高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形课时跟踪检测二十三正弦定理和余弦定理的应用练习文.doc

1课时跟踪检测课时跟踪检测 ( (二十三二十三) ) 正弦定理和余弦定理的应用正弦定理和余弦定理的应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西 40°，灯塔B在观察站南偏东 60°，则灯塔A在灯塔B的( )A北偏东 10° B北偏西 10°C南偏东 80° D南偏西 80°解析：选 D 由条件及图可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西 80°2如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15°，BDC30°，CD30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为 60°，则塔高AB等于( )A5 m B15 m63C5 m D15 m26解析：选 D 在BCD中，CBD180°15°30°135°由正弦定理得，BC sin 30°30 sin 135°解得BC15(m)2在 RtABC中，ABBCtanACB15×15(m)2363在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90°，AB2BC2CD，则 cosDAC( )A B10103 1010C D552 55解析：选 B 由已知条件可得图形，如图所示，设CDa，在ACD中，CD2AD2AC22AD×AC×cosDAC，a2(a)2(a)22×a×a×cosDAC，2525cosDAC3 101024已知A船在灯塔C北偏东 80°处，且A到C的距离为 2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为 3 km，则B到C的距离为_ km解析：由条件知，ACB80°40°120°，设BCx km则由余弦定理知 9x244xcos 120°，x>0，x16答案：165某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东 30°方向上，15 min 后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东 75°方向上，则点B与电视塔的距离是_km解析：如题图，由题意知AB24×6，在ABS中，BAS30°，15 60AB6，ABS180°75°105°，ASB45°，由正弦定理知，BS3(km)BS sin 30°AB sin 45°AB·sin 30° sin 45°2答案：32二保高考，全练题型做到高考达标1一艘海轮从A处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么B，C两点间的距离是( )A10 海里 B10 海里23C20 海里 D20 海里32解析：选 A 如图所示，易知，在ABC中，AB20 海里，CAB30°，ACB45°，根据正弦定理得，BC sin 30°AB sin 45°解得BC10(海里)22如图，一条河的两岸平行，河的宽度d06 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B已知AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )A8 km/h B6 km/h23C2 km/h D10 km/h34解析：选 B 设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而 cos ，所以由余弦定理得0.6 13 54 522122××2×1× ，解得v6(1 10v)(1 10× 2)1 104 523(2014·四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度BC等于( )A240(1)m3B180(1)m2C120(1)m3D30(1)m3解析：选 C tan 15°tan (60°45°)2，BC60tan 60°60tan 15°120(1)(m)，故选tan 60°tan 45° 1tan 60°tan 45°33C4一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点A向北偏东 30°前进 100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是( )A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选 A 设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，33即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是 50 m5(2017·厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果 sin2(BC)0则 cos A>0，b2c2a2 2bc40 3因此角A的取值范围是( 3，2)6如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距 20 海里的B处，海轮按北偏西 60°的方向航行了 30 分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75°的方向，则海轮的速度为_海里/分钟解析：由已知得ACB45°，B60°，由正弦定理得，AC sin BAB sinACB所以AC10，AB·sin B sinACB20 × sin 60° sin 45°6所以海轮航行的速度为(海里/分钟)10 63063答案：637(2017·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和30°，第一排和最后一排的距离为 10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面6上若国歌时长为 50 s，升旗手应以_m/s 的速度匀速升旗解析：依题意可知AEC45°，ACE180°60°15°105°，EAC180°45°105°30°由正弦定理可知，CE sinEACAC sinCEAAC·sinCEA20 mCE sinEAC3在 RtABC中，ABAC·sinACB20×30 m332国歌时长为 50 s，升旗速度为06 m/s30 50答案：0658(2016·洛阳统考)如图，在ABC中，sin，AB2，点D在线段AC上，且AD2DC，BD，ABC 2334 33则 cosC_解析：由条件得 cosABC ，sinABC1 32 23在ABC中，设BCa，AC3b，则由余弦定理得 9b2a24a4 3因为ADB与CDB互补，所以 cosADBcosCDB，所以，4b2163416 33bb2163a28 33b所以 3b2a26，联立解得a3，b1，所以AC3，BC3在ABC中，cosC BC2AC2AB2 2BC·AC323222 2 × 3 × 37 9答案：7 99某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45°，距离为 10 n mile 的C处，并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间(sin 21.8° 3 314)解：如图所示，根据题意可知AC10，ACB120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos 120°，所以 212t210281t22×10×9t× ，即1 2360t290t1000，解得t 或t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h2 35 122 3此时AB14，BC66在ABC中，根据正弦定理，得，BC sinCABAB sin 120°所以 sinCAB，6 ×32 143 314即CAB218°或CAB1582°(舍去)，即舰艇航行的方位角为 45°218°668°所以舰艇以 668°的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮2 310(2016·哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)当返回舱在距地面 1 万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东 60°方向，仰角为 60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为 30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向(1)求B，C两救援中心间的距离；(2)求D救援中心与着陆点A间的距离解：(1)由题意知PAAC，PAAB，则PAC，PAB均为直角三角形在 RtPAC中，PA1，PCA60°，解得AC，33在 RtPAB中，PA1，PBA30°，解得AB，3又CAB90°，BC万米AC2BC2303(2)sin ACDsin ACB，cosACD，310110又CAD30°，所以 sinADCsin(30°ACD)，3 312 10在ADC中，由正弦定理，AC sinADCAD sinACD得AD万米AC·sinACD sinADC9 313三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为 50 m/s某一时刻飞机看山顶的俯角为 15°，经过 420 s 后看山顶的俯7角为 45°，则山顶的海拔高度为_m(取14，17)23解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15°，DBC45°，ACB30°，AB50×42021 000(m)又在ABC中，BC sin AAB sinACBBC×sin 15°10 500()21 000 1 262CDAD，CDBC·sinDBC10 500()×10 500(1)7 35062223故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)答案：2 6502已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 米和BN200 米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为 30°，该测量车向北偏西 60°方向行驶了 100米后到达点Q，在点Q处3测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量 tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解：在 RtAMP中，APM30°，AM100，PM100，连接QM，在PQM中，3QPM60°，又PQ100，3PQM为等边三角形，QM1003在 RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200在 RtBNQ中，tan 2，BN200，BQ100，cos 555在BQA中，BA2BQ2AQ22BQ·AQcos (100)2，5BA10058即两发射塔顶A，B之间的距离是 100米5