高二数学4月月考试题文.doc
- 1 - / 15【2019【2019 最新最新】精选高二数学精选高二数学 4 4 月月考试题文月月考试题文（时间：120 分钟 满分：150 分）一.选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分每小题只有一个正确选项1.若复数 zi(32i)(i 是虚数单位)，则( )A23i B23i C32i D32i2观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是( )3对于分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k，下列说法正确的是( )Ak 越大， “X 与 Y 有关系”的可信程度越小 Bk 越小， “X 与Y 有关系”的可信程度越小Ck 越接近于 0， “X 与 Y 没有关系”的可信程度越小 Dk 越大，“X 与 Y 没有关系”的可信程度越大4如右图，5 个(x，y)数据，去掉 D(3,10)后，下列说法错误的是( )A相关系数 r 变大 B残差平方和变大C相关指数 R2 变大 D解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强5 “ 是无限不循环小数，所以 是无理数” 以上推理的大前提是( )A实数分为有理数和无理数 B 不是有理数C无理数都是无限不循环小数 D有理数都是有限循环小数- 2 - / 156甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是（ ）A. 甲是工人,乙是知识分子,丙是农民 B. 甲是知识分子,乙是农民,丙是工人C. 甲是知识分子,乙是工人,丙是农民 D. 甲是农民,乙是知识分子,丙是工人7用反证法证明命题：“若直线 AB，CD 是异面直线，则直线 AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：则 A，B，C，D 四点共面，所以 AB，CD 共面，这与 AB，CD 是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线 AC，BD 也是异面直线；假设直线 AC，BD 是共面直线则正确的序号顺序为( )A B C D8ycos x 经过伸缩变换后，曲线方程变为( )Ay3cos By3cos 2x Cycos Dycos 2x9在极坐标系中，点到圆 2cos 的圆心的距离为( )A2 B. C. D.310若 a，b，c，则( )Aabc Bcba Ccab Dbac- 3 - / 1511已知双曲线 C：1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴上的一个顶点，线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，若2，且|4，则双曲线 C 的方程为( )A.1 B.1 C.1 D.112设函数 f(x)ln xax，g(x)exax，其中 a 为常数若 f(x)在(1，)上是减函数，且 g(x)在(1，)上有最小值，则 a 的取值范围是( )A(e，) Be，) C(1，) D1，)二.填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13若 a 为正实数，i 为虚数单位，2，则 a 14观察下列式子：1，1，1，根据以上式子可以猜想第 n(n2)个不等式为 （用正整数 n 表示）15.已知椭圆 C1 与双曲线 C2 有相同的左右焦点 F1，F2，P 为椭圆 C1与双曲线 C2 在第一象限内的一个公共点，设椭圆 C1 与双曲线 C2 的离心率分别为 e1，e2，且，若F1PF2，则椭圆 C1 的离心率为 .16已知为偶函数，当时， ，则曲线在处的切线方程为_. f x0x 2( )xf xex yf x(2,(2)f三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 10 分）在极坐标系中，已知圆 C：cos sin 和直线 l：sin(0，02)（）求圆 C 和直线 l 的直角坐标方程；（）当 (0，)时，求直线 l 与圆 C 的公共点的极坐标- 4 - / 1518.（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)ax3bxc 在 x2 处取得极值为 c16.（）求 a，b 的值；（）若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在3，3上的最小值19.（本小题满分 12 分）汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了 100 人，所得数据制成如下列联表：（）若从这 100 人中任选 1 人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为，问是否有 95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？（）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 CO浓度的数据，并制成如上图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过 15年，可近似认为排放的尾气中 CO 浓度 y%与使用年限 t 线性相关，试确定 y 关于 t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4 年的多少倍附：K2(nabcd)参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：Error!Error!20 （本小题满分 12 分）如图所示，矩形 ABCD 中， AB3, BC4，不了解了解总计女性ab50男性153550总计pq100P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828- 5 - / 15沿对角线 BD 把ABD 折起，使点 A 在平面 BCD 上的射影 E 落在 BC上（）求证：平面 ACD平面 ABC；（）求三棱锥 ABCD 的体积21.（本小题满分 12 分）已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点2222:1(0)xyCabab23(,)22A 2 212,F F（）求椭圆的标准方程；C（）若上存在两个点，满足三点共线，椭圆上有两个点，满足三点共线，且，求四边形面积的最小值24yx,M N2,M N F,P Q2,P Q FPQMNPMQN22.