信号与系统分析第五章--连续时间信号与系统的复频域分析课件.ppt

第五章连续时间信号与系统的复频域分析第五章连续时间信号与系统第五章连续时间信号与系统 的复频域分析的复频域分析5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换5.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质5.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换5.4 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析5.5 系统函数与系统特性系统函数与系统特性5.6 线性系统的模拟线性系统的模拟5.7 连续时间系统复频域分析的连续时间系统复频域分析的MATLAB实现实现第五章连续时间信号与系统的复频域分析傅里叶变换对于信号与系统的分析是很有效的，因而得到了相当广泛的应用。在以傅里叶变换为基础的频域分析法中，将时域的微、积分运算转变为频域的代数运算，简化了运算过程。特别是在分析信号谐波分量、系统的频率响应、系统带宽、波形失真等实际问题时，物理概念清楚，有其独到之处。然而，傅里叶变换也有一些不足之处。例如，傅里叶积分存在的充分条件是要求被积函数f(t)绝对可积，可有些重要的信号，如周期信号、阶跃信号和正指数函数eat(a0)等，不满足绝对可积条件，不能直接进行傅里叶变换。第五章连续时间信号与系统的复频域分析 特别是对具有初始条件的系统，也不能利用傅里叶变换求系统的完全响应。这些问题的存在使傅里叶变换的应用受到了限制，为了克服傅里叶变换分析法的缺点，可利用另外一种数学工具拉普拉斯变换。拉普拉斯变换也是一种积分变换，是1780年由法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace,17491825年)提出来的，简称拉氏变换。第五章连续时间信号与系统的复频域分析拉普拉斯变换与傅里叶变换之间有许多相似之处，傅里叶变换是将时间信号f(t)分解为无穷多项虚指数信号ejt之和；拉氏变换则可认为是将f(t)分解为无穷多项复指数信号est之和，其中s=+j，称为复频率。因此，可把拉氏变换看做是傅里叶变换的推广。此外，傅里叶变换与拉氏变换的许多重要特性也是非常相似的。第五章连续时间信号与系统的复频域分析第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换5.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换从第三章可知，当信号f(t)满足绝对可积条件时，可以进行以下傅里叶变换和反变换：(5.1)(5.2)第五章连续时间信号与系统的复频域分析但有些信号不能满足绝对可积条件，不便用式(5.1)直接进行傅里叶变换，其主要原因在于这些信号不衰减或随时间增长而增大。为了克服以上困难，可用一个衰减因子e-t与不满足绝对可积条件的信号f(t)相乘，只要值选得合适，就能保证f(t)e-t满足绝对可积条件，从而可求出f(t)e-t的傅里叶变换，即(5.3)第五章连续时间信号与系统的复频域分析将式(5.3)与傅里叶变换定义式相比，可得F f(t)e-t=F(+j)它的傅里叶反变换为将上式两边乘以et，则得(5.4)第五章连续时间信号与系统的复频域分析第五章连续时间信号与系统的复频域分析式(5.5)和式(5.6)是一对拉普拉斯变换。式(5.5)称为f(t)的双边拉普拉斯变换，它是一个含参量s的积分，把关于时间t为变量的函数变换为关于s为变量的函数F(s)，称F(s)为f(t)的复频域函数(象函数)；反之，由式(5.6)把复频域函数F(s)变为对应的时域函数f(t)，称为拉普拉斯反变换，称f(t)为F(s)的原函数。式(5.5)和式(5.6)的拉普拉斯变换与反变换可用简记形式表达为F(s)=Lf(t)(5.7)f(t)=L-1F(s)(5.8)第五章连续时间信号与系统的复频域分析上述变换对也可用双箭头表示f(t)与F(s)是一对拉普拉斯变换,即f(t)F(s)(5.9)拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别在于：傅里叶变换是将时域函数f(t)变换为频域函数F(j)，此处时域变量t和频域变量都是实数；而拉氏变换是将时域函数f(t)变换为复频域函数F(s)，这里时域变量t是实数，复频域变量s是复数。第五章连续时间信号与系统的复频域分析第五章连续时间信号与系统的复频域分析式(5.10)称为f(t)的单边拉普拉斯变换，而反变换积分式(5.6)并不改变，但要注明t0 的条件。在式(5.10)中,积分下限用0-是考虑到f(t)中可能包含冲激函数(t)及其各阶导数的情况。