数值分析课件(第1章).ppt

使用教材使用教材使用教材使用教材:数值分析数值分析数值分析数值分析 华南理工大学出版社华南理工大学出版社华南理工大学出版社华南理工大学出版社 韩国强韩国强韩国强韩国强 林伟健等编著林伟健等编著林伟健等编著林伟健等编著计算机专业基础课程计算机专业基础课程:计算方法计算方法 数数 值值 分分 析析华南理工大学计算机学院华南理工大学计算机学院林伟健制作 本课程介绍的内容：使用计算机来本课程介绍的内容：使用计算机来解决某些数学问题的近似方法。解决某些数学问题的近似方法。数数 值值 分分 析目录析目录第第 1 1 章章 误差误差第第 2 2 章章 代数插值与数值微分代数插值与数值微分第第 3 3 章章 数据拟合数据拟合第第 4 4 章章 数值积分数值积分第第 5 5 章章 解线性代数方程组的直接法解线性代数方程组的直接法 第第 6 6 章章 解线性代数方程组的迭代法解线性代数方程组的迭代法 第第 7 7 章章 非线性方程和非线性方程组的数值解非线性方程和非线性方程组的数值解 第第 8 8 章章 矩阵特征值和特征向量的数值解法矩阵特征值和特征向量的数值解法第第 9 9 章章 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法本课程的特点：本课程的特点：实用性强实用性强。要求掌握：1 1数值分析的基本概念数值分析的基本概念 2.2.各各种种计计算算方方法法的的基基本本思思想想、推推导导过过程程、计算过程和在计算机上如何实现计算过程和在计算机上如何实现 3 3某某些些计计算算方方法法的的误误差差估估计计和和收收敛敛性性的的判别判别 理论上课时数：理论上课时数：40 40 上机实验时数：上机实验时数：8 8 参考书参考书：1.1.数值逼近李岳生、黄友谦数值逼近李岳生、黄友谦 2.2.数值分析李庆扬、王能超、易大义数值分析李庆扬、王能超、易大义第第 1 1 章章 误 差 1.1 1.1 1.1 1.1 误差的来源误差的来源误差的来源误差的来源 1.2 1.2 1.2 1.2 误误误误差差差差、误误误误差差差差限限限限和和和和有有有有效效效效数数数数字字字字的的的的概概概概念念念念 1.3 1.3 1.3 1.3 相对误差和相对误差限的概念相对误差和相对误差限的概念相对误差和相对误差限的概念相对误差和相对误差限的概念 1.4 1.4 1.4 1.4 数值运算的误差分析数值运算的误差分析数值运算的误差分析数值运算的误差分析 1.5 1.5 1.5 1.5 数值计算中的注意问题数值计算中的注意问题数值计算中的注意问题数值计算中的注意问题1.11.1 误差的来源误差的来源 按按按按误误误误差差差差所所所所产产产产生生生生的的的的原原原原因因因因，归归归归纳纳纳纳起起起起来来来来可可可可以以以以把把把把误误误误差差差差分分分分为为为为四四四四种种种种:模模模模型型型型误误误误差差差差、观观观观测测测测误误误误差差差差、方方方方法法法法误误误误差差差差(截截截截断断断断误差误差误差误差)和舍入误差。和舍入误差。和舍入误差。和舍入误差。1.1.方法误差方法误差 用用用用近近近近似似似似方方方方法法法法得得得得到到到到的的的的解解解解与与与与数数数数学学学学模模模模型型型型的的的的准准准准确确确确解解解解之之之之间间间间必必必必然然然然存存存存在在在在误误误误差差差差，这这这这种种种种误误误误差差差差称称称称为为为为方方方方法法法法误误误误差差差差，有有有有时时时时也也也也称称称称为为为为截截截截断误差。断误差。断误差。断误差。例如，例如，例如，例如，求求求求的解。的解。的解。的解。简单迭代法简单迭代法简单迭代法简单迭代法牛顿迭代法牛顿迭代法牛顿迭代法牛顿迭代法 2.2.舍入误差舍入误差 舍舍舍舍入入入入得得得得到到到到的的的的数数数数与与与与准准准准确确确确数数数数之之之之间间间间的的的的误误误误差差差差，称称称称为为为为舍舍舍舍入入入入误差。