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习习 题题 课课1第二类拉格朗日方程的总结第二类拉格朗日方程的总结 对于具有对于具有完整理想约束完整理想约束的质点系，若系统的自由度为的质点系，若系统的自由度为k，则系统的动力学方程为：则系统的动力学方程为：其中：其中：T：为系统的动能，为系统的动能，V：为系统的势能为系统的势能：为对应于广义坐标：为对应于广义坐标 的非有势力的广义力的非有势力的广义力当系统为保守系统时，有：当系统为保守系统时，有：1：若系统存在循环坐标：若系统存在循环坐标 ，则：，则：2：若系统的拉格朗日函数不显含时间：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则：，则：25-35-3、拉格朗日方程的首次积分、拉格朗日方程的首次积分例：例：系统如图所示，已知：系统如图所示，已知：为弹簧原长。为弹簧原长。求滑块的拉格朗日方程首次积分。求滑块的拉格朗日方程首次积分。解：解：系统（滑块）的广义坐标为系统（滑块）的广义坐标为q拉格朗日函数拉格朗日函数 中不显含时间中不显含时间t则则Lagrange方程有方程有广义能量积分广义能量积分-T2为牵连惯性力的势能为牵连惯性力的势能35-35-3、拉格朗日方程的首次积分、拉格朗日方程的首次积分例：例：系统如图所示，求系统动力学方程；维持系统如图所示，求系统动力学方程；维持AB匀角速匀角速 转动所需的控制力偶转动所需的控制力偶M。已知：已知：为弹簧原长。为弹簧原长。解：解：系统的广义坐标为系统的广义坐标为当当 时时问题：问题：该题还可以用什么方法求解？该题还可以用什么方法求解？4习题课习题课当：当：上式对时间求导得：上式对时间求导得：6习题课习题课例：例：在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与用光滑铰链与圆盘连接。图示瞬时系统静止。求该瞬时地面的圆盘连接。图示瞬时系统静止。求该瞬时地面的约束力约束力。AB=L，RAB解：解：系统的主动力均为有势力系统的主动力均为有势力 7习题课习题课求地面的法向力求地面的法向力:研究整体研究整体求摩擦力求摩擦力:研究圆盘研究圆盘AB8习题课习题课例：例：系统如图所示，均质圆盘可绕系统如图所示，均质圆盘可绕O轴转动，不计质量的绳轴转动，不计质量的绳索绕在圆盘上（无相对滑动），另一端与小球索绕在圆盘上（无相对滑动），另一端与小球A（视为质点）（视为质点）连接，求系统的运动微分方程连接，求系统的运动微分方程。已知：已知：m,r，Jo问题：问题：系统有几个自由度？系统有几个自由度？如何选取广义坐标？如何选取广义坐标？系统的动能和势能？系统的动能和势能？105-45-4、哈密顿方程、哈密顿方程一、保守系统的拉格朗日方程一、保守系统的拉格朗日方程设：设：LT-V（拉格朗日函数）（拉格朗日函数）拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组AB115-45-4、哈密顿方程、哈密顿方程例题例题：求自由质点在重力场中的哈密顿函数和哈密顿方程：求自由质点在重力场中的哈密顿函数和哈密顿方程1、系统的广义坐标：、系统的广义坐标：2、系统的动能、系统的动能系统的哈密顿函数系统的哈密顿函数H=T+V135-45-4、哈密顿方程、哈密顿方程系统的哈密顿函数系统的哈密顿函数H=T+V15例题的数值仿真例题的数值仿真摆杆的运动摆杆的运动滑块的运动滑块的运动现象：现象：不同的初始条件，系不同的初始条件，系统的动力学行为不同。统的动力学行为不同。16地球安全吗？地球安全吗？地球并不太平。天文学家们经过观测发现，在火星的外侧地球并不太平。天文学家们经过观测发现，在火星的外侧和木星的内侧有一个由和木星的内侧有一个由数目众多的小行星数目众多的小行星构成的小行星带。构成的小行星带。它们一般都是按照正常轨道运行，但是总有那么一些不安它们一般都是按照正常轨道运行，但是总有那么一些不安分守己分子悄悄逃跑，进入近地轨道，给地球带来威胁。分守己分子悄悄逃跑，进入近地轨道，给地球带来威胁。1989年年曾有一颗小行星与地球擦肩而过，引起人们一阵紧曾有一颗小行星与地球擦肩而过，引起人们一阵紧张。张。国外科学家预测，国外科学家预测，2014年或年或2017年，地球有可能遭年，地球有可能遭到小行星的撞击。到小行星的撞击。18彗星撞击木星的彗星撞击木星的“预测预测”19941994年年7 7月月1616日至日至2222日，一颗命名为苏梅克日，一颗命名为苏梅克列维列维9 9号的彗星断裂成号的彗星断裂成2121个个碎块（其中最大的一块宽碎块（其中最大的一块宽约约4 4公里），以公里），以60km/s60km/s速度速度连珠炮一般向木星撞去。连珠炮一般向木星撞去。“伽利略伽利略”号木星探测器号木星探测器19木星简介木星简介 木星是太阳系木星是太阳系9大行星中位居中间且又是最大的一个星球。大行星中位居中间且又是最大的一个星球。它的半径为它的半径为71300公里，比地球大公里，比地球大11倍；体积是地球的倍；体积是地球的1316倍，倍，质量是地球的质量是地球的318倍，相当于其他倍，相当于其他8大行星总质量的大行星总质量的2.5倍。倍。20太阳系太阳系哈密顿系统哈密顿系统 在研究星球的运动轨道时，太阳系可视为哈密顿系统，在研究星球的运动轨道时，太阳系可视为哈密顿系统，其动力学方程可表示成：其动力学方程可表示成：问题：问题：如何精确地计算行星的运动轨迹，准确地预测行如何精确地计算行星的运动轨迹，准确地预测行星位置，从而估计小行星撞击地球的可能性。星位置，从而估计小行星撞击地球的可能性。k=3n,n为行星的个数为行星的个数(=9大行星大行星+近百个小行星近百个小行星)21哈密顿系统的辛算法哈密顿系统的辛算法冯冯 康康(1920.91993.8)数学与物理学家、计数学与物理学家、计算数学家。算数学家。1944年毕业于重庆中央大学物理年毕业于重庆中央大学物理系。系。19511953年赴前苏联进修。年赴前苏联进修。曾任中国数学会理事，计算数学分会副曾任中国数学会理事，计算数学分会副理事长，中国计算机学会副主任等职。理事长，中国计算机学会副主任等职。1980年被选为中国科学院学部委员年被选为中国科学院学部委员(数学物理学部数学物理学部院士院士)。在拓扑代数、广义函数和计算数学等领在拓扑代数、广义函数和计算数学等领域取得多方面首创性成就，并对我国计算机域取得多方面首创性成就，并对我国计算机事业的创建和发展做出了重要贡献。事业的创建和发展做出了重要贡献。20世纪世纪80年代，提出了年代，提出了哈密顿系统的哈密顿系统的辛算法。该算辛算法。该算法可保持长期法可保持长期数值计算的稳数值计算的稳定性。定性。22