若t=0处不包含冲激函数及其各阶导数项，可认为0和0-是等同的。第五章连续时间信号与系统的复频域分析第五章连续时间信号与系统的复频域分析 如图5.1(a)和图5.1(c)所示的信号，它们在t0区间是不相同的，而在0-区间两者的函数是相同的，则有F1(s)=F3(s)。对于图5.1(b)信号是反因果信号，在0-区间时，f2(t)=0，所以F2(s)=0，因此反因果信号求单边拉普拉斯变换是无意义的。对于图5.1(d)所示信号，它的非零值区间t为-1,2，但对它求单边拉普拉斯变换的积分限只能是0-2，即F4(s)=-Ae-stdt。第五章连续时间信号与系统的复频域分析图 5.1几种信号的波形第五章连续时间信号与系统的复频域分析第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.1.2拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域在引入拉普拉斯变换时曾讲过，当信号f(t)乘以衰减因子e-t后，就有可能找到合适的值,使f(t)e-t绝对可积，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在，继而得到f(t)的拉普拉斯变换。那么，合适的值如何确定呢?或者说，要使f(t)e-t满足绝对可积条件的取值范围称为拉普拉斯的收敛域,简记为ROC，那么该如何确定收敛域?下面通过一个例题对拉普拉斯变换的收敛域给予说明。第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例5.1求指数函数f(t)=eat(t)(a0,aR)的象函数F(s)。解解根据定义(5.11)由于s=+j，因此上式括号内第二项可写为(5.12)第五章连续时间信号与系统的复频域分析只要选择a,随时间t的增大，e-(-a)t将会衰减，故有从而式(5.11)的积分收敛，f(t)的象函数为若a,e-(-a)t将随着时间t的增大而增大。当t时，式(5.12)将趋于无穷大，从而式(5.11)的积分不收敛，f(t)的象函数不存在。第五章连续时间信号与系统的复频域分析从上述讨论中可以看到，f(t)乘以衰减因子e-t后是否一定满足绝对可积条件，还要看f(t)的性质和的相对关系而定。一般而言，若极限在0时取值为零，则函数f(t)e-t在全部范围内是收敛的，其积分存在，可以进行拉普拉斯变换。在以为横轴、j为纵轴的复平面(s平面)上，0在复平面称为收敛坐标，通过0的垂直线是收敛区的边界，称为收敛轴。收敛轴将复平面划分为两个区域，0的是一个区域，称为象函数F(s)的收敛域，如图5.2所示。函数f(t)的拉普拉斯变换仅在其收敛域内存在，因而式(5.5)应该写为第五章连续时间信号与系统的复频域分析第五章连续时间信号与系统的复频域分析第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.2信号f(t)=tn(n0)，求收敛域。解解即0=0,收敛坐标位于坐标原点，收敛轴即为虚轴，收敛域为s平面的右半部。第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.3信号f(t)=e-at(t)(a0)，求收敛域。解解+a0即收敛域为-a,0=-a,如图5.3所示。第五章连续时间信号与系统的复频域分析图 5.3例5.3的收敛域第五章连续时间信号与系统的复频域分析第五章连续时间信号与系统的复频域分析总之，对于稳定信号(常数，等幅)，0=0，收敛域为s平面的右半部；对有始有终的能量信号(如单个矩形脉冲信号)，其收敛坐标为0=-，收敛域为整个复平面，即有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；对功率信号(周期或非周期的)以及一些非功率非能量信号(如单位斜坡信号t(t)，其收敛域坐标为0=0;对于按指数规律增长的信号(如eat(t)，a0)，其收敛坐标为0=a；而对于一些比指数函数增长更快的函数(如 或tt)，找不到它们的收敛坐标，因此这些函数的拉氏变换不存在。第五章连续时间信号与系统的复频域分析在实际工程中,常见的有始信号其拉氏变换总是存在的，且收敛域总在0的区域，即使不标出也不会造成混淆，因此在后面的讨论中，常常省略其收敛域。第五章连续时间信号与系统的复频域分析第五章连续时间信号与系统的复频域分析由于f(t)的单边拉氏变换其积分区间为(0-,)，故对定义在(-,)上的实函数f(t)进行单边拉氏变换时，相当于f(t)(t)的变换，所以常数1的拉氏变换与(t)的拉氏变换相同，即有(5.15)同理，常数A的拉氏变换为(5.16)第五章连续时间信号与系统的复频域分析2.单位冲激信号单位冲激信号(t)即(5.17)3.