直线与椭圆的位置关系二精.ppt
直线与椭圆的位置关系二第1页，本讲稿共23页 弦中点问题的两种处理方法：弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。求出弦的斜率。总结总结:第2页，本讲稿共23页练习练习:中心在原点一个焦点为的椭中心在原点一个焦点为的椭圆的截直线所得弦的中点横坐标圆的截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程为，求椭圆的方程分析：根据题意可设椭圆的标准方程，与直线方程连里解方程组，利用中点公式求得弦的中点的横坐标，最后解关于的方程组即可第3页，本讲稿共23页 解：设所求椭圆的方程为由得把直线方程代入椭圆方程，整理得 设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得 又中点的横坐标为由此得 解、得：第4页，本讲稿共23页例例2：在椭圆：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程且被这一点平分的弦所在的直线方程.-2-424xyM(2,1)0解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）如果弦所在的直线的斜率不存在，如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于即直线垂直于x轴，轴，则点则点M（2，1）显然不可能是这条弦的中点。故可设弦）显然不可能是这条弦的中点。故可设弦所在的直线方程为所在的直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程得代入椭圆方程得x2+4k(x-2)+12=16即得即得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0直线与椭圆有两个交点直线与椭圆有两个交点,故故 =16(k2+4k+3)0又又 两式联立解得k=，直直线线方程方程为为x+2y-4=0.第5页，本讲稿共23页评：评：.本例在解题过程中，充分考虑了椭本例在解题过程中，充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，由此得出圆与直线相交有两个交点这一事实，由此得出=16(k2+4k+3)0，又利用了中点坐标，列出了方，又利用了中点坐标，列出了方程，从而使问题得到解决程，从而使问题得到解决.这种方法是常用的这种方法是常用的方法，大家务必掌握方法，大家务必掌握.但是，这种解法显得较繁但是，这种解法显得较繁（特别是方程组（特别是方程组 16()0显得较繁显得较繁）第6页，本讲稿共23页解二解二解二解二：设弦的两个端点分别为：设弦的两个端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2)则则 x1+x2=4,y1+y2=2在在P(x1,y1),Q(x2,y2)椭圆上椭圆上,故有故有x12+4y12=16 x22+4y22=16两式相减得两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0点点M（2，1）是）是PQ的中点的中点,故故x1x2，两边同除两边同除(x1-x2)得得 即4+8k=0 k=弦所在的直线方程为弦所在的直线方程为y-1=(x-2)即即x+2y-4=0.评：评：.本解法设了两个端点的坐标，而我们并没有真的求出本解法设了两个端点的坐标，而我们并没有真的求出它们，而是通过适当变形，得到了它们，而是通过适当变形，得到了从而揭示了弦所在的直线斜率从而揭示了弦所在的直线斜率k与弦中点坐标与弦中点坐标(x0,y0)之间在椭圆标准方程的前提之间在椭圆标准方程的前提下的关系：下的关系：mx0+ny0k=0.显得很简便显得很简便.但在解但在解题过题过程中程中应应注意考注意考虑虑x1x2的条件！如果有的条件！如果有这这种可能性，可采用种可能性，可采用讨论讨论的的方法，先方法，先给给以解决以解决.如果不可能有如果不可能有这这种情况，种情况，则应则应先先说说明明 例例2：在椭圆：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程且被这一点平分的弦所在的直线方程.-2-424xyM(2,1)0第7页，本讲稿共23页练习：在椭圆练习：在椭圆 中，求通过点中，求通过点M（1，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程）且被这一点平分的弦所在的直线方程.