控制工程基础ppt课件第五章控制系统稳定性.ppt

2010年年控制工程基础控制工程基础(第五章）第五章）5 控制系统稳定性分析控制系统稳定性分析5.1系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念5.2系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件5.3代数稳定性判据（代数稳定性判据（RouthRouth判据、判据、Hurwitz Hurwitz 判据）判据）5.4乃奎斯特稳定性判据（乃奎斯特稳定性判据（NyquistNyquist判据）判据）5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性5.6由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性5.7控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性5.1系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念1.单摆单摆2.闭环控制系统的稳定性问题闭环控制系统的稳定性问题 定义定义系统受扰动后能否恢复原来的状态系统受扰动后能否恢复原来的状态5.2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件N(s)到到Xo(s)的传递函数：的传递函数：设设n(t)为单位脉冲函数，为单位脉冲函数，如果系统稳定，应有如果系统稳定，应有即即 为系统闭环特征方程式的根的实部为系统闭环特征方程式的根的实部控制系统稳定的充分必要条件是：控制系统稳定的充分必要条件是：闭环特征方程式的根全部具有负实部闭环特征方程式的根全部具有负实部系统特征根即闭环极点，系统特征根即闭环极点，故也可以说充要条件为故也可以说充要条件为极点全部在极点全部在ss平面的左半面平面的左半面五次以及更高次的代数方程没有一般的代数五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法（即由方程的系数经有限次四则运算和解法（即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法）开方运算求根的方法）阿贝耳定理阿贝耳定理为系统的特征根为系统的特征根基于基于方程式的根与系数的关系方程式的根与系数的关系 5.3 代数稳定性判据代数稳定性判据设系统特征方程为设系统特征方程为复数根与系数的关系：复数根与系数的关系：（2）特征方程的各项系数的符号都相同。）特征方程的各项系数的符号都相同。（1）特征方程的各项系数）特征方程的各项系数 (i=0，1，2，n)。要使全部特征根均具有负实部，必须满足：要使全部特征根均具有负实部，必须满足：一般取正值，一般取正值，则上述两条件简化为则上述两条件简化为 必要条件！必要条件！充要条件：充要条件：如果如果“劳斯阵列劳斯阵列”中第一列所有项均为正，则系统稳定。中第一列所有项均为正，则系统稳定。劳斯阵列：劳斯阵列：其中其中实部为正的特征根数实部为正的特征根数劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。例例:设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。劳斯阵列第一列中劳斯阵列第一列中系数符号全为正，系数符号全为正，所以控制系统稳定。所以控制系统稳定。解：解：首先由方程系数可知首先由方程系数可知满足稳定的必要条件满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列其次，排劳斯阵列例2 设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。排劳排劳斯阵列斯阵列第一列系数改变符号第一列系数改变符号2次，次，闭环系统的根中有闭环系统的根中有2个实部个实部为正，为正，控制系统不稳定。控制系统不稳定。二阶系统特征式为二阶系统特征式为 ，劳斯，劳斯表为表为故故二阶系统稳定的充要条件二阶系统稳定的充要条件是是对于特征方程阶次低（对于特征方程阶次低（n3n3）的系统，劳）的系统，劳斯判据可简化：斯判据可简化：三阶系统特征式为三阶系统特征式为 ，劳斯表劳斯表:故故三阶系统稳定的充要条件三阶系统稳定的充要条件是是 例例 设某反馈控制系统如下图所示，试计算使设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的系统稳定的K值范围。