误差。误差。误差。1.21.2 误差、误差限和有效数字误差、误差限和有效数字1.1.误差误差 定义定义定义定义1-11-11-11-1 设准确值设准确值设准确值设准确值误差也称为绝对误差。误差也称为绝对误差。误差也称为绝对误差。误差也称为绝对误差。，则近似值与准确，则近似值与准确，则近似值与准确，则近似值与准确 的近似值为的近似值为的近似值为的近似值为 值之间的差称为误差。值之间的差称为误差。值之间的差称为误差。值之间的差称为误差。（1.11.11.11.1）当误差为正值时，说明近似值偏大，此时称为强近似；当误差为正值时，说明近似值偏大，此时称为强近似；当误差为正值时，说明近似值偏大，此时称为强近似；当误差为正值时，说明近似值偏大，此时称为强近似；当误差为负值时，说明近似值偏小，此时称为弱近似。当误差为负值时，说明近似值偏小，此时称为弱近似。当误差为负值时，说明近似值偏小，此时称为弱近似。当误差为负值时，说明近似值偏小，此时称为弱近似。误差有时记为误差有时记为误差有时记为误差有时记为2.2.误差限误差限 定义定义定义定义1-21-21-21-2 若若 ，则，则 近似值的误差限也记为近似值的误差限也记为近似值的误差限也记为近似值的误差限也记为 称为近似值称为近似值称为近似值称为近似值 的误差限。的误差限。的误差限。的误差限。例例例例1-11-11-11-1 假设用米尺来测量某物体的长度，测得其长假设用米尺来测量某物体的长度，测得其长假设用米尺来测量某物体的长度，测得其长假设用米尺来测量某物体的长度，测得其长度为度为度为度为835835835835毫米，求出该物体实际长度的范围。毫米，求出该物体实际长度的范围。毫米，求出该物体实际长度的范围。毫米，求出该物体实际长度的范围。解解解解 设设设设该该该该物物物物体体体体的的的的实实实实际际际际长长长长度度度度为为为为x x x x，则则则则由由由由米米米米尺尺尺尺的的的的精精精精度度度度可可可可以以以以知知知知道道道道，近近近近似似似似值值值值与与与与准准准准确确确确值值值值之之之之差差差差的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值不不不不会会会会超超超超过过过过半半半半个个个个毫毫毫毫米米米米。即有即有即有即有 毫米毫米毫米毫米 亦即亦即亦即亦即 834.5 834.5 834.5 834.5毫米毫米毫米毫米x x x x 835.5835.5835.5835.5毫米毫米毫米毫米 或或或或 毫米毫米毫米毫米 3.3.有效数字有效数字 当一个数值有很多位小数时，我们常常按四舍五入的当一个数值有很多位小数时，我们常常按四舍五入的当一个数值有很多位小数时，我们常常按四舍五入的当一个数值有很多位小数时，我们常常按四舍五入的原则取这个数的有限位数来表示这个数。原则取这个数的有限位数来表示这个数。原则取这个数的有限位数来表示这个数。原则取这个数的有限位数来表示这个数。例如：例如：例如：例如：取取6 6位数字得位数字得 取取3 3位数字得位数字得取取5 5位数字得位数字得 这这个个数数经经过过四四舍舍五五入入之之后后所所得得到到的的近近似似值值，它它的的误误差差限是它末位的半个单位。限是它末位的半个单位。可可以以证证明明：对对任任何何数数经经过过四四舍舍五五入入之之后后所所得得到到的的近似值，它的误差限都是它末位的半个单位。近似值，它的误差限都是它末位的半个单位。定义定义1-31-3 若近似值若近似值x*x*的误差限为该值的某一位的半个单位，的误差限为该值的某一位的半个单位，且从该位开始往左数到的第一位非且从该位开始往左数到的第一位非0 0 数字共有数字共有n n位，则称近位，则称近似值似值x x*具有具有n n位有效数字。位有效数字。例如，例如，具有具有3 3位有效数字。这是因为位有效数字。