第五 连续时间系统的复频域分析.pptx

主要内容:拉普拉斯变换与反变换线性系统的拉斯变换分析法线性系统的模拟(方框图)信号流图与梅森公式第1页/共136页5.2 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换在数学中是直接从积分变换的观点定义的，我们将从信号分析的观点出发，由傅里叶变换推广到拉普拉斯变换1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 函数f(t)不满足绝对可积条件往往是由于当t 时f(t)不衰减造成的，因此若人为乘上一个衰减因子e-t，则 就可能符合绝对可积条件，因而其傅里叶变换存在。第2页/共136页第3页/共136页双边拉普拉斯变换更常用的是单边拉普拉斯变换，定义为：第4页/共136页与傅里叶变换一样有时也记为表示它们是一对拉普拉斯变换对，f(t)称为原函数，F(s)称为象函数。第5页/共136页2、拉普拉斯变换的物理意义F F :是将信号分解为无穷多个 分量，每个分量的幅度为L L :是将信号分解为无穷多个 分量，每个分量的幅度为 第6页/共136页 这里的s与傅里叶变换中的j相对应，常称s为复频率，因此，拉普拉斯变换分析法常称为复频域分析法。在傅里叶变换中一对 合成一个实信号，代表的是一个正弦分量；在拉普拉斯变换中的一对 也应合成一个实信号。那么，它代表的是一个什么分量呢？3、的含义第7页/共136页A1A2B1B2C1C1*C2C2*第8页/共136页对est有了以上认识后，再来看看拉普拉斯变换的意义。拉普拉斯变换：将f(t)沿-j+j分解为无穷多个est分量。拉普拉斯反变换：沿-j+j积分路径，将无穷多个est分量迭加得f(t)。傅里叶变换：则是沿路径-j+j即虚轴的分解与迭加，因此它是拉普拉斯变换的特例 第9页/共136页第10页/共136页5.3 拉普拉斯变换的收敛域 当f(t)乘上一个因子e-t后，f(t)e-t有可能收敛，到底是否敛域还取决于的取值，这就是拉普拉斯变换的收敛域问题。1、定义：能使f(t)e-t 满足绝对可积条件的的取值范围称拉普拉斯变换的收敛域第11页/共136页 在收敛域内f(t)的拉普拉斯变换F(s)存在，在收敛域外则不存在。F(s)的所有极点必须在收敛域外。2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法第12页/共136页在 s 平面上 以=0 为界将s 平面分为两个区域。=0 称收敛轴（边界），称0 为收敛坐标，而0 为收敛域（不包含边界），第13页/共136页2、常用单边拉普拉斯变换的收敛域 下面将通过一些例子来总结有关单边拉普拉斯变换收敛域的一些结论。（1）、持续时间有限的单个脉冲信号 对于这种信号能量有限，因此不管取何值 总是满足，收敛域为整个s平面，拉斯变换无条件存在。第14页/共136页所以，收敛域为不包含虚轴的右半平面。第15页/共136页第16页/共136页结论：1、在电子技术中常用的有始函数一般都属于指数阶函数，单边拉普拉斯变换存在，有收敛域。2、能量有限的信号，单边拉普拉斯变换的收敛域为整个复平面。3、有始无终的单边函数，单边拉普拉斯变换的收敛域总是在某一收敛轴的右边。4、在收敛域中不包含极点。5、凡符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯变换，而且存在傅里叶变换，收敛域必定包含虚轴；反之，凡不符合绝对可积条件的函数，收敛域必不定包含虚轴，傅里叶变换不一定存在。第17页/共136页5.4 常用函数的拉普拉斯变换s=为极点，所以收敛域为 Re()第18页/共136页有了指数函数这个基本变换对，我们就可以派生出许多其他变换对。例如：（1）、(t)（2）、单边正弦函数sin0t(t)第19页/共136页另外，衰减的正弦、余弦、双曲函数等都可用同样的方法求出。第20页/共136页2、t 的正幂函数 tn(t)（n为正整数）第21页/共136页3、单位冲激函数(t)另外，符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯变换，而且存在傅里叶变换。所以，其傅里叶变换和拉普拉斯变换可以相互转化。第22页/共136页第23页/共136页对不符合绝对可积条件的函数，其傅里叶变换和拉普拉斯变换则不符合上面的转化关系。第24页/共136页5.6 拉普拉斯变换的性质 和傅里叶变换一样，拉普拉斯变换也有一些重要的性质，掌握它很重要。一方面对变换的本身可有一个深入的了解，另一方面在求拉普拉斯正变换以及拉普拉斯反变换时可简化我们的运算。两种变换的性质有些是相似的，而有些是有区别的，要注意它们的相似之处和不同之处不要混淆。