值范围。解：系统闭环传递函数为解：系统闭环传递函数为特征方程为特征方程为根据根据三阶系统稳定的充要条件三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定须满足可知使系统稳定须满足故使系统稳定的故使系统稳定的K值范围为值范围为例例:设控制系统的闭环特征方程式为设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。用劳斯判据判断稳定性。劳斯阵列表劳斯阵列表符号改变符号改变2次，次，2个正实根。个正实根。无正实根，无正实根，有虚根。有虚根。例:设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。劳斯阵列表临界稳定临界稳定nn行列式：行列式：赫尔维茨赫尔维茨稳定性判据稳定性判据系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：各阶主子行列式均各阶主子行列式均 00即：即：例例:设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为 试应用试应用赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。解：由方程系数可知解：由方程系数可知满足稳定的必要条件。满足稳定的必要条件。各系数排成行列式各系数排成行列式由于由于故该系统稳定。故该系统稳定。代数稳定性判据使用的多项式代数稳定性判据使用的多项式是系统是系统闭环闭环特征多项式。特征多项式。劳斯判据劳斯判据的不足：的不足：定性定性较难从量上判断系统的稳定程度较难从量上判断系统的稳定程度 必须知道系统的闭环传递函数必须知道系统的闭环传递函数Nyquist稳定判据稳定判据根据开环频率特性判断闭环稳定性根据开环频率特性判断闭环稳定性对含有延迟环节的系统无效对含有延迟环节的系统无效1.1.a 为复数为复数C 为顺时针方向为顺时针方向5.4乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据如果如果 C 包围包围 a，则，则 C 顺顺时针包围原点时针包围原点1 1圈；圈；如果如果 C 不包围不包围 a，则，则C不包围原点。不包围原点。2.2.如果如果 C 包围包围 a，则，则 C 逆逆时针包围原点时针包围原点1 1圈；圈；如果如果 C 不包围不包围 a，则，则C不包围原点。不包围原点。C包围包围z z个零点，个零点，C绕原点绕原点顺时针绕原点顺时针绕原点1 1圈，角度增量圈，角度增量顺时针顺时针z z圈圈C包围包围1 1个极点，个极点，C 逆时针绕原点逆时针绕原点1 1圈圈 C包围包围p p个极点，个极点，C绕原点绕原点 逆时针逆时针p圈圈 F(s)有有m个零点，个零点，n个极点，个极点，在在s平面上的平面上的C顺时针包围了其中顺时针包围了其中z个个零点和零点和p个极点，个极点，映射定理映射定理z p圈。圈。则在则在F平面上的平面上的C顺时针包围原点顺时针包围原点 反馈控制系统反馈控制系统开环传递函数开环传递函数闭环传递函数闭环传递函数闭环稳定闭环稳定闭环传递函数右极点个数为闭环传递函数右极点个数为0 0 右零点个数为右零点个数为0 0逆时针包围原点的圈数逆时针包围原点的圈数 =开环右极点个数开环右极点个数顺时针绕顺时针绕 s 右半平面的曲线，经过右半平面的曲线，经过的映射，的映射，F(s)包围原点的圈数包围原点的圈数 =F(s)包围包围-1点的圈数点的圈数NyquistNyquist稳定判据稳定判据在在s平面作包围右半平面的平面作包围右半平面的D形曲线，形曲线，如果开环传递函数的如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围图逆时针包围(1,j0)1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数，点的圈数等于开环右极点的个数，则系统稳定。则系统稳定。充要条件充要条件例例:下图所示反馈控制系统，下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定为何值时稳定?