第七弯曲变形.pptx

1 本章主要研究：本章主要研究：弯曲变形基本方程弯曲变形基本方程 计算梁位移的几种方法计算梁位移的几种方法 简单静不定梁分析简单静不定梁分析 梁的合理刚度设计梁的合理刚度设计第1页/共76页2目的:1、解决梁的刚度问题 2、求解静不定梁3、为研究稳定问题打基础7-1 7-1 引言引言拉压杆的变形：伸长或缩短(Dl)圆轴扭转的变形：相对转动(扭转角j)弯曲变形：怎样描述？回顾：第2页/共76页3 挠曲轴是挠曲轴是一条一条连续、光滑曲线连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴挠曲轴 轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴挠曲轴，弯曲变形的特点第3页/共76页4 梁变形的描述：ABF 变弯后的梁轴挠曲轴F描述截面上任一点的位移:1、形心轴的线位移 挠度 w2、截面绕形心轴的角位移 转角qF 挠度随坐标变化的方程挠曲轴方程 w=w(x)F 忽略剪切变形+梁的转角一般很小 q=q dw/dx3、轴向位移可忽略、轴向位移可忽略第4页/共76页57-2 7-2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式Q 由高等数学知识 Q 挠曲轴微分方程 二阶非线性常微分方程（纯弯）（推广到非纯弯）方程推导方程推导第5页/共76页6Q方程简化 正负号确定:弯矩:坐标系：w 向上为正小变形时：曲线下凹曲线下凹挠曲线下凹挠曲线下凹,弯矩弯矩M M为正为正方程取正号 正弯矩正弯矩负弯矩负弯矩xwoxo第6页/共76页7 小变形Q应用条件：Q挠曲轴的近似微分方程正弯矩正弯矩xo 坐标轴坐标轴 w 向上，弯矩下凹为正向上，弯矩下凹为正土木建筑部门，采用坐标轴 w 向下坐标系小结小结第7页/共76页8F C、D为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。一、梁的挠曲轴方程7-3 7-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法第8页/共76页9位移边界条件w=0w=0w=0q=0二、位移边界条件与连续条件自由端：无位移边界条件。自由端：无位移边界条件。位移连续与光滑条件ACDMFB$挠曲轴在B、C点连续且光滑连续：wB左=wB右光滑：qB左=qB右 第9页/共76页10写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件ABCDFE 例：思考：思考：1.该梁可分几段积分？各边界和内部分界点有该梁可分几段积分？各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？多少位移边界与连续条件？(2).分分3段。段。ED段不受力，保持直线，仅作刚性转动。段不受力，保持直线，仅作刚性转动。请自行考虑。请自行考虑。(1).分分4段。位移边界条件：段。位移边界条件：A端：两个；端：两个；D端：无。端：无。位移连续条件：位移连续条件：E：2个；个；B：1个；个；C：3个个 第10页/共76页11自由端：无位移边界条件固定端：连续条件：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件边界条件：例：中间支撑C：E点：中间铰B：ABCDFE 第11页/共76页12第12页/共76页13已知EI,建立该梁的挠曲轴方程AB解:2、挠曲轴近似微分方程1、弯矩方程:例：第13页/共76页14AB3、积分常数的确定w(0)=0D=0w(0)=0C=0第14页/共76页15绘制挠曲轴的大致形状：F 弯矩图过零点处为挠曲轴拐点F 支座性质定该处线和或 角位移1.绘制弯矩图。绘制弯矩图。2.绘制挠曲轴的大致形状绘制挠曲轴的大致形状F 弯矩图符号定挠曲轴凹凸性 凹凸凹直线挠曲轴大致形状+_FsADBC+M+-第15页/共76页16已知EI,建立该梁的挠曲轴方程 AB解:计算约束反力，建立坐标系。AB段BC段例:x第16页/共76页17边界和连续条件:四个方程定4个常数ABx第17页/共76页187-5 计算梁位移的叠加法 载荷叠加法 逐段变形效应叠加法 两类叠加法比较 例题第18页/共76页19一、载荷叠加法M(x)为载荷(P,q,Me)的线性齐次函数2、梁的变形很小；(不影响其它载荷的作用效果)1、应力不超过比例极限；(线弹性)梁的变形与载荷成线性关系积分后，w和w仍然是载荷(P,q,Me)的线性齐次函数第19页/共76页20载荷叠加法的应用载荷叠加法的应用例：EI=常数，求，载荷由集中力F，均布力q和力偶M0构成，分别查表（请熟记2版P351或3版P376附录E中 1，3，4，6，8，9各梁的挠度和转角），然后将各个载荷在A端引起的位移叠加。