还要注意的是这些性质都是针对单边拉普拉斯变换的。第25页/共136页2、尺度变换若：则：1、线性若：则：第26页/共136页3、时间平移若：则：例1：f(t)如图求F(s)。解：第27页/共136页例2:如图有始周期函数 f(t)，若其第一个周期的函数记为f1(t)，且求F(s)。解：第28页/共136页由这个例子我们可以得出二个结论：1、对于周期为T的有始周期函数，求其拉普拉斯变换只要求其第一个周期的变换，然后再乘以 。2、反之若见到象函数的分母含有因子 就应想到其原函数为有始周期函数，所以做反变换时也只要做第一个周期的反变换，然后再以T为周期延拓。第29页/共136页例3：已知 求 f(t)。解：令 从而：f1(t),f(t)如图：由图我们可以写出f(t)更简洁的形式：第30页/共136页4、复频域平移若：例如：由 可得：又如 由 可得 第31页/共136页5、时域微分若：证明：本性质可推广到n阶导数，即：第32页/共136页6、时域积分本性质也可推广到多重积分的情况。第33页/共136页7、复频域微分与积分第34页/共136页8、对参变量的微分与积分第35页/共136页9、初值定理：若函数f(t)存在导数f/(t)，且f(t)F(s)，f/(t)存在拉普拉斯变换。第36页/共136页如果f(t)在t=0处有冲激及其导数存在，则F(s)为假分式可分解为s的多项式与真分式之和：第37页/共136页10、终值定理若函数f(t)及其导数f/(t)存在拉普拉斯变换，F(s)的极点都位于s平面的左半平面或在原点处有一个单极点。第38页/共136页第39页/共136页11、卷积定理第40页/共136页第41页/共136页第42页/共136页5.5 拉普拉斯反变换 前面解决了由f(t)求象函数F(s)的问题，即拉普拉斯正变换；这一节要解决由函数F(s)求原函数f(t)的问题，即拉普拉斯反变换。在进行拉普拉斯反变换时与傅里叶反变换一样，我们主要也是依靠常用变换对再结合性质和典型例子，通过将F(s)化成我们认识的变换对，然后直接写出原函数。第43页/共136页一、部分分式展开法(Haviside Theorem)若象函数为有理分式：第44页/共136页分析：显然F(s)为假分式，可化为一个s的多项式和真分式之和，可以使用长除法。第45页/共136页第46页/共136页则应将F(s)化为多项式和真分式之和，而多项式的反变换为冲激函数及其导数，真分式则可用部分分式展开法求反变换。(3)、若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根，则在部分分式展开时应把它们作为整体来处理。第47页/共136页第48页/共136页第49页/共136页(4)、若F(s)有一个p阶极点s1，另有n-p个单极点sp+1，.sn。第50页/共136页第51页/共136页第52页/共136页第53页/共136页二、围线积分法复变函数中的围线积分 表示复变函数g(s)沿s平面中不经过极点的闭合路径c的积分（积分方向为反时针方向），可由g(s)在围线内极点上的留数来确定。对照拉普拉斯反变换公式：第54页/共136页可见拉普拉斯反变换也是一个复变函数的积分问题，被积函数为F(s)est，积分路径为-j+j不是围线，为此我们补充一个半径为无穷大的半圆使它成为一个闭合路径，同时可以保证被积函数的所有极点在围线内。第55页/共136页复变函数中的约当引理已经解决了这个问题，但要满足两个条件:1、当s=R时，F(s)02、因子est中指数st的实部t应满足t0t，0为大于c的某一常数。第56页/共136页对于第一条，只要F(s)为真分式就可以了。对于第二条，要t0 则 0 应取左半圆弧（2）、t0 应取右左半圆弧对于单边拉普拉斯变换t总是大于0，所以积分路径总是取左半圆弧。这样就把复变函数的积分问题转化成求被积函数极点上留数的问题。第57页/共136页归纳起来说：1、拉普拉斯变换中的被积函数为F(s)est，显然F(s)的极点就是F(s)est的极点。2、对于单边拉普拉斯变换，F(s)的收敛域在收敛轴的右边，因而积分路径取左半圆弧。3、左半圆弧的半径为无穷大，因而围线中包含了F(s)也是F(s)est的所有极点。4、根据约当引理左半圆弧上的积分为0，所以，拉普拉斯反变换就等于F(s)est的所有极点上的留数之和。即:第58页/共136页留数的求法：第59页/共136页第60页/共136页以上我们介绍了两种求拉普拉斯反变换的基本方法：部分分式法和围线积分法。对于一些复杂的F(s)还需要结合拉普拉斯变换的性质来简化计算，下面再看一例：第61页/共136页分析：显然F(s)不是一个有理分式，不能直接用部分分式法，但F(s)中有e-s/2的因子，应该用时间平移性质来求解。