这是因为规规律律：凡凡是是经经过过四四舍舍五五入入所所得得到到的的近近似似值值，它它的的有有效效数数字字位位是是等等于于从从该该近近似似值值的的末末位位开开始始往往左左数数起起到到第第一一位位非非0 0 数数字的位数。字的位数。同理，同理，同理，同理，具有具有5 5位有效数字。位有效数字。具有具有6 6位有效数字。位有效数字。例如，例如，0.045678 0.0457 3 0.045678 0.0457 3 位位 具有具有3 3 位有效数字位有效数字 又如，又如，8.0005 8.00 3 8.0005 8.00 3 位位 具有具有3 3位有效数字位有效数字例例1-21-2 若若近似值近似值的近似值为的近似值为，则，则有多少位有效数字有多少位有效数字?解解解解顺顺便便指指出出，准准确确值值我我们们通通常常称称它它具具有有无无穷穷多多位位有有效效数字。数字。的误差限为该值小数点后的误差限为该值小数点后第三位的半个单位，由有效数字的定义得知，第三位的半个单位，由有效数字的定义得知，具有具有4位有效数字。位有效数字。4.4.有效数字与误差限的关系有效数字与误差限的关系 设准确值设准确值设准确值设准确值 ，且将，且将 的近似值为的近似值为的近似值为的近似值为则近似值则近似值表示为表示为 （p p为整数，为整数，为为0 09 9之间的数字）之间的数字）若有若有（1.2）具有具有n n位有效数字。位有效数字。按按照照这这个个定定义义，如如果果知知道道近近似似值值的的误误差差限限，就就可可以知道它有多少位有效数字；以知道它有多少位有效数字；反反过过来来，如如果果知知道道近近似似值值有有多多少少位位有有效效数数字字，就就可以知道它的误差限为多少。可以知道它的误差限为多少。例例1-31-3 假设假设解解=0.0012345=0.12345=0.0012345=0.0012345是准确值是准确值的具有的具有5 5 位位有效数字的近似值，则它的误差限为多少？有效数字的近似值，则它的误差限为多少？所以有所以有由此得到由此得到即即的误差限为的误差限为例例1-41-4 利用有效数字与误差限的关系求解例利用有效数字与误差限的关系求解例1.21.2。因此，求得因此，求得解解由于由于从而得到从而得到而而 即即3.14153.1415有有4 4位有效数字。位有效数字。1.3 1.3 相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限1.1.相对相对误差误差 两个工人的技术水平是否一样？两个工人的技术水平是否一样？两个工人的技术水平是否一样？两个工人的技术水平是否一样？工人工人工人工人B B：2000 12000 12000 12000 1两个工人的次品率：两个工人的次品率：工人工人工人工人A A：1 1000 1000 1000 1000 1（1.31.3）定义定义1-41-4 若记若记，则，则称为称为的相对误差。的相对误差。近似值近似值的相对误差有时也记为的相对误差有时也记为。相对误差也定义为相对误差也定义为 2.2.相对相对误差限误差限 ，则，则定义定义1-51-5 若记若记 称为近似值称为近似值 对（对（1.31.3）两边取绝对值后得到）两边取绝对值后得到。的相对误差限。的相对误差限。近似值近似值的相对误差限有时也记为的相对误差限有时也记为3.3.相对相对误差限与有效数字的关系误差限与有效数字的关系（1.4）另一方面，对另一方面，对 定理定理1-11-1 若近似数若近似数则其相对误差限为则其相对误差限为具有具有n n位有效数字，位有效数字，证证据题意，据题意，具有具有n n位有效数字，位有效数字，按有效数字的等价定义有按有效数字的等价定义有从而从而从而从而于是于是两边求绝对值得到两边求绝对值得到 有效数字位越多，相对误差限就会越小。有效数字位越多，相对误差限就会越小。例例1-51-5 已知已知因为因为n=4n=4，由公式（，由公式（1.41.4）得）得用来表示用来表示具有四位有效数字，求具有四位有效数字，求的相对误差限。