AFqQ 分析方法：分析方法：9图中点挠度图中点挠度 ABC第20页/共76页21查表,p 351AAFAqAFq()Fq叠加：叠加：第21页/共76页22例：载荷集度为，求自由端挠度xq0BFB分析方法：分析方法：将任意分布载荷看作无将任意分布载荷看作无穷微集中力的叠加。穷微集中力的叠加。注意注意(1)a 取为变量取为变量x x(2)(2)载荷向上为正载荷向上为正查表P 351(2):第22页/共76页23例：载荷集度为，求自由端挠度xq0BFB第23页/共76页24例：EI=常值，求ACBq0(a)+q0(b)BACq0(c)分析：分析：故：故：为什么？为什么？第24页/共76页25ABC例:求图示外伸梁C点的挠度和转角ABCABCqa/2qa2/2仅考虑BC段变形(刚化AB,可视BC为悬臂梁)仅考虑AB段变形(刚化BC)二、逐段变形效应叠加法总挠度和转角第25页/共76页26逐段变形效应叠加法：静定梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各梁段单独变形(其余梁段刚化)在该截面引起的位移的代数和或矢量和。进一步讨论进一步讨论ABCABCABCqaqa2/2第26页/共76页27ABCABCABCqaqa2/2三、两类叠加法比较1.两类叠加法的联系两类叠加法的联系思考：思考：右图的逐右图的逐段变形效应叠加段变形效应叠加法所对应的载荷法所对应的载荷叠加法是什么？叠加法是什么？（求（求wC，q qC）第27页/共76页28ABCABCABCqaqa2/22.两类叠加法对应关系实例两类叠加法对应关系实例ABCqa2/2BCqa2/2A逐段变形效应叠加逐段变形效应叠加法有何优点？法有何优点？第28页/共76页293.逐段变形效应叠加法与载荷叠加法适用范围不同右图的叠加法为什么不成立？右图的叠加法为什么不成立？第29页/共76页304.两类叠加法适用范围比较线弹性、非线弹性与非弹性线弹性小变形小变形静定杆系与刚架静定与静不定结构，包括杆、板、壳及一般三维体逐段变形效应叠加法载荷叠加法第30页/共76页31例：EI=常数，求ABCFABCBC刚化FBCAFFaAB刚化 加 a.BC弯曲刚度刚化b.BC扭转刚度刚化w32.BC扭转扭转(AB(AB刚化，刚化，BCBC弯曲弯曲 刚度刚化刚度刚化)3.BC弯曲弯曲(AB(AB刚化，刚化，BCBC扭转刚度刚化扭转刚度刚化)1.AB弯曲弯曲(BC(BC刚化）刚化）第31页/共76页32作业作业版：版：7-1，7-5，7-8b，7-10版：版：7-1c,d,7-7,7-10b,7-11第32页/共76页33上一讲回顾（15）梁的挠曲轴近似微分方程：梁的挠曲轴近似微分方程的位移边界与连续条件 根据位移边界与连续条件、弯矩图画梁的挠曲轴大致形状载荷叠加法逐段变形效应叠加法：静定梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各梁段单独变形(其余梁段刚化)在该截面引起的位移的代数和或矢量和。第33页/共76页34例：E 常数,求，1.BC段变形效应（刚化AB段）2.AB段变形效应（刚化BC段）ABCABCFFABC1.阶梯悬臂梁问题7-5 7-5 计算梁位移的叠加法（续）：问题与分析方法计算梁位移的叠加法（续）：问题与分析方法第34页/共76页35例：E 常数,求，1.BC段变形效应2.AB段变形效应ABCABCFFABC第35页/共76页36例：E 常数,求，刚化AB段：BC段刚化：ABCABCF3.总转角和挠度FABC第36页/共76页37,求例：E 常数,，FABCEFABCEFABCEFF/2CFBABCEFF/2F/22.对称性质的应用第37页/共76页38ACBqBACq/2ACq/2反对称：中点挠度为0，弯矩0铰支对称：思路：思路：载荷分解载荷分解Cq/2例：利用对称性求()()第38页/共76页39问题分析：采用逐段变形效应叠加法例：组合梁/刚架各处EI,EA,B处梁间活动铰，求 ABCF刚化刚架BDH,AB为简支梁，刚化梁AB，下面求刚架的位移3.静定组合梁/刚架拉压变形影响ABHDCF第39页/共76页40解：1.求（1）刚化DH的拉压与弯曲刚度，BD相当于悬臂梁（2）刚化BD和DH的拉压刚度（3）刚化BD和DH的弯曲刚度ABC F 2.求BHDF/2第40页/共76页413.