虽然本题可以用围线积分法直接求解，但我们也不提倡这么做。第62页/共136页小结：1、两种方法都要求当s=R时，F(s)02、部分分式法还有更严格的要求，F(s)为有理分式。3、对于一些复杂的F(s)还需要结合拉普拉斯变换的性质来简化计算。第63页/共136页还应指出，原函数f(t)与象函数F(s)是同一信号在时域和复频域中的两种不同表达形式。除了掌握变换反变换的求法外，还应知道它们之间的对应关系。由f(t)应了解F(s)的极零点分布，收敛域等；反之，由F(s)的极零点分布了解f(t)的形式。P280表5-2第64页/共136页第65页/共136页第66页/共136页一、积分微分方程的拉普拉斯变换 例如：已知一个二阶系统的微分方程为：5.7 线性系统的拉普拉斯变换分析法解：所给出的初始条件就是指的系统的初始储能，实际上就是利用拉普拉斯变换的性质对方程两边进行拉普拉斯变换：第67页/共136页代入初始条件并整理得：由于在我们的求解过程中已经计入了初始条件，所以它就是全响应。由本例可见，用拉普拉斯变换求解微分方程的实质是：第68页/共136页 这种方法简单、明了且自动计入初始条件直接求得全响应。二、运算等效电路法 在电路课程中学过，要建立电路的数学模型要依据两个方面的约束：1、元件的伏安特性。2、电路的基本定律(KVL,KIL)现在来看看这些元件和电路定律在时域和复频域中的表现形式：第69页/共136页第70页/共136页例：电路如图所示，求回路电流i1(t)。第71页/共136页解:1、作运算等效电路，从电路结构看应用网孔分析法，故等效电路中的采用等效电压源。第72页/共136页2、列运算方程第73页/共136页运算等效电路法的实质是:三、从信号分解的角度分析系统 第74页/共136页参照傅里叶变换分析法：（1）、若已知系统微分方程，在对方程两边作拉普拉斯变换时令初始值为零。（2）、在运算等效电路中不计入由初值等效的电源。这样我们甚至可以不作等效电路。（3）、基于系统函数H(s)的方法 第75页/共136页2、系统函数H(s)到现在为止我们已经学过三种求零状态响应的方法：第76页/共136页在第四章中曾讲过有三种方法求H(j):（3）、若已知的是电路，只要将电路中的元件用阻抗表示，然后由电路求H(j)。对于H(s)也有类似的方法：第77页/共136页（3）、若已知的是电路，只要将电路中的元件用运算阻抗表示，然后由电路求H(s)。另外，H(p)，H(j)，H(s)三者的关系可表示为：第78页/共136页第79页/共136页（1）、若已知系统微分方程，在对方程两边作拉普拉斯变换时令输入为零。（2）、在运算等效电路中不计入输入电源。（3）、基于系统函数H(s)的方法：第80页/共136页 显然，它们是一样的。因此，所谓特征根、自然频率、系统函数的极点仅是名称不同实质是一样的。所以，这种方法可描述为：2)、根据极点的不同情况写出零输入响应的一般形式。3)、根据初始条件待定系数。下面再举两例：第81页/共136页p298 例5.11 电路如图所示，求回路电流i1(t)。要求分零输入和零状态求。解：作运算等效电路：第82页/共136页1、先求零输入响应，将电路中的激励短路列回路方程：第83页/共136页2、再求零状态响应，将电路中的等效电源短路，列回路方程：第84页/共136页又例：电路如图所示，开关K在t=0时开启，求t0时的uc(t)。解：对这个问题现在我们已经有多种方法求解。这里我们采用先求系统函数，再分零输入、零状态的方法求解。这样可避免作运算等效电路。第85页/共136页第86页/共136页第87页/共136页第88页/共136页小结：若已知系统微分方程：1、方程两边求L L 变换并计入初值，直接求全响应。2、用方程两边求L L 变换求解，但分为零输入、零状态响应。3、由微分方程先求H(s)，然后再分为零输入、零状态响应求解 第89页/共136页若给出的是电路：1、先列微分方程，再用上面的三种方法之一求解。2、作运算等效电路。（1）直接求全响应；（2）分零输入、零状态响应求解。3、不作运算等效电路，从电路求H(s)。然后再分为零输入、零状态响应求解。第90页/共136页5.10 线性系统的模拟 对于一个线性系统可用微分方程（数学模型）描述，也可以用具体的电路（物理模型）描述。但对一些高阶的复杂系统，用具体电路描述是困难的。然而，可以方便地用一些基本的运算器从数学意义上来模拟其输入输出关系，这些运算器按照一定的规则组合起来就成为一个复杂的高阶系统。特别是近年来计算机技术和大规模集成电路技术的迅速发展，这种方法特别适合用计算机软件实现或集成化。第91页/共136页一、基本运算器（1）、加法器（2）、标量乘法器第92页/共136页（3）、积分器（初值为0）（4）、积分器初值不为0）第93页/共136页采用书上的符号：输出 用y(t)表示，简记为y激励 用x(t)表示，简记为x求导 用函数加撇表示。