（本小题满分 12 分）已知函数. ln11axf xxaRx（）当时，求函数的单调区间；1a f x（）若时，均有成立，求实数的所有取值组成的集合.11x 0f x a- 6 - / 15参考答案（时间：120 分钟 满分：150 分）一.选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分每小题只有一个正确选项1.若复数 zi(32i)(i 是虚数单位)，则( )A23i B23i C32i D32i解析：选 A zi(32i)3i2i223i，23i.2观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是( )解析：选 D 在四幅图中，D 图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选 D3对于分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k，下列说法正确的是( )Ak 越大， “X 与 Y 有关系”的可信程度越小 Bk 越小， “X 与 Y 有关系”的可信程度越小Ck 越接近于 0， “X 与 Y 没有关系”的可信程度越小 Dk 越大， “X 与 Y 没有关系”的可信程度越大解析：选 B K2 的观测值 k 越大， “X 与 Y 有关系”的可信程度越大因此，A、C、D 都不正确4如图，5 个(x，y)数据，去掉 D(3,10)后，下列说法错误的是( )A相关系数 r 变大 B残差平方和变大C相关指数 R2 变大 D解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强解析：选 B 由散点图知，去掉 D 后，x 与 y 的相关性变强，且为正相关，所以 r 变大，R2 变大，残差平方和变小- 7 - / 155 “ 是无限不循环小数，所以 是无理数” 以上推理的大前提是( )A实数分为有理数和无理数 B 不是有理数C无理数都是无限不循环小数 D有理数都是有限循环小数解析：选 C 演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选 C.6甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是（ ）A. 甲是工人,乙是知识分子,丙是农民 B. 甲是知识分子,乙是农民,丙是工人C. 甲是知识分子,乙是工人,丙是农民 D. 甲是农民,乙是知识分子,丙是工人解析：选 C 7用反证法证明命题：“若直线 AB，CD 是异面直线，则直线 AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：则 A，B，C，D 四点共面，所以 AB，CD 共面，这与 AB，CD 是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线 AC，BD 也是异面直线；假设直线 AC，BD 是共面直线则正确的序号顺序为( )A B C D- 8 - / 15解析：选 B 根据反证法的三个基本步骤“反设归谬结论”可知顺序应为.8ycos x 经过伸缩变换后，曲线方程变为( )Ay3cos By3cos 2x Cycos Dycos 2x解析：选 A 由得又ycos x，ycos ，即 y3cos .9在极坐标系中，点到圆 2cos 的圆心的距离为( )A2 B. C. D.3解析：选 D 由可知，点(2，)的直角坐标为(1，)，圆 2cos 的方程为 x2y22x，即(x1)2y21，则圆心到点(1，)的距离为.10若 a，b，c，则( )Aabc Bcba Ccab Dbac解析：选 C 利用函数单调性设 f(x)，则 f(x)，0xe 时，f(x)0，f(x)单调递增；xe 时，f(x)0，f(x)单调递减又 a，bac.11已知双曲线 C：1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴上的一个顶点，线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，若2，且|4，则双曲线 C 的方程为( )A.1 B.1 C.1 D.1解析：选 D 设 A(x，y)，右焦点为 F(c，0)，点 B(0，b)，线段BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，且2，x，y，代入双曲线方程，得1，且 c2a2b2，b.- 9 - / 15|4，c2b216，a2，b，双曲线 C 的方程为1.12设函数 f(x)ln xax，g(x)exax，其中 a 为常数若 f(x)在(1，)上是减函数，且 g(x)在(1，)上有最小值，则 a 的取值范围是( )A(e，) Be，) C(1，) D1，)解析 答案 A f(x)a，g(x)exa，由题意得，当x(1，)时 f(x)0 恒成立，即 x(1，)时 a恒成立，则 a1.因为 g(x)exa 在(1，)上单调递增，所以 g(x)>g(1)ea.又 g(x)在(1，)上有最小值，则必有 eae.综上，a 的取值范围是(e，)二.填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13若 a 为正实数，i 为虚数单位，2，则 a 解析：(ai)(i)1ai，|1ai|2，解得 a或a(舍) 【答案】314观察下列式子：1，1，1，根据以上式子可以猜想第 n(n2)个不等式为 （用正整数 n 表示）解析：观察可以发现，第解析：观察可以发现，第 n(n2)n(n2)个不等式左端有个不等式左端有 n n1 1 项，分子项，分子为为 1 1，分母依次为，分母依次为 12,22,3212,22,32，(n(n1)21)2；右端分母为；右端分母为 n n1 1，分子，分子成等差数列，首项为成等差数列，首项为 3 3，公差为，公差为 2 2，因此第，因此第 n n 个不等式为个不等式为1 1。15.已知椭圆 C1 与双曲线 C2 有相同的左右焦点 F1，F2，P 为椭圆 C1与双曲线 C2 在第一象限内的一个公共点，设椭圆 C1 与双曲线 C2 的离心率分别为 e1，e2，且，若F1PF2，则椭圆 C1 的离心率为 .- 10 - / 15解析：设椭圆 C1：1(a>b>0)，双曲线 C2：1，依题意c1c2c，且，则 a3m，由圆锥曲线定义，得|PF1|PF2|2a，且|PF1|PF2|2m，|PF1|4m，|PF2|2m.