求设bh矩形截面4.比较弯曲与拉压位移结论:(如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同 作用时，拉压引起的位移可以忽略。ABHDCF第41页/共76页42例：例：组合梁的变形分析，组合梁的变形分析，求：求：AqCBABC解：解：梁挠曲轴如图CBCB保持直线保持直线ACAC悬臂梁悬臂梁第42页/共76页437-6 简单静不定梁 静不定度与多余约束多余约束多余约束 多于维持平衡所必须的约束多余反力多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩静不定度静不定度 支反力（力偶）数有效平衡方程数静不定度多余约束数5-3=2 度静不定6-3=3 度静不定第43页/共76页44相当系统：受力与原静不定梁相同的静定梁相当系统的选择不是唯一的相当系统1相当系统2 相当系统qABABRBqABq第44页/共76页45AB静定基:一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统(左下)相当系统：作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统(右下)AB静定基与相当系统qABABRBqABq第45页/共76页46 静不定问题分析例：ABCFFAFBFCF 平面问题有三个平衡方程；F 水平方向不受力，两个 有效平衡方程；F 有三个未知力，一度静不定。ABCFFBwB=0问题问题分析：分析：可以以支座可以以支座A A、B B、C C任意一个任意一个的铅垂约束作为多余约束。的铅垂约束作为多余约束。求解：求解：解除多余约束，代以约束反力，利用相应变形协解除多余约束，代以约束反力，利用相应变形协调条件求解。例如解除约束调条件求解。例如解除约束B B，变形协调条件为，变形协调条件为思考：多余约束反力是否能与变形协调条件一一对应？思考：多余约束反力是否能与变形协调条件一一对应？第46页/共76页47小结：分析方法与分析步骤 步骤：1、判断静不定度（确定多余约束数）；2、选取与解除多余约束，建立相当系统；3、列出多余约束处的变形协调条件；4、结合平衡方程，求多余支反力。方法：选取与解除多余约束，代之以支反力；分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界或连续条件F 相当系统选取不唯一，一般选择求解最简单的一种第47页/共76页48例：求支反力1.静不定度：6-3=32.选取相当系统：右中、下图都合适。选右中图。小变形，轴向变形可忽略 HA=HB=0。两多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3.建立变形协调条件第48页/共76页494.联立求解qABRBMB对称性的应用利用对称性直接求出RA=RB=ql/2，它可取代方程（1）、（2）之一。第49页/共76页50ABAB存在装配误差的静不定问题分析第50页/共76页51例:直径为d 的圆截面梁,支座 B 下沉 d，smax=?解：AB第51页/共76页52例：求A点的垂直方向的位移，A处梁间活动铰。ADRAABCDM0方法：将铰链拆开，建立铰 链处的变形协调条件BCM0RA组合梁/刚架分析静不定问题思考：利用刚架ABC点，还是利用梁AD计算A点位移？第52页/共76页53例：求支反力 变形协调条件：RRB点位移按右图计算 ABRqaqa2/2ABqCDECABqRDRE静不定度等于多少？第53页/共76页547-7 7-7 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计一、梁的刚度条件d 许用挠度，q 许用转角一般用途轴：d =(5/100003/10000)l重要轴：d =(2/100001/10000)l起重机大梁：d =(1/7001/1000)l土建工程中的梁：d =(2/100001/10000)l安装齿轮或滑动轴承处：q=0.001rad第54页/共76页55二、梁的合理刚度设计1.与梁的合理强度设计相似点让材料远离截面中性轴，例如例如工字形与盒形薄壁截面合理安排约束与加载方式（分散载荷等）与 的相似点同样依赖于同样依赖于M对比强度问题 或依据 第55页/共76页56合理安排约束与加载方式增加约束，制作成静不定梁第56页/共76页57（1）强度是局部量，刚度是整体量（积分）2.