指数信号指数信号e-at(t)第五章连续时间信号与系统的复频域分析即(5.18)4.正幂信号正幂信号tn(t)(n为正整数为正整数)第五章连续时间信号与系统的复频域分析即当n=1时，有当n=2时，有第五章连续时间信号与系统的复频域分析依此类推，得 (5.19)第五章连续时间信号与系统的复频域分析表5.1列出了常用信号的单边拉氏变换。表表5.1常用信号的拉普拉斯变换常用信号的拉普拉斯变换 第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.2拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质实际所使用的信号绝大部分都是由基本信号组成的复杂信号。为了方便分析，常用拉氏变换的基本性质来得到复杂信号的拉氏变换，因此，掌握拉氏变换的基本性质不但为求解一些较复杂信号的拉氏变换带来了方便，而且有助于求解拉普拉斯的反变换。下面所讨论的拉氏变换的性质有很多与傅里叶变换的性质相似，但需注意，傅里叶变换是双边的，而本书讨论的拉氏变换是单边的，因此某些性质有所差别。第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.2.1线性性质线性性质若f1(t)F1(s),f2(t)F2(s)则af1(t)+bf2(t)aF1(s)+bF2(s)(5.20)其中，a和b为任意常数(实数或复数)。第五章连续时间信号与系统的复频域分析证明：证明：线性性质表明，如果一个信号能分解为若干个基本信号之和，那么该信号的拉氏变换可以通过各个基本信号的拉氏变换相加而获得。这一性质应用甚多，以下举例说明。第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.5求f(t)=cos(t)的拉普拉斯变换F(s)。解解同样的方法，可得sint的象函数为第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.6求双曲线正弦sh(t)和双曲线余弦ch(t)的拉普拉斯变换F(s)。解解因为第五章连续时间信号与系统的复频域分析根据线性性质，得第五章连续时间信号与系统的复频域分析证明：证明：5.2.2时移时移(延时延时)性质性质若f(t)F(s)则f(t-t0)(t-t0)F(s),00 (5.21)第五章连续时间信号与系统的复频域分析令=t-t0,则上式变为时移(延时)特性表明，波形在时间轴上向右平移t0(t00)，其拉氏变换应乘以移动因子 。在使用这一性质时，要注意区分下列不同的四个时间函数：f(t-t0)、f(t-t0)(t)、f(t)(t-t0)和f(t-t0)(t-t0)。其中，只有最后一个函数才是原有始信号f(t)(t)延时t0后所得的延时信号，只有它的拉普拉斯变换才能应用时移(延时)特性来求取。第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.7以f1(t)=t(t)为例，画出下列信号的波形并分别求其拉氏变换：f1(t)，f2(t)=t-t0，f3(t)=(t-t0)(t),f4(t)=t(t-t0),f5(t)=(t-t0)(t-t0)解解f1(t)、f2(t)、f3(t)、f4(t)、f5(t)的波形分别如图5.4(a)(e)所示。第五章连续时间信号与系统的复频域分析图 5.4例5.7的5种信号波形图第五章连续时间信号与系统的复频域分析利用表5.1可知，斜坡信号t(t)的拉氏变换为，即由图5.4可见，f2(t)和f3(t)两种信号在t0时，二者的波形相同，所以它们的拉普拉斯变换也相同，即第五章连续时间信号与系统的复频域分析信号f4(t)的拉普拉斯变换为信号f5(t)的拉普拉斯变换可直接利用时移特性，即第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.8求信号f(t)=t2(t-1)的拉普拉斯变换。解解将信号的表示形式变形为f(t)=(t-1)2(t-1)+2(t-1)(t-1)+(t-1)根据时移特性，有第五章连续时间信号与系统的复频域分析再根据线性性质，得时移特性的一个重要应用是求有始周期信号的拉普拉斯变换。设f(t)为如图5.5所示以T为周期的周期信号，它的第一周、第二周、第三周波形分别用f1(t)、f2(t)、f3(t)表示，则可将f(t)分解表示为第五章连续时间信号与系统的复频域分析若f1(t)F1(s)，则根据时移特性可写出f(t)的象函数为第五章连续时间信号与系统的复频域分析上式表明，有始周期信号的拉普拉斯变换等于其第一周期波形的拉普拉斯变换式乘以周期因子，即(5.22)例例 5.9求如图5.6(a)所示周期的半波整流波形的拉氏变换。