在F1PF2 中，由余弦定理，得：4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos12m2，c23m2，则n2c2m22m2，因此双曲线 C2 的渐近线方程为 y±x，即 x±y0. 【答案】 3 316已知为偶函数，当时， ，则曲线在处的切线方程为_. f x0x 2( )xf xex yf x(2,(2)f【答案】21yx三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 10 分）在极坐标系中，已知圆 C：cos sin 和直线 l：sin(0，02)（）求圆 C 和直线 l 的直角坐标方程；（）当 (0，)时，求直线 l 与圆 C 的公共点的极坐标17解（）圆 C：cos sin ，即 2cos sin ，故圆 C 的直角坐标方程为：x2y2xy0，直线 l：sin，即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为：xy10.5 分（）由（）知圆 C 与直线 l 的直角坐标方程，将两方程联立得解得即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为，即为所求.10 分- 11 - / 1518.（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)ax3bxc 在 x2 处取得极值为 c16.（）求 a，b 的值；（）若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在3，3上的最小值18.解（）因为 f(x)ax3bxc，所以 f(x)3ax2b.由于 f(x)在点 x2 处取得极值 c16，故有即解得.6 分（）由(1)知 f(x)x312xc，f(x)3x212.令 f(x)0，得 x12，x22.当 x(，2)时，f(x)>0，故 f(x)在(，2)上为增函数当 x(2，2)时，f(x)0，故 f(x)在(2，)上为增函数由此可知 f(x)在 x12 处取得极大值 f(2)16c，在 x22 处取得极小值 f(2)c16.由题设条件知 16c28，得 c12，此时 f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c164，因此 f(x)在3，3上的最小值为 f(2)4. .12 分19.（本小题满分 12 分）汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了 100 人，所得数据制成如下列联表：- 12 - / 15（）若从这 100 人中任选 1 人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为，问是否有 95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？（）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 CO 浓度的数据，并制成如上图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过 15 年，可近似认为排放的尾气中 CO 浓度 y%与使用年限 t 线性相关，试确定 y 关于 t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4 年的多少倍附：K2(nabcd)参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式： .19.解：（）设“从 100 人中任选 1 人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件 A，由已知得 P(A)，所以 a25，b25，p40，q60.K2 的观测值 k4.167>3.841，故有 95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”. .6 分（）由折线图中所给数据计算，得 t×(246810)6，y×(0.20.20.40.60.7)0.42，故0.07，0.420.07×60, 所以所求回归方程为0.07t.故预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度为 0.84%，因为使用 4 年排放尾气中的 CO 浓度为 0.2%，所以预测该型号的汽车使用12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4 年的 4.2 倍. .12 分不了解了解总计女性ab50男性153550总计pq100P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828- 13 - / 1520 （本小题满分 12 分）如图所示，矩形 ABCD 中， AB3, BC4，沿对角线 BD 把ABD 折起，使点 A 在平面 BCD 上的射影 E 落在 BC上（）求证：平面 ACD平面 ABC；（）求三棱锥 ABCD 的体积20.（）证明 AE平面 BCD，AECD.又 BCCD，且 AEBCE，CD平面 ABC.又 CD平面 ACD，平面 ACD平面 ABC. .6 分（）解 由(1)知，CD平面 ABC，又 AB平面 ABC，CDAB.又 ABAD，CDADD，AB平面 ACD.VABCDVBACD·SACD·AB.又在ACD 中，ACCD，ADBC4，ABCD3，AC，VABCD×××3×3.12 分21.（本小题满分 12 分）已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点2222:1(0)xyCabab23(,)22A 2 212,F F（）求椭圆的标准方程；C（）若上存在两个点，满足三点共线，椭圆上有两个点，满足三点- 14 - / 15共线，且，求四边形面积的最小值24yx,M N2,M N F,P Q2,P Q FPQMNPMQN.4 分（2）当直线斜率不存在时，直线的斜率为 0，易得 当直线MNPQ4,2 2,4 2MNPQS12 分22.（本小题满分 12 分）已知函数. ln11axf xxaRx（）当时，求函数的单调区间；1a f x（）若时，均有成立，求实数的所有取值组成的集合.11x 0f x a【答案】 （）函数的单调递增区间是，单调递减区间是; f x- 15 - / 15 1,0 , 3, 0,1 , 1,3（）.1a 4 分所以实数的所有取值组成的集合为 12 分a1