只要只要 K0，稳定，稳定例例:下图所示反馈控制系统，下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定为何值时稳定?K1，稳定。，稳定。例例:某反馈控制系统开环传递函数为某反馈控制系统开环传递函数为判断当判断当K=10和和40时的稳定性时的稳定性 如果开环传递函数在虚轴上有极点或零点，如果开环传递函数在虚轴上有极点或零点，开环没有右极点，开环没有右极点，乃氏乃氏图不包围图不包围(-1,j0)(-1,j0)，稳定稳定开环右极点有开环右极点有1 1个，个，乃氏乃氏图逆时针包围图逆时针包围(-1,j0)(-1,j0)1 1圈，稳定圈，稳定从原点右边绕，开环右极点个数为从原点右边绕，开环右极点个数为0；乃氏乃氏图顺时针包围图顺时针包围(-1,j0)(-1,j0)2 圈，不稳定圈，不稳定例：某系统开环传递函数为例：某系统开环传递函数为从原点右边绕，从原点右边绕，顺时针顺时针2圈，不稳定圈，不稳定延时环节串联在前向通道延时环节串联在前向通道 K满足什么条件时系满足什么条件时系统闭环稳定？统闭环稳定？5.5应用乃奎斯特判据分析应用乃奎斯特判据分析 延时系统的稳定性延时系统的稳定性例如例如NyquistNyquist稳定判据稳定判据在在s平面作包围右半平面的平面作包围右半平面的D形曲线，形曲线，如果开环传递函数的如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围图逆时针包围(1,j0)1,j0)点点的圈数等于开环右极点的个数，的圈数等于开环右极点的个数，则系统稳定。则系统稳定。(1)开环右极点个数如何判断？开环右极点个数如何判断？劳斯判据劳斯判据(2)开环在虚轴上有零极点？开环在虚轴上有零极点？绕道绕道(3)开环无右极点开环无右极点不包围不包围(4)乃氏判据也适用于有延时环节的情况乃氏判据也适用于有延时环节的情况延时环节并联在前向通道延时环节并联在前向通道 例：下图所示为机床（如镗床，铣床）的长悬例：下图所示为机床（如镗床，铣床）的长悬臂梁式主轴的工作情况，臂梁式主轴的工作情况，由于主轴刚性低，常由于主轴刚性低，常易产生振动，易产生振动，下面分析其动态特性。下面分析其动态特性。P P（t t）切削力；切削力；y y（t t）主轴前端刀具处因切削力产生主轴前端刀具处因切削力产生 的变形量；的变形量；D D 主轴系统的当量粘性系数；主轴系统的当量粘性系数；主轴系统的当量刚度。主轴系统的当量刚度。1 1机床主轴系统的传递函数机床主轴系统的传递函数将主轴简化为集中质量将主轴简化为集中质量m m作用于主轴端部作用于主轴端部，令，令主轴端部的运动微分方程为主轴端部的运动微分方程为其传递函数为其传递函数为2 2切削过程的传递函数切削过程的传递函数若工件名义进给量为若工件名义进给量为 ，由于主轴的变形，由于主轴的变形，实际进给量为实际进给量为u u（t t），），于是于是U U（s s）=U=Uo o（s s）-Y-Y（s s）若主轴转速为若主轴转速为n n，刀具为单齿，则刀具每转，刀具为单齿，则刀具每转一周需要时间一周需要时间 。刀具在每转动一周中切刀具在每转动一周中切削的实际厚度为削的实际厚度为uu（t t）-u-u（t-t-）。令令k kc c为切削阻力系数（它表示切削力与切为切削阻力系数（它表示切削力与切削厚度之比），则削厚度之比），则其闭环系统的特征方程为其闭环系统的特征方程为 则则 ，即，即令令这样一来就将乃氏判据中开环频率特性的极这样一来就将乃氏判据中开环频率特性的极坐标是否包围（坐标是否包围（-1-1，j0j0）点的问题归结为）点的问题归结为G Gm m（jj）的极坐标轨迹是否包围）的极坐标轨迹是否包围G Gc c(j(j）的）的极坐标轨迹的问题。极坐标轨迹的问题。下面分别作出下面分别作出G Gm m（jj）和）和G Gc c(j(j）的）的极坐标轨迹。极坐标轨迹。曲线曲线曲线曲线1 1若若G Gm m（jj）不包围）不包围G Gc c(j(j），即），即G Gm m（jj）与）与G Gc c(j(j）不相交，如）不相交，如曲线曲线，则系，则系统绝对稳定。因此系统绝对稳定的条件是统绝对稳定。因此系统绝对稳定的条件是G Gm m（jj）中的最小负实部的绝对值小于）中的最小负实部的绝对值小于 。无论无论提高主轴的刚度提高主轴的刚度k km m，还是还是减减少少k kc c(切削阻力系数），切削阻力系数），都可提高稳定都可提高稳定性，但对提高稳定性最有利的是性，但对提高稳定性最有利的是增加增加阻尼阻尼。