第五章连续时间信号与系统的复频域分析图 5.5有始周期信号示意图第五章连续时间信号与系统的复频域分析图 5.6例5.9的波形第五章连续时间信号与系统的复频域分析解解半波整流波形第一周期的波形如图5.6(b)所示，可由两个波形叠加而成，即则第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.2.3复频移性质复频移性质若f(t)F(s)则(5.23)此性质表明，时间函数乘以，其变换式在s域内移动s0，其中，s0可为实数或复数。第五章连续时间信号与系统的复频域分析证明证明：如果信号函数既有时移又有复频移，则其结果也具有一般性，即若有f(t)F(s)第五章连续时间信号与系统的复频域分析则(5.24)证明证明：令=t-t0,d=dt,则第五章连续时间信号与系统的复频域分析 例例 5.10求衰减正弦信号e-atsin(t)(t)和衰减余弦信号e-atcos(t)(t)的拉普拉斯变换，式中a0。解解因为根据复频移性质得在此例中应用复频移性质时，s0=a为实数。第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.2.4尺度变换性质尺度变换性质 若f(t)F(s)则(5.25)证明证明:令=at,d=adt,则第五章连续时间信号与系统的复频域分析式(5.25)中规定a0是必需的，因为f(t)是有始信号，若a0，则f(at)在t0区间为零，从而使Lf(at)=0，这样就不能应用上式。如果信号函数既有时移又有变换时间尺度，其拉普拉斯变换结果具有普遍意义，即若有f(t)F(s)则(5.26)第五章连续时间信号与系统的复频域分析证明证明：由尺度变换特性有由时移特性有第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.11求(at)、(at)的象函数。解解因为L (t)=F(s)=1故而 所以这个结果并不奇怪，因为对于任意正实数a,有(at)=(t)。第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.2.5时域微分性质时域微分性质若f(t)F(s)则(5.27)其中,f(0-)是f(t)在t=0时的初始值。证明证明：第五章连续时间信号与系统的复频域分析由一阶导数可以推广到二阶导数、n阶导数，即(5.29)(5.28)第五章连续时间信号与系统的复频域分析如果f(t)为某一有始函数，当 f(0-)=f(0-)=f(n-1)(0-)=0时，式(5.27)、式(5.28)、式(5.29)可以分别简化为例例 5.12求冲激函数(t)的导数(t)的拉普拉斯变换。(5.32)(5.31)(5.30)第五章连续时间信号与系统的复频域分析解解已知(t)1根据时域微分性质，有(t)s例例 5.13已知f(t)=e-at(t)，试求其导数的拉普拉斯变换。解解用两种方法进行求解。方法一方法一:由基本定义式求解。因为f(t)的导数为第五章连续时间信号与系统的复频域分析所以方法二方法二:由时域微分性质求解。已知则两种方法结果相同，但后者考虑了f(0-)的条件。第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.2.6时域积分性质时域积分性质若f(t)F(s)则(5.33)证明证明：第五章连续时间信号与系统的复频域分析上式中等号右边的第一项为常数，即而第五章连续时间信号与系统的复频域分析所以如果函数积分区间从零开始，则有(5.34)同理可推证(5.35)第五章连续时间信号与系统的复频域分析式(5.35)中，表示对函数f(t)从0-到t的n重积分。例例 5.14已知(t)，试利用阶跃信号的积分求tn(t)的拉氏变换。解解由于根据时域积分性质有第五章连续时间信号与系统的复频域分析又因为故依此类推，可以求得例例 5.15求图5.7(a)所示信号的象函数F(s)。第五章连续时间信号与系统的复频域分析图 5.7例5.15中的信号f(t)和f(t)的图形第五章连续时间信号与系统的复频域分析解解由图5.7(a)所示三角信号的表达式为则有第五章连续时间信号与系统的复频域分析的波形如图5.7(b)所示，即可表示为由单位阶跃信号变换以及延时性质和线性性质可得第五章连续时间信号与系统的复频域分析由图5.7(b)可见，f(t)是一个因果信号，所以由时域积分性质可得例例 5.16求图5.8(a)所示信号的象函数F(s)。解解由图5.8(a)可知信号的表达式为第五章连续时间信号与系统的复频域分析图 5.8例5.16中的信号f(t)和f(t)的图形第五章连续时间信号与系统的复频域分析对其求一阶导数得其波形如图5.8(b)所示，其函数可表示为f(t)=(t+1)由于单边拉普拉斯变换定义中的积分限是0-，所以有第五章连续时间信号与系统的复频域分析又因为应用时域积分性质得第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.2.7复频域微分性质复频域微分性质若f(t)F(s)则(5.36)(5.37)证明证明：因为则第五章连续时间信号与系统的复频域分析即重复运用上述结果可得例例 5.17求f(t)=te-at(t)的拉普拉斯变换。