第8页，本讲稿共23页综合：综合：已知椭圆已知椭圆 与直线与直线 相交于相交于 两点，两点，是的是的 中中点若点若 ，斜率为斜率为 （为原点），（为原点），求椭圆方程求椭圆方程分析：分析：本例是一道综合性比较强的问题，求解本例是一道综合性比较强的问题，求解本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜率，另外还要用到弦长公式：率，另外还要用到弦长公式：第9页，本讲稿共23页解：由方程组解：由方程组消去消去 整理得：整理得：第10页，本讲稿共23页即：即：解解得得所求的椭圆方程为所求的椭圆方程为第11页，本讲稿共23页 （四）（四）（四）（四）.椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题1.1.过椭圆过椭圆 的右焦点与的右焦点与x x轴垂直的直线与椭圆轴垂直的直线与椭圆交于交于A,BA,B两点，求弦长两点，求弦长|AB|AB|第12页，本讲稿共23页 oxy第13页，本讲稿共23页 oxy思考：最大的距离是多少？第14页，本讲稿共23页3.如果点的坐标为（，），如果点的坐标为（，），F1是椭圆是椭圆 的左焦点，点是椭圆上的左焦点，点是椭圆上 的动点，求的动点，求:（1）|PA|+|PF1|的最小值；的最小值；（2）|PA|+|PF1|的最大值和最小值的最大值和最小值（2）设右焦点为）设右焦点为,欲求欲求 的最大的最大值怎样使它与值怎样使它与 联系在一起呢？联系在一起呢？数形结合数形结合简便直观简便直观第15页，本讲稿共23页4.第16页，本讲稿共23页 5.5.设设ABAB为过椭圆为过椭圆 的中心的弦的中心的弦,F,F1 1是左焦点是左焦点,求求 的面积的最大值的面积的最大值.O OA AB BF F1 1F F2 2第17页，本讲稿共23页3、弦中点问题的两种处理方法：、弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：（1）垂径定理：）垂径定理：|AB|=（只适用于圆）（只适用于圆）（2）弦长公式：）弦长公式：|AB|=（适用于任何曲线）（适用于任何曲线）小小 结结:第18页，本讲稿共23页作业作业1.K为何值时为何值时,直线直线y=kx+2和曲线和曲线2x2+3y2=6有两个公有两个公共点共点?有一个公共点有一个公共点?没有公共点没有公共点?2.无论无论k为何值为何值,直线直线y=kx+2和曲线和曲线交点情况满足交点情况满足()A.没有公共点没有公共点 B.一个公共点一个公共点C.两个公共点两个公共点 D.有公共点有公共点第19页，本讲稿共23页3、y=kx+1与椭圆与椭圆 恰有公共点，则恰有公共点，则m的范围（的范围（）A、（、（0，1）B、（、（0，5）C、1，5）（5，+）D、（、（1，+）4、过椭圆、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为300的直线，的直线，则弦长则弦长|AB|=_ ,5、求椭圆、求椭圆 被过右焦点且垂直于被过右焦点且垂直于x轴轴 的直线所截得的弦长。的直线所截得的弦长。第20页，本讲稿共23页7、中心在原点，一个焦点为、中心在原点，一个焦点为F（0，）的椭圆被）的椭圆被 直线直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆，求椭圆 方程。方程。6、如果椭圆被、如果椭圆被 的弦被（的弦被（4，2）平分，那么这弦所在）平分，那么这弦所在直线方程为（直线方程为（）A、x-2y=0 B、x+2y-4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0第21页，本讲稿共23页作业作业1.K为何值时为何值时,直线直线y=kx+2和曲线和曲线2x2+3y2=6有两个公共点有两个公共点?有一个公共点有一个公共点?没有公共点没有公共点?2.无论无论k为何值为何值,直线直线y=kx+2和曲线和曲线交点情况满足交点情况满足()A.没有公共点没有公共点 B.一个公共点一个公共点C.两个公共点两个公共点 D.有公共点有公共点第22页，本讲稿共23页3、y=kx+1与椭圆与椭圆 恰有公共点，则恰有公共点，则m的范围（的范围（）A、（、（0，1）B、（、（0，5）C、1，5）（5，+）D、（、（1，+）4、过椭圆、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为300的直线，的直线，则弦长则弦长|AB|=_ ,5、求椭圆、求椭圆 被过右焦点且垂直于被过右焦点且垂直于x轴轴 的直线所截得的弦长。的直线所截得的弦长。第23页，本讲稿共23页