的相对误差限。解解所以所以的相对误差限为的相对误差限为定理定理1-21-2 若近似数若近似数，且相对误差限满足关系式，且相对误差限满足关系式则具有具有n n位有效数字。位有效数字。证证据有效数字的等价定义，我们只须证明据有效数字的等价定义，我们只须证明从而证得从而证得 具有具有n n位有效数字。位有效数字。1.4 1.4 数值运算中的数值运算中的误差估计误差估计从而有从而有的相对误差的相对误差对于近似值对于近似值，函数，函数在在 舍去右边第二项得到舍去右边第二项得到 （1.61.6）即即的绝对误差的绝对误差 由（由（1.61.6）可以得到）可以得到附近按泰勒展式展开得到附近按泰勒展式展开得到 （1.51.5）对（对（1.51.5）两边取绝对值得）两边取绝对值得故故的相对误差限的相对误差限的误差限的误差限 而而 （1.91.9）例例1-61-6 在在计计算算球球的的体体积积时时，为为了了使使相相对对误误差差限限为为1%1%，问问测测量半径量半径r r时允许的相对误差限为多少？时允许的相对误差限为多少？从而有从而有解解计算球的体积公式为计算球的体积公式为 设体积设体积的近似值为的近似值为，半径，半径的近似值为的近似值为，则由，则由（1.91.9）得到相对误差限估计式为）得到相对误差限估计式为这说明，测量半径这说明，测量半径r r时允许的相对误差限为时允许的相对误差限为1/3001/300。例例1-71-7 假假定定某某长长方方形形运运动动场场的的长长为为x x，宽宽为为y y，并并实实地地测测得得其其长长x*=100.30 x*=100.30米米，宽宽y y*=80.50=80.50米米，若若x*x*和和y y*的的误误差差限限都都是是0.0050.005米米，试试求求其其面面积积s s的的近近似似值值s s*的的误误差差限限和和相相对对误误差限。差限。由两个数的积的相对误差限估计式得由两个数的积的相对误差限估计式得 解解据题意，据题意，由两个数的积的误差限估计式得由两个数的积的误差限估计式得1.5 1.5 数值计算中应注意的一些问题数值计算中应注意的一些问题1.5.0.1 1.5.0.1 1.5.0.1 1.5.0.1 避免两个相近的数相减避免两个相近的数相减 当遇到两个相近的数相减时，参与运算的数应当多保留当遇到两个相近的数相减时，参与运算的数应当多保留几位有效数字或者变换原来公式以避免这种情况的发生几位有效数字或者变换原来公式以避免这种情况的发生 。由由1.41.4节可知节可知可以看到，如果两个相近的数相减，则可以看到，如果两个相近的数相减，则而相对误差限就会比较大，故有效数字位会大大减少。而相对误差限就会比较大，故有效数字位会大大减少。较小，较小，例例1-81-8 给定给定若使用计算机计算有若使用计算机计算有，应如何变换公式使有效数字位增加？，应如何变换公式使有效数字位增加？，若使用计算器取四位有效数字计算，若使用计算器取四位有效数字计算解解使用计算器计算取四位有效数字得使用计算器计算取四位有效数字得从而得到从而得到但由于但由于 而使用计算器取四位有效数字得而使用计算器取四位有效数字得所以有所以有这说明变换公式后能使有效数字位由这说明变换公式后能使有效数字位由1 1位增加到位增加到3 3位。位。1.5.0.2 1.5.0.2 1.5.0.2 1.5.0.2 要防止小数被大数要防止小数被大数“吃掉吃掉”而使有效数字位损而使有效数字位损失失例例1-91-9 求一元二次方程求一元二次方程在在数数值值运运算算中中，如如果果两两个个参参与与运运算算的的数数相相差差太太大大，则则小小数数有有可可能能被被大大数数“吃吃掉掉”而而使使有有效效数数字字位位损损失失，从从而而影影响计算结果的可靠性。响计算结果的可靠性。的根。的根。远远大于解解求一元二次方程的根可以使用公式求一元二次方程的根可以使用公式有可能有可能有可能有可能可能损失可能损失可能损失可能损失有效数字位，使计算结果出现错误。