解解因为根据复频域微分性质，有第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.2.8复频域积分性质复频域积分性质 若f(t)F(s)则(5.38)证明证明：第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.18求f(t)=的拉氏变换。解解因为根据复频域积分性质，有第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.2.9初值定理初值定理若f(t)F(s),且f(t)连续可导和存在，则f(t)的初值为(5.39)初值定理只适用于f(t)在原点处没有冲激的函数。第五章连续时间信号与系统的复频域分析证明证明：由时域微分定理可知因为在区间(0-,0+)，t=0,e-st|t=0=1，所以(5.40)第五章连续时间信号与系统的复频域分析则有对上式两边取s极限时，上式右端第二项的极限为故第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.19已知F(s)=，试求f(t)的初值f(0+)。解解根据初值定理得初值定理表明，可以通过已知s域的象函数来求解信号f(t)的初值，从而为计算f(t)的初值提供了另一条途径。第五章连续时间信号与系统的复频域分析 注意，此定理存在的条件是要求 存在，则F(s)必须为真分式，即在时域中意味着f(t)在t=0处不包含冲激函数及其导数。若F(s)是假分式，必须利用长除法将F(s)分成一个多项式与一个真分式之和，即F(s)=s多项式+F0(s)其中,F0(s)为真分式部分。可以证明,上式的初值仅与F0(s)有关，由F0(s)来决定初值大小，即(5.41)第五章连续时间信号与系统的复频域分析根据时域微分性质，sm的反变换为(m)(t)，多项式对应的反变换为Km(m)(t)+Km-1(m-1)(t)+K0(t),而冲激函数(t)及其导数(m)(t)在t=0+时刻全为零，并不影响f(0+)的值，可移去F(s)的s多项式，只利用F(s)的真分式F0(s)求f(t)的初值。例例 5.20已知F(s)=，试求原函数f(t)的初值f(0+)。第五章连续时间信号与系统的复频域分析 解解F(s)分子的阶次等于分母的阶次，不是真分式。故需利用长除法将其分解为则注意,若取sF(s)=2s-，表明原点处有一个强度为2的冲激信号，在这种情况下直接应用式(5.39)，将得到f(0+)=的错误结果。第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.2.10终值定理终值定理 若f(t)F(s)，且 f(t)存在，则f(t)的终值为(5.42)证明证明：利用式(5.40)，取s0的极限,有第五章连续时间信号与系统的复频域分析即 在应用终值定理时应注意，只有当F(s)的极点都位于s平面的左半平面或在坐标原点处为单极点时，方可应用终值定理，此时,有限常数。而当F(s)的极点位于s平面的右半平面或在j轴上(原点s=0除外)时，f(t)的终值 f(t)不存在。需要注意，f(t)的极限不存在，但s0时，sF(s)的极限却可能存在，可以通过检验F(s)的极点来确定信号在t时的极限是否存在。例如，当a0时，极限不存在，但若使用终值定理将会得到=0的错误结论。这是因为L 分母多项式的根位于右半平面实轴上，故不能应用终值定理。第五章连续时间信号与系统的复频域分析信号初值和终值的求取，对系统分析，尤其是对系统稳定性分析和研究带来了许多方便。依据信号的初值和终值，能对系统的某些性能作出判断而避免了求反变换的复杂过程。例例 5.21已知象函数F(s)，求其原函数的终值f()。(1)F(s)=;(2)F(s)=。解解(1)由于F(s)的极点位于s平面的左半平面以及在原点处为单极点，所以满足终值定理的条件，即可得第五章连续时间信号与系统的复频域分析(2)由于f(t)的象函数F(s)=在j轴上有极点(s1，2=j2)，所以终值定理不能应用，f(t)的终值f()不存在。实际上，根据基本变换对可知,F(s)=的原函数为f(t)=2cos(2t)(t)；由此可见,f(t)是随时间等幅振荡的，其终值确实不存在。第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.2.11时域卷积定理时域卷积定理若f1(t)F1(s),f2(t)F2(s)则 f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s)(5.43)即两个信号的拉普拉斯变换的乘积等于两个信号的卷积积分的拉普拉斯变换，而不等于两个信号乘积的拉普拉斯变换。