与梁的合理强度设计的不同点辅梁、等强度梁是合理强度设计的有效手段，提高梁的刚度须整体加强小孔显著影响强度，但对刚度影响甚微第57页/共76页58(2)强度与材料 和 相关,刚度与E 相关高强度钢一般不提高E钢与合金钢:E=200 220GPa铝合金:E=70 72GPa(3)刚度对梁的跨度更敏感第58页/共76页59跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如 l 缩短 20，dmax 将减少 48.8%梁跨度的合理选取第59页/共76页60例：矩形截面梁斜弯曲问题求挠曲轴方程与端点C位移yCzF分析思路：分析思路：1.载荷沿两对称轴分解：载荷沿两对称轴分解：分解为对称弯曲问题分解为对称弯曲问题2.求解各分载荷作用下的求解各分载荷作用下的挠曲轴方程与挠曲轴方程与C点位移点位移3.合成为总的挠曲轴方程与合成为总的挠曲轴方程与总的总的C点位移点位移解解：(1)载荷分解载荷分解第60页/共76页61方位角F 一般 b q，弯曲变形不发生在外力作用面内。(2)分力挠曲轴方程与端点位移分力挠曲轴方程与端点位移端点端点C：yCzF第61页/共76页62q_+_+等强原则的应用等强原则的应用p235,7-27:已知已知q、W、l、s s，（，（1 1）求求q；（；（2）D D的最佳值及相应的最佳值及相应qmax。解解：(1)支座未抬高情形支座未抬高情形解静不定问题解静不定问题画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图危险截面为危险截面为A截面截面第62页/共76页63q_+_+等强原则的应用等强原则的应用解解：(2)抬高支座提高抬高支座提高q可可行性分析行性分析等强原则应用等强原则应用解决方案：解决方案：解题难点：解题难点：M+位置变化位置变化设定设定M+位置参数位置参数a a，由等强原则求由等强原则求RB，第63页/共76页64q_+等强原则应用（续）等强原则应用（续）_+(2)设最大正弯矩距设最大正弯矩距B端端第64页/共76页65力学模型讨论力学模型讨论刚性平台刚性平台例：例：弹性梁单位长度重弹性梁单位长度重q,置于光滑刚性平台上，外置于光滑刚性平台上，外伸段长伸段长a，试确定梁拱起，试确定梁拱起部分长度部分长度(p235,7-24)。力学模型力学模型1求解：求解：qB点：活动铰链；点：活动铰链；C端：固支端；端：固支端；力学模型力学模型2B点：活动铰链；点：活动铰链；C端：固支端；端：固支端；q第65页/共76页66刚性平台刚性平台力学模型力学模型1求解求解qq解除约束解除约束B，代以支反力，代以支反力RB未知量：未知量：支反力支反力RB，拱起段长度拱起段长度b求解条件：求解条件：（活动铰）（活动铰）第66页/共76页67刚性平台刚性平台力学模型力学模型1求解（续）求解（续）q求解：求解：（活动铰）（活动铰）刚化刚化BC，刚化刚化AB，qqa2/2qa第67页/共76页68刚性平台刚性平台力学模型力学模型2求解求解q未知量：未知量：拱起段长度拱起段长度b求解条件：求解条件：小论文题：小论文题：工程中的力学模型研究工程中的力学模型研究课余研究：课余研究：观察与提炼工程中的力学问题，建立力学模型观察与提炼工程中的力学问题，建立力学模型第68页/共76页69F问题研究问题研究 相当系统讨论：试画出三种相当系统，并比较。相当系统讨论：试画出三种相当系统，并比较。FMcFFAFMBMB如何构造第三种相当系统？如何构造第三种相当系统？第69页/共76页70FFA问题讨论问题讨论三种相当系统求解对比FA引起A端位移F引起A端位移第70页/共76页71FMc问题讨论问题讨论三种相当系统求解对比（续1）Mc引起C端转角F引起C端转角第71页/共76页72问题研究问题研究 三种相当系统求解对比（续三种相当系统求解对比（续2）。）。FMBMBFMBMB梁BC：梁AB刚体转动加变形：第72页/共76页73上一讲回顾（16）静不定梁分析方法：选取与解除多余约束，代之以支反力；分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界或连续条件梁的刚度条件梁的合理刚度设计（1）强度是局部量，刚度是整体量（积分）1.与梁的合理强度设计相似点2.与梁的合理强度设计的不同点(2)强度与材料 和 相关,刚度与E 相关(3)刚度对梁的跨度更敏感第73页/共76页74作业作业版：版：7-11，7-12，7-14b版：版：7-12，7-14 a，7-16b作业作业版：版：7-18b，7-21，7-22a，7-29版：版：7-19b，7-22，7-24a，7-33第74页/共76页75谢谢第75页/共76页Page76感谢您的观看！第76页/共76页