微积分2.1数列的极限课件.ppt
第二章第二章 极限与连续极限与连续2.1 数列的极限数列的极限2.2 函数的极限函数的极限 2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大2.4 极限运算的基本法则极限运算的基本法则2.5 极限存在准则及两个重要极限极限存在准则及两个重要极限2.6 无穷小阶的比较无穷小阶的比较2.7 2.8 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 函数的极限与连续是微积分学的两个重要基本概念函数的极限与连续是微积分学的两个重要基本概念.前者前者是研究变量之间的变化规律与变化趋势的重要工具是研究变量之间的变化规律与变化趋势的重要工具,也是微也是微积分中许多基本概念和基本方法的基础积分中许多基本概念和基本方法的基础;后者是函数的一种后者是函数的一种重要性态重要性态,也是微积分中的一个主要研究对象也是微积分中的一个主要研究对象.因此，在这一因此，在这一章里章里,我们将建立极限的基本概念，讨论极限的基本性质与计我们将建立极限的基本概念，讨论极限的基本性质与计算方法算方法,在此基础上介绍连续函数的概念和闭区间上连续函数在此基础上介绍连续函数的概念和闭区间上连续函数的性质的性质.2.1 数列的极限数列的极限一一.数列概念数列概念二二.数列极限数列极限三数列极限的性质三数列极限的性质一一.数列概念数列概念定义定义2.1.1 是定义在正整数集合上的函数是定义在正整数集合上的函数,当自变当自变量量n 按正整数的按正整数的顺顺序取序取值时值时,称函数称函数值值 相相应应排列成的一串数排列成的一串数为为数列数列,简记为简记为 xn,xn叫做数列的叫做数列的一般项一般项(或或通项通项).).数列中的每个数叫做数列的项数列中的每个数叫做数列的项,第第n项项数数0,此时此时,我们就说数列我们就说数列 xn 以以 0为极限为极限.二二.数列极限数列极限 对于数列对于数列 xn,我们需要研究的问题是我们需要研究的问题是:当当n无限增大时无限增大时(记记为为n ),数列的一般项数列的一般项 xn 的变化趋势的变化趋势.特别地特别地,当当n无限增无限增大时大时,如果如果 xn 能与某个确定的常数能与某个确定的常数a无限接近无限接近,则称常数则称常数a为数为数列列 xn 当当 n 时的极限时的极限.,不难看出不难看出,当当n 时时,xn 无限地趋近于常无限地趋近于常考察数列考察数列与常数与常数 0的接近程度可用的接近程度可用要使要使则当则当 n10 时时,都能满足与都能满足与0的距离小于的距离小于 即对于第即对于第10项项 若再取一个更小的正数若再取一个更小的正数 要使要使则当则当 n100时时,即自第即自第100项后的任一项项后的任一项x101,x102,都满足都满足 来表示来表示.若令若令小于某个正数小于某个正数x11,x12,都能满足都能满足以后的任一项以后的任一项无论给定多么小的正数无论给定多么小的正数,在在 n无限增大的变化过程中无限增大的变化过程中,总有那总有那么一个时刻么一个时刻N,在这个时刻以后（即在这个时刻以后（即nN 或或 n 充分大以后）充分大以后）,由此可见由此可见,对于数列对于数列 都小于那个正数都小于那个正数.图图2.1.1 数列极限定义的几何意义数列极限定义的几何意义:若若 则对于任意给定的则对于任意给定的都存在正整数都存在正整数N,使得当使得当nN时时,即从第即从第N+1项开始项开始,数列数列xn的所有项全部落在的所有项全部落在的的邻域邻域域外域外,最多只有数列最多只有数列xn的有限项的有限项x1,x2,xN,如图如图2.1.1内内,在这个邻在这个邻例例1 用极限定义证明：用极限定义证明：证明证明 对任意给定的对任意给定的 ,要使不等式要使不等式当当nN时时,恒有恒有故故成立成立,只需只需则对于任意给定的则对于任意给定的 即可即可.若取若取证明证明对任意给定的对任意给定的 1 0,要使不等式要使不等式成立成立,只需只需则当则当n N时时,恒有恒有例例2 用极限定义证明：用极限定义证明：则当则当n N 时时,上面两个式子同时成上面两个式子同时成立立,于是于是由于由于a、b是常数是常数,所以所以a-b数数a-b可以比任意小的正数还小可以比任意小的正数还小,则必有则必有a-b=0,即即故收敛的数列其极限唯一故收敛的数列其极限唯一.也是常数也是常数,据上述不等式据上述不等式,常常定理定理2.1.2 (有界性有界性)如果数列如果数列 xn 收敛收敛,则则 xn 一定有界一定有界.证明证明 设设根据数列极限的定义根据数列极限的定义,对于对于正整数正整数N,当当成立成立,于是当于是当n N 时时,项都有项都有xnM 成立成立,故数列故数列xn是有界的是有界的.存在存在时时,有有则对数列则对数列xn所有所有 推论推论 如果如果 则有则有 定理定理2.1.4(收敛数列与其子列间的关系收敛数列与其子列间的关系)如果数列如果数列xn 收敛收敛于于a,那么它的任一子列也收敛那么它的任一子列也收敛,且极限也是且极限也是a.注注 如果数列如果数列xn有子数列收敛于不同的极限有子数列收敛于不同的极限,则数列则数列xn是发散的是发散的.例如例如数列数列,且存且存在正整数在正整数N,当当n N时时,有有(用反证法证明用反证法证明)其子数列其子数列收敛于收敛于1,子数列子数列收敛于收敛于-1,因此因此数列数列是发散的是发散的.