第五章连续时间信号与系统的复频域分析证明证明：因为f1(t)、f2(t)为有始函数，所以交换上式的积分次序得第五章连续时间信号与系统的复频域分析利用延时性质，有例例 5.22试求图5.9(a)所示三角脉冲信号f(t)的象函数F(s)。第五章连续时间信号与系统的复频域分析图 5.9例5.22中的波形图第五章连续时间信号与系统的复频域分析解解图5.9(a)中的三角脉冲信号f(t)可以分解为两个相同的矩形脉冲信号的卷积(如图5.9(b)所示),即f(t)=f 1(t)*f1(t)式中，f1(t)=(t)-(t-)，且其拉普拉斯变换F1(s)为应用时域卷积定理，可得第五章连续时间信号与系统的复频域分析时域卷积定理主要用于连续时间线性系统中卷积的计算，是在复频域中求解系统零状态响应的依据。例例 5.23已知某LTI连续系统的单位冲激响应h(t)=e-2t(t)，试求以f(t)=(t)为激励时的零状态响应yzs(t)。解解在时域分析中已知，系统零状态响应yzs(t)与系统冲激响应h(t)和激励信号f(t)之间的关系为yzs(t)=h(t)*f(t)根据时域卷积定理可得Yzs(s)=H(s)F(s)第五章连续时间信号与系统的复频域分析上式中，H(s)=L h(t)F(s)=L f(t)因为所以第五章连续时间信号与系统的复频域分析应用(t)和e-2t(t)的基本变换对，可将上式进行拉普拉斯反变换，即得系统的零状态响应为第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.2.12复频域卷积定理复频域卷积定理若f1(t)F1(s),f2(t)F2(s)则(5.44)证明证明：第五章连续时间信号与系统的复频域分析现将拉普拉斯变换的主要性质及定理列于表5.2中，以便查阅和应用。表表 5.2拉普拉斯变换的性质及定理拉普拉斯变换的性质及定理 第五章连续时间信号与系统的复频域分析第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.3拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换应用拉普拉斯变换法求解系统的时域响应时，不仅要根据已知的激励信号求其象函数，还必须把响应的象函数再反变换为时间函数，这就是拉普拉斯反变换，又称拉普拉斯逆变换，简称为拉氏反变换或拉氏逆变换。拉氏反变换是将象函数F(s)变换为原函数f(t)的运算。式(5.45)给出了拉氏反变换的定义式(5.45)第五章连续时间信号与系统的复频域分析这个公式的被积函数是一个复变函数，其积分是沿着收敛区内的直线-j+j进行。这个积分可以用复变函数积分计算，因此可以利用复变函数理论中的围线积分和留数定理求反变换，但此计算比较复杂。在一般情况下，计算函数比计算积分更容易，对于单边拉普拉斯变换来说，由于时域中的函数f(t)与复频域中的函数F(s)是一一对应的，且实际问题中象函数F(s)一般为s的有理分式，所以在工程中常常通过查表或部分分式法来求反变换。这种利用代数方法求拉氏反变换是一种较为简便的方法，因此本书只讨论拉氏反变换的部分分式法。第五章连续时间信号与系统的复频域分析部分分式法是先把复频域中的象函数F(s)展开为一系列简单分式之和的形式，先求出这些简单分式的反变换，再根据线性性质就可得到整个F(s)的原函数。这里的所谓简单分式，是指在常用信号的变换对中可以找到它们的函数形式，如表5.1中列出的常用信号的拉普拉斯变换。对于线性系统而言，响应的象函数F(s)常具有有理分式的形式，它可以表示为两个实系数的多项式之比，即(5.46)第五章连续时间信号与系统的复频域分析式中，an,an-1,a1,a0和bm,bm-1,b1,b0均为实系数，n和m为正整数。分母多项式D(s)称为系统的特征多项式，方程D(s)=0称为特征方程，假设an=1，它可表示为便于分解的形式D(s)=(s-p1)(s-p2)(s-pn)(5.47)式中，p1,p2,pn是D(s)=0方程式的根(系统的固有频率或自然频率)，称为特征根，也称为F(s)的极点。同样,分子多项式也可表示为N(s)=bm(s-z1)(s-z2)(s-zm)(5.48)第五章连续时间信号与系统的复频域分析式中,z1,z2,zm是N(s)=0方程式的根，称为F(s)的零点。若mn，则F(s)为有理真分式。对此形式的象函数可以用部分分式法(或称分解定理)将其表示为许多简单分式之和的形式；若mn时，则F(s)为假分式。