2 2若若G Gm m（jj）包围）包围G Gc c(j(j）一部分，即）一部分，即G Gm m（jj）与）与G Gc c(j(j）相交，如）相交，如曲线曲线，则，则系统可系统可能不稳定，但在一定条件下也可稳定。能不稳定，但在一定条件下也可稳定。如果在工作频率如果在工作频率下，保证下，保证避开的避开的 范围，也就是适当范围，也就是适当选择选择系统仍可稳定。所以，在此条系统仍可稳定。所以，在此条件下系统稳定的条件为：件下系统稳定的条件为：选择适当的选择适当的主轴转速主轴转速n(n(在单刃铣刀时，在单刃铣刀时，1/n)1/n)，使，使G Gm m（jj）不包围）不包围点。点。单位圆单位圆0dB线线5.6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判稳定性由伯德图判稳定性设设0 0型或型或I I型系统开环特征方程有型系统开环特征方程有 p 个右根，个右根，且开环静态放大倍数大于零，且开环静态放大倍数大于零，如果在所有如果在所有L()0频率范围内，频率范围内，相频特性曲线相频特性曲线()在在(-)线上正负穿越之差为线上正负穿越之差为p/2/2次，次，则闭环系统稳定。则闭环系统稳定。乃氏图从第三象限穿越负实轴到第二象限，乃氏图从第三象限穿越负实轴到第二象限，负穿越负穿越;从第二象限穿越负实轴到第三象限，从第二象限穿越负实轴到第三象限，正穿越正穿越。如果如果=0时，时，()=-，乃氏图向第三象限去，乃氏图向第三象限去，半次正穿越半次正穿越，向第二象限去，向第二象限去，半次负穿越半次负穿越。图（图（a），已知），已知p0，即开环无右特征根，即开环无右特征根，在在L（）0范围内，范围内，正负穿越之差为正负穿越之差为0，系统闭环稳定。系统闭环稳定。图（图（b），已知开环传递函数有一个右极点，），已知开环传递函数有一个右极点，p=1，在，在L（）0的频率范围内，的频率范围内，半次正穿越半次正穿越，系统闭环稳定。系统闭环稳定。图（图（c），已知），已知p2，在，在L（）0的范的范围内，围内，正负穿越之差为正负穿越之差为1-2=-122，系统闭，系统闭环不稳定。环不稳定。图（图（d），已知），已知p2，在，在L（）0的范的范围内，围内，正负穿越之差为正负穿越之差为2-11=22，系统系统闭环稳定。闭环稳定。如果系统闭环特征根均在如果系统闭环特征根均在s左半平左半平面，且和虚轴有一段距离，则系面，且和虚轴有一段距离，则系统有一定的统有一定的稳定裕量稳定裕量。用劳斯判据用劳斯判据定性定性定量定量虚轴左移虚轴左移，令，令z=s+，将将s=z-代入系统特征式代入系统特征式，得到得到z的方程式，采用劳斯判的方程式，采用劳斯判据，据，可知距离虚轴可知距离虚轴以右是否以右是否有根。有根。5.7控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性例：例：令令 z=s+1，即，即s=z 1，代入系统特征式，代入系统特征式，即即z z的多项式系数无相反符号，的多项式系数无相反符号，劳斯阵列第一列未变号，系劳斯阵列第一列未变号，系统在统在s=-1s=-1以右没有根。以右没有根。实际实际4个根为个根为-1,-2,-3,-4用用Nyquist图图如果系统稳定，如果系统稳定，Nyquist图离图离(-1,j0)越近，越近，相对稳定性越差。相对稳定性越差。剪切频率剪切频率 相位裕量相位裕量增益裕量增益裕量增益裕量也可用分贝数表示：增益裕量也可用分贝数表示：例：开环传递函数为例：开环传递函数为求求K=10、100时的相位裕量、幅值裕量。时的相位裕量、幅值裕量。K=10作图法作图法 计算法计算法K=100作图法作图法 计算法计算法相关相关matlab函数函数nyquist(s1)s1=tf(40,0.005 0.15 1 0)s1=zpk(,0-10-20,8000)Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(s1)Warning:The closed-loop system is unstable.In lti.margin at 89Gm=7.5000e-001Pm=-7.5156e+000Wcg=1.4142e+001Wcp=1.6259e+001求稳定裕量求稳定裕量Gm 增益裕量增益裕量Pm 相位裕量相位裕量Wcg 相位相位-处处 的的频频率率Wcp 剪切剪切频频率率编编著者著者董景新董景新 郭美凤郭美凤 陈志勇陈志勇李冬梅李冬梅 刘云峰刘云峰