初等数论程耀优秀PPT.ppt
初等数论程耀第1页，本讲稿共23页素数和合数素数和合数算术基本定理：任意正整数n可以写成n=2a1*3a2*5a3*,其中a1,a2,a3等为非负整数素数的判定：判定函数 筛法求素数 miller_rabin素性判定第2页，本讲稿共23页素数的判定素数的判定bool Is_prime(int n)int t=(int)sqrt(n);for(int i=2;i=t;i+）if(n%i=0)return false;return true;第3页，本讲稿共23页筛法求素数筛法求素数思考：如果一个数是合数，那么它的素因子都比它小？这样说来：如果我们的当前数是 a,那么所有 a的倍数（当然是2倍以上啦）都不会是素数，可以这样看吧？于是，我们可以一种新的素数判定方法。第4页，本讲稿共23页筛法求素数筛法求素数方法：每次用一个素数，去筛掉所有它的倍数。举个例子：2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 30筛去2的倍数，剩下3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29筛去3的倍数，剩下5 7 11 13 17 19 25 29 。注意：开头的数一定是素数？第5页，本讲稿共23页筛法求素数筛法求素数bool prime maxn;/时间复杂度O(n)?void init()memset(prime,0,sizeof(prime);for(int i=4;i maxn;i+=2)primei=1;for(int i=3;i maxn;i+=2)if(!prime i)for(int j=i*i;j maxn;j+=i)prime j=1;第6页，本讲稿共23页miller_rabin素性判定素性判定miller_rabin是一种概率型的算法，不是确定型的。但是，只要运行次数足够多，一般出错的概率是非常小的，一般10次就好了！算法复杂度是 O(logn)3)算法的正确性是基于费马小定理。费马小定理：对于素数p和任意整数a，有a(p-1)=1(mod p)。反过来，满足a(p-1)=1(mod p),p也几乎一定是素数。第7页，本讲稿共23页miller_rabin算法分析算法分析bool miller_rabin(LL n)if(n2)return false;if(n=2)return true;if(!(n&1)return false;for(int i=1;i=1;t+;/这个地方是通过一个推论来优化的，x2=1(mod n),当那个n是合数的时候，就会出现非平凡平方根！LL x=quick_mod(a,m,n);for(int i=1;i=t;i+)y=muti(x,x,n);if(y=1&x!=1&x!=n-1)return true;x=y;if(y!=1)return true;else return false;第9页，本讲稿共23页快速幂取模快速幂取模题目：求出mn(mod p)的值，其中 m=10000,n=1;/n右移两位，相当于除2t=t*t%n;return ret;PS：与快速幂取模类似的还有矩阵快乘，这里不展开第12页，本讲稿共23页最大公约数（最大公约数（gcd)普通算法：求出c=min(a,b),如果找到c|a&c|b,那么c减一，然后循环继续，直到 找到 c满足条件为止。欧几里得算法：int gcd(int a,int b)return b?gcd(b,a%b):a;第13页，本讲稿共23页欧几里得算法的证明欧几里得算法的证明证明：令m是a,b 的公约数，而a可以表示为a=n*b+r,其中r=0&rb那么r=a-n*b,可以知道r 能够被 m 整除。同理：如果m是r 和 b 的公约数。那么，a=n*b+r,所以，m也能够整除a.由上面的两条可知：a,b和b,r具有相同的公约数，故欧几里得算法成立。第14页，本讲稿共23页扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法应用：常用来求解形如a*x+b*y=gcd(a,b)的二元一次不定方程代码如下：void extended_gcd(int a,int b,int&x,int&y)if(b=0)x=1;y=0;return;extended_gcd(b,a%b,x,y);int temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;第15页，本讲稿共23页扩展欧几里得算法分析扩展欧几里得算法分析证明：令d=gcd(a,b);a*x+b*y=d.b*x1+(a%b)*y1=d.那么我们可以由x1,y1的值反推出x,y的值。把两式联立，消去d,并且用a-a/b*b来替换a%b;然后可以令x=y1,推出y=x1-a/b*y1;第16页，本讲稿共23页扩展欧几里得算法的注意事项扩展欧几里得算法的注意事项形如a*x+b*y=c的方程,如果gcd(a,b)能够整除c,那么此方程有解，否则无解。并且它的特解形式为x=c/gcd(a,b)*x0,y=c/gcd(a,b)*y0(其中 x0,y0是用扩展欧几里得算法求出的解）通解的形式：x=x0-b/d*ty=y0+a/d*t其中：t是整数。第17页，本讲稿共23页a关于模关于模n的乘法逆元的乘法逆元什么是乘法逆元？如果a*b=1(mod n),那么b就是a 关于模n的乘法逆元，此时，也可以称作a与b互为乘法逆元。第18页，本讲稿共23页乘法逆元的应用乘法逆元的应用题目：输出C(n,m)%p,其中p是一个素数。n10000.思考：如果使用边除边模的方法，也会有出现大数，导致精度溢出。(a/b)%p!=(a%p)/(b%p)%p;解决方案：除以一个数并取模，就相当于是乘以它的逆元然后再取模。第19页，本讲稿共23页如何求解乘法逆元如何求解乘法逆元上式等价a*x+b*n=1的解，所以可以应用扩展欧几里得算法来求出x的值。为了保证x是正整数，通常需要加上：x=(x%n+n)%n；int inv(int a,int n)int x,y;extended_gcd(a,n,x,y);x=(x%n+n)%n;return x;第20页，本讲稿共23页扩展阅读扩展阅读AekdyCoin的博客：http:/ you for listening第23页，本讲稿共23页