在将式(5.46)展开成部分分式之前，需要用长除法将其分成多项式与真分式之和，即(5.49)第五章连续时间信号与系统的复频域分析令B(s)=B0+B1s+Bm-nsm-n，它是s的有理多项式，由于多项式B(s)的拉普拉斯反变换是冲激函数及其各阶导数，它们可直接求得，即为L-1B(s)=B0(t)+B1(t)+Bm-n(m-n)(t)(5.50)所以,只需要确定 的拉普拉斯反变换就可以了，故下面着重讨论F(s)是有理真分式时的拉普拉斯反变换。由于D(s)=0的n个根可为单根或重根，也可为实数根或复数根，所以，F(s)展开为部分分式的具体形式取决于F(s)的极点的特性。下面根据F(s)的极点pi(i=1,2,n)的不同情况，分别介绍部分分式法求解反变换的过程。第五章连续时间信号与系统的复频域分析1.F(s)的极点均为互不相等的单实极点的极点均为互不相等的单实极点在nm时，若D(s)=0的n个单根分别为p1,p2,pn，且均为实数，互不相等，则F(s)可表示为如下形式(5.51)第五章连续时间信号与系统的复频域分析象函数F(s)对应的原函数f(t)为(5.52)那么，如何确定K1,K2,Kn呢?例如，对式(5.51)两边同时乘以(s-p1)，有(5.53)第五章连续时间信号与系统的复频域分析令s=p1,则式(5.53)右边除K1外，其余各项均为零，由此得到第一个系数K1为同理，可求出任一极点pi所对应的系数Ki为Ki=(s-pi)F(s)|,i=1,2,n(5.54)第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.24已知象函数F(s)=,求原函数f(t)。解解F(s)的分母多项式D(s)=s3+5s2+6s=s(s+2)(s+3)，所以，方程D(s)=0有三个单根，分别为p1=0,p2=-2,p3=-3。因此F(s)的部分分式展开式为(5.55)第五章连续时间信号与系统的复频域分析利用式(5.54)可求得各系数分别为将K1、K2、K3的值代入式(5.55)中，得利用基本变换对及线性性质，得f(t)=(1-2e-2t+e-3t)(t)第五章连续时间信号与系统的复频域分析2.F(s)的极点中含有共轭复数极点且无重极点的极点中含有共轭复数极点且无重极点在nm时，若D(s)=0的n个单根中，不仅具有实数根，而且还有复数根。在这种情况下，上面介绍的在F(s)仅有单极点时求拉氏反变换的方法同样适用于F(s)极点中含有复数单极点的情况。但是，对于实系数有理分式的n个根中有复数根(或虚数根)，则这些复数根必然是成对出现的共轭复数，而且部分分式的相应系数也是成对出现的共轭复数。在实际应用中，注意到上述特点，可以简化求系数的过程。第五章连续时间信号与系统的复频域分析设D(s)=0有一对复数根p1，2=-j，则F(s)可展开为(5.56)根据式(5.54)，可求得K1和K2分别为第五章连续时间信号与系统的复频域分析从以上两式可以看到，K1与K2呈共轭关系。设K1=|K1|ej，则K2=K*1=|K1|e-j，于是有对F(s)取拉普拉斯反变换，得(5.57)第五章连续时间信号与系统的复频域分析由此可见，对于F(s)的一对共轭复数极点p1=-+j,p2=-j,只需要求出一个系数即可。若K1=|K1|ej(K1是对应于s-p1的系数)，则根据式(5.57)就可写出这一对共轭复数极点所对应的部分分式的原函数的表达式。例例 5.25已知F(s)=,试求其原函数f(t)。解解本例中，D(s)=(s+1)(s+2-j)(s+2+j)=0有三个根，它们分别是p1=-1,p2=-2+j,p3=-2-j。因此，可将F(s)展开为第五章连续时间信号与系统的复频域分析由式(5.54)求得上式中的K1、K2分别为第五章连续时间信号与系统的复频域分析所以，对F(s)求反变换得3.F(s)的极点中含有重极点的极点中含有重极点在nm时，若D(s)=0的特征根中含有s=p1的r重根，而其余n-r个根pj(j=r+1,n)为单根，则F(s)可表示为(5.58)第五章连续时间信号与系统的复频域分析式(5.58)中,对应单极点分式的系数Kj仍可用式(5.54)确定。为了确定系数K1i(i=1,2,r),将式(5.58)两边同乘以(s-p1)r,则可得(s-p1)rF(s)=K11+(s-p1)K12+(s-p1)r-1K1r+(s-p1)r (5.59)令s=p1,则上式右边除K11项外，其余各项均为零，于是可得K11=(s-p1)rF(s)|(5.60)第五章连续时间信号与系统的复频域分析 若将式(5.59)对s求一次微分，并令s=p1,可以求得系数K12为(5.61)依次类推，将式(5.59)对s求i-1次微分，并令s=p1,可以求得系数K1i为(5.62)第五章连续时间信号与系统的复频域分析 当全部系数确定后，由于(5.63)对式(5.63)做拉普拉斯变换，可求出式(5.58)中重根部分的原函数为第五章连续时间信号与系统的复频域分析再根据拉普拉斯变换的线性性质及式(5.54)，可求得F(s)的原函数为(5.64)第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.26已知F(s)=,求原函数f(t)。