们就可将一个舍弃其余一切次要因素。这样，我们就可将一个实际问题转化成一个数学问题，建立起相应的数实际问题转化成一个数学问题，建立起相应的数学模型。对这个模型建立一套逻辑系统，就得到学模型。对这个模型建立一套逻辑系统，就得到相应的数学理论，然后求得问题的解答。相应的数学理论，然后求得问题的解答。（二）抽象法的种类（二）抽象法的种类数学抽象的具体形式是多种多样的，常用的有以下几种：数学抽象的具体形式是多种多样的，常用的有以下几种：1理想化抽象理想化抽象这是在纯粹理想的状态下，对事物进行简单化、完善化的这是在纯粹理想的状态下，对事物进行简单化、完善化的加工处理，撇开事物的具体内容，排除次要的、偶然的因加工处理，撇开事物的具体内容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的、共同的、本质的属性，抽象出相素，聚合事物的一般的、共同的、本质的属性，抽象出相应的数学概念，它是建立数学概念的一种基本方法。由理应的数学概念，它是建立数学概念的一种基本方法。由理想化抽象形成的数学概念的性质，并非必然的客观事物本想化抽象形成的数学概念的性质，并非必然的客观事物本身所具有，而是从实际事物中分离出来经过思维的加工而身所具有，而是从实际事物中分离出来经过思维的加工而得到的。得到的。例如，几何中点、线、面、体等概念的引入，就是理想化例如，几何中点、线、面、体等概念的引入，就是理想化抽象的典型例子。抽象的典型例子。例例1 7只茶杯，杯口朝上。将其中只茶杯，杯口朝上。将其中4只翻转只翻转过来（杯口朝上的变为杯口朝下，杯口朝过来（杯口朝上的变为杯口朝下，杯口朝下的变为杯口朝上），称为一次下的变为杯口朝上），称为一次“运动运动”。试问：是否能经过有限多次运动，使得茶试问：是否能经过有限多次运动，使得茶杯的杯口全部朝下？杯的杯口全部朝下？在利用理想化抽象解决实际问题时，进行在利用理想化抽象解决实际问题时，进行“适当适当”的抽象是关键，既不能使问题过的抽象是关键，既不能使问题过于简单化，与实际情况有较大的出入，也于简单化，与实际情况有较大的出入，也不能使抽象后的数学问题过于复杂，以致不能使抽象后的数学问题过于复杂，以致不能顺利解决。不能顺利解决。2等价抽象（亦称等置抽象）。这是从一等价抽象（亦称等置抽象）。这是从一类对象（具体的或抽象的个体）抽出其中类对象（具体的或抽象的个体）抽出其中具有某种共同属性的抽象方法。具有某种共同属性的抽象方法。3强抽象与弱抽象强抽象与弱抽象强抽象是指在已知概念中，加强对某一属强抽象是指在已知概念中，加强对某一属性的限制，抽象出作为原概念特例的新概性的限制，抽象出作为原概念特例的新概念的方法。也就是通过扩大原概念的内涵，念的方法。也就是通过扩大原概念的内涵，以建立新概念的抽象方法。以建立新概念的抽象方法。弱抽象是指在已知概念中，减弱对某一属弱抽象是指在已知概念中，减弱对某一属性的限制，抽象出比原概念更加广泛的新性的限制，抽象出比原概念更加广泛的新概念，使原概念成为新概念的特例的方法。概念，使原概念成为新概念的特例的方法。也就是通过缩小原概念的内涵，以建立新也就是通过缩小原概念的内涵，以建立新概念的抽象方法。概念的抽象方法。4存在性抽象存在性抽象这是指在研究问题的过程中，有时抽象出这是指在研究问题的过程中，有时抽象出来的数学概念，起初人们往往认为是不存来的数学概念，起初人们往往认为是不存在的，这时可以假设其存在，并由此推出在的，这时可以假设其存在，并由此推出一定的数学理论，然后再在理论与实践的一定的数学理论，然后再在理论与实践的结合中加以验证，从而确定新的数学理论结合中加以验证，从而确定新的数学理论的合理性。的合理性。（三）抽象法的作用（三）抽象法的作用1概念是抽象思维的结果概念是抽象思维的结果2抽象法在科学发现中起着重要作用抽象法在科学发现中起着重要作用 例如，哥尼斯堡七桥问题。例如，哥尼斯堡七桥问题。十八世纪欧洲东普鲁士（前苏联加里宁格勒）有个名叫哥尼斯堡的城市近郊有一条河，河中有两个岛，两岸与两岛之间架有七座桥哥尼斯堡是一个著名的大学城，它位于布勒尔河两条支流之间，那里有桥联着一个岛和一个半岛，岛上有所古老的大学如图，每天傍晚，位于岛C的哥尼斯堡大学的学生们总要在这七座大桥之间散步，游览被大河隔成四块（陆地A、B，岛C和半岛D）的哥尼斯堡风光当时的大学生们曾热衷于这样一个难题：一个散步者能否一次走遍这七座桥，最后又回到出发点？并且每座桥只能走过一次，不许重复这就是著名的哥尼斯堡七桥问题这个问题看起来不难，谁都愿意试试可是，大学生们始终达不到目的于是，有人写信给当时的大数学家欧拉请求帮助1736年欧拉终于解决了这个问题，并且在圣彼得堡科学院的例会上作了一个专门的学术报告欧拉是如何解决七桥问题的呢？首先，他运用抽象方法把七桥问题抽象为一个数学问题他把岛、半岛和陆地抽象成一个点，把桥抽象成一条线，就得到如下图形。这样就显然比原来那幅由桥、岛、陆地等构成的地图简单得多，且保留了原来的桥与岛、陆地之间的连续关系欧拉发现：“能不能从某处出发，不重复地走遍七座桥，最后又回到出发处”，和“能不能从图的某一个顶点出发，把图不重复地一笔画出来，最后又回到起点”是一回事欧拉进一步考察一笔画问题一笔画总有起点和终点，除起、终点外，一笔画所经过的点总有进去和出来的线，这样的点一定与偶数条线相连接，称之为“偶点”。如果起点与终点复合，由也是偶点，否则起点、终点将是“奇点”。欧拉证明了：“一个图形能够一笔画成的充分必要条件是：它是连通的，并且奇顶点个数等于或者”图中，四个点都是奇点，所以不可能一笔画出由此可知，哥尼斯堡七桥问题无解根据欧拉的分析，我们还可以断定，即使不要求回到出发点，而只要求不重复地走遍七座桥，也是不可能的由于欧拉的创造性工作和众多数学家的共同努力，对七桥问题的深入研究诱发了现代数学中图论和拓朴学的诞生