二、系统模拟（零状态）第94页/共136页则原方程可改写为：第95页/共136页第96页/共136页第97页/共136页 这种根据微分方程作出的系统模拟框图称为直接型模拟框图。由以上对一阶和二阶系统的讨论，不难看出，作直接型模拟框图是有规律的，归纳如下：1、框图中积分器的数目与系统的阶数相同；2、图中前向支路的系数就是微分方程右边的系数或系统函数分子多项式的系数；3、图中反馈支路的系数就是微分方程左边的系数或系统函数分母多项式的系数取负；4、复频域中的框图只要将时域框图中相应的变量换成复频域中的变量、积分器换成1/s。第98页/共136页所以对于n阶系统我们不难根据这个规律画出它的直接型模拟框图：第99页/共136页第100页/共136页三、系统的级联与并联这样H(s)可分为r个子系统的级联或并联：若零点和极点中有共轭复根则保持这个二次因式。第101页/共136页第102页/共136页作出直接型、级联型、并联型模拟框图。第103页/共136页第104页/共136页第105页/共136页作出直接型、级联型、并联型模拟框图。解:第106页/共136页5.11 信号流图 信号流图可由模拟框图直接作出，也可由电路作出。可看作一种简化的模拟图，但它更简洁、更通用，并且可用梅森(Mason)公式求出系统任意两点之间的传输值。信号流图主要由结点、支路和环组成。我们将一些关键的信号用小圆圈（结点）表示，信号的传输路径用有向线段（支路）表示，传输值标在支路旁。我们先来看一个一阶系统：第107页/共136页第108页/共136页第109页/共136页一、信号流图的构筑 对于已知微分方程或系统函数的信号流图构筑方法与模拟框图类似。这里主要介绍如何根据电路构筑信号流图，一般可分为三个步骤：1、确定输入、输出变量和中间变量（一般选回路电流和即点电压）2、找出各变量之间的传输值。3、用小圆圈表示信号，用支路表示信号的流向和传输值，按信号的流向将它们连接起来。第110页/共136页例1：电路如图：作信号流图解：1、确定输入、输出变量和中间变量E(s)I1(s)U1(s)I2(s)U(s)2、找出个变量之间的传输值第111页/共136页3、作图 第112页/共136页例2：三极管放大电路如图：作信号流图解：1、确定输入、输出变量和中间变量EIUbIbIcUR2、找出个变量之间的传输值第113页/共136页3、作图 第114页/共136页 有些系统可以用线性方程组来描述，下面是一个矩阵形式的方程组：第115页/共136页例如：系统的方程组为：第116页/共136页以e为激励，x2为输出 第117页/共136页二、信号流图的化简 信号流图的化简就是按照规则逐一消去流图中的中间结点和环，直到连接源结点和汇结点的一条支路。则支路上的传输值就是输入输出之间的传输值或传输函数。信号流图的化简规则：1、支路串联（各支路首尾相接）等效为乘积。第118页/共136页2、支路并联（始于同一结点，终于同一结点）等效为和。第119页/共136页3、结点消除(1)、对于目标结点输入路径数不变；(2)、传输值等于所经过路径的传输值之积。第120页/共136页4、自环消除(1)、出支路不变；(2)、入支路乘以1/(1-t)。第121页/共136页第122页/共136页例：用流图的简化求下图的传输函数。1、消去I 第123页/共136页2、消去U1上的自环3、消去U1第124页/共136页4、消去I2上的自环5、消去I2第125页/共136页6、消去U上的自环第126页/共136页三、梅森公式 用上面的方法虽然总可以将流图化简为一条支路，最终求出总的传输值，但作图比较繁琐。而梅森公式则可以根据流图直接计算任意两个结点之间的传输值。梅森公式可表示为：第127页/共136页其物理意义为流图表示的方程组的系数矩阵的行列式，常称为图形行列式。Li 为第i个环的传输值。LiLj 为各个可能的互不接触的两个环的传输值之积。LiLjLk 为各个可能的互不接触的三个环的传输值之积。奇数个环取负号，偶数个环取正号。Gk 为正向传输路径的传输值。k 为去除Gk后的值，称第k种路径的路径因子 第128页/共136页例1：第129页/共136页解：1、求2、求Gk和k：第130页/共136页例2：解：1、求2、求Gk和k：第131页/共136页 在实际应用中可将信号流图的简化和梅森公式相结合。即:1、先用信号流图的简化的办法消去部分结点和环使得前向路径和环的关系清晰明了；2、然后再用梅森公式求传输值。第132页/共136页例3:消去结点A第133页/共136页消去自环第134页/共136页第135页/共136页感谢您的观看！第136页/共136页