解解将F(s)进行部分分式展开，即第五章连续时间信号与系统的复频域分析其中,各分式的系数分别为第五章连续时间信号与系统的复频域分析故其原函数为若mn时，F(s)为假分式，在利用部分分式法进行拉氏反变换之前，需要用长除法将其分成有理多项式和有理真分式之和，然后再利用部分分式法及时域微分性质，通过查表求得F(s)的原函数f(t)。第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.27求F(s)=的原函数f(t)。解解由于F(s)是一个假分式，首先分解出真分式，为此采用长除法运算第五章连续时间信号与系统的复频域分析得第五章连续时间信号与系统的复频域分析可以看出F(s)有一个单极点和一个二重极点，分别采用单极点和二重极点系数求解方法，即可求出K1,K21,K22。第五章连续时间信号与系统的复频域分析将各系数代入原式可得故除了利用部分分式展开法以外，在求拉氏反变换时，还应善于利用性质。尤其当象函数F(s)不是有理分式时，由于无法进行部分分式展开，这时就需要采用适当的性质和基本变换对来进行求解。第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.28已知F(s)=，求F(s)的拉氏反变换。解解将F(s)改写为第五章连续时间信号与系统的复频域分析根据基本变换对和时移性质，有所以第五章连续时间信号与系统的复频域分析例例 5.29试求F(s)=的原函数f(t)，并画出其波形。解解F(s)不是有理分式，不能展开为部分分式，但可将F(s)的函数形式做如下恒等变换(5.65)第五章连续时间信号与系统的复频域分析由5.2.2中讨论的周期信号的拉普拉斯变换的知识可知，对于有始的周期信号的象函数具有式(5.22)所示形式，即(5.66)式中，F1(s)是周期信号在第一周期内脉冲信号的象函数。将式(5.65)与式(5.66)比较可知，本例中F(s)的原函数f(t)是一个周期信号，其周期T=2，F1(s)=1-e-s。对F1(s)取反变换，可得周期信号f(t)在第一个周期内的脉冲信号为f1(t)=(t)-(t-1)第五章连续时间信号与系统的复频域分析 根据f1(t)=(t)-(t-2)，T=2，画出f(t)的波形如图5.10所示。根据周期信号的特点，可写出f(t)的表达式为第五章连续时间信号与系统的复频域分析图 5.10例5.29中的f(t)波形图第五章连续时间信号与系统的复频域分析5.4连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析系统的复频域分析，就是利用拉普拉斯变换将系统的时域特性变换到复频域(s域)，在复频域中求解系统的响应或分析系统的特性。它是分析线性连续时间系统常用的且较简便的方法。5.4.1微分方程的复频域求解微分方程的复频域求解用拉普拉斯变换分析法求解常系数线性微分方程时，不仅可以将描述连续时间系统的时域微分方程变换成复频域中的代数方程，而且在此代数方程中同时体现了系统的初始状态。解此代数方程，可一举求得方程的完全解。第五章连续时间信号与系统的复频域分析设线性时不变系统的输入(激励)为f(t)，输出(响应)为y(t)，描述n阶系统的输入-输出微分方程的一般形式可写为(5.67)第五章连续时间信号与系统的复频域分析式(5.67)可表示为式中，系数ai(i=0,1,2,n),bj(j=0,1,2,m)均为实数。设系统的初始状态为y(0-),y(0-),y(n-1)(0-)。令f(t)F(s),y(t)Y(s)，根据时域微分性质，y(t)及其各阶导数的拉氏变换为第五章连续时间信号与系统的复频域分析由于f(t)是在t=0时接入，因而在t=0-时，f(t)及其各阶导数均为零，则f(t)及其各阶导数的拉氏变换为(5.70)因此，对式(5.68)微分方程两边取拉氏变换并将式(5.69)、(5.70)代入，得第五章连续时间信号与系统的复频域分析由此可得(5.71)第五章连续时间信号与系统的复频域分析由式(5.71)可知，其第一项仅与系统的初始状态有关而与输入无关，因而是零输入响应yzi(t)的象函数Yzi(s);其第二项仅与输入有关而与系统的初始状态无关，因而是零状态响应yzs(t)的象函数Yzs(s)。于是式(5.71)可写为Y(s)=Yzi(s)+Yzs(s)(5.72)对式(5.71)取拉氏反变换，得系统的全响应为y(t)=yzi(t)+yzs(t)73)第五章连续时间信号与系统的复频域分析 下面以具体例子说明微分方程的复频域的求解过程。例例 5.30描述某线性时不变系统的微分方程为:y(t)+3y(t)+2y(t)=