有效数字位，使计算结果出现错误。按新的求根公式计算得到方程两个准确根为按新的求根公式计算得到方程两个准确根为 例例如如，在在只只有有7 7位位有有效效数数字字的的计计算算机机系系统统上上使使用用求求根根公公式解方程式解方程得到的两个根为得到的两个根为要避免这种错误的发生，可以修改求根公式为要避免这种错误的发生，可以修改求根公式为，1.5.0.3 1.5.0.3 1.5.0.3 1.5.0.3 要注意减少运算的次数要注意减少运算的次数对对于于一一个个计计算算问问题题，如如果果能能减减少少运运算算次次数数的的话话，我我们们不不仅仅能能减减少少计计算算时时间间，提提高高运运行行的的速速度度，而而且且还还可可以以减减少少误差的积累。误差的积累。如果把原式子改写为如果把原式子改写为解解按公式直接计算每一项后，再把每一项求和，就要进行按公式直接计算每一项后，再把每一项求和，就要进行则计算则计算n n次多项式的算法可以是次多项式的算法可以是 按秦九韶算法计算按秦九韶算法计算n n次多项式的值，只需要次多项式的值，只需要n n次乘法和次乘法和n n次加法。次加法。的值。的值。例例1-101-10 计算计算n n次多项式次多项式 次乘法和次乘法和n n次加法。次加法。1.5.0.4 1.5.0.4 1.5.0.4 1.5.0.4 避免做除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法避免做除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法用用绝绝对对值值较较小小的的数数去去除除绝绝对对值值较较大大的的数数，得得到到的的数数一一定定会会较较大大，有有可可能能会会产产生生溢溢出出的的错错误误。如如果果不不溢溢出出，也也有有可能使舍入误差严重增大，导致最后结果不可靠。可能使舍入误差严重增大，导致最后结果不可靠。从而解得从而解得解解容易验证，方程组的解为容易验证，方程组的解为:在运算过程中，在运算过程中，例例1-111-11 求解方程组求解方程组把第一个方程乘上把第一个方程乘上1/0.00031/0.0003加到第二个方程得加到第二个方程得按四舍五入原则取小数点后四位进行运算。按四舍五入原则取小数点后四位进行运算。把把x2代入第一个方程求得代入第一个方程求得（错误）（错误）（错误）（错误）1.5.0.5 1.5.0.5 1.5.0.5 1.5.0.5 要选择数值稳定的计算公式要选择数值稳定的计算公式 定定义义1-61-6 一一种种数数值值方方法法，若若原原始始数数据据有有误误差差，而而在在计计算算的的过过程程中中，由由于于舍舍入入误误差差的的传传播播，使使得得近近似似计计算算结结果果与与准准确确值值相相差差很很大大，则则称称这这种种数数值值方方法法是是不不稳稳定定的的。否否则则，在在计计算算的的过过程程中中，若若舍舍入入误误差差得得到到控控制制，近近似似计计算算结结果果能能逼逼近近准准确确值值，则则称称这这种种数数值值方方法法是稳定的。是稳定的。解解，试问用递推公式，试问用递推公式例例1-121-12 给定给定采用正向递推和逆向递推求采用正向递推和逆向递推求的值是否稳定？的值是否稳定？按给定的递推公式采用正向递推计算按给定的递推公式采用正向递推计算设设设设的近似值为的近似值为则有则有则有则有从而有从而有对上式两边求绝对值得对上式两边求绝对值得 的值是不稳定的。的值是不稳定的。按递推公式采用逆向递推求值时，误差传播逐步减按递推公式采用逆向递推求值时，误差传播逐步减少。因此，按给定的递推公式采用逆向递推计算少。因此，按给定的递推公式采用逆向递推计算但由递推公式我们得到但由递推公式我们得到从而若已知从而若已知，则的近似值的近似值的近似值为的近似值为将上两式相减得将上两式相减得对上式两边求绝对值得对上式两边求绝对值得的值是稳定的。的值是稳定的。本章结束本章结束