线性代数n阶行列式的定义及性质.pptx

1第一讲阶行列式的定义及其性质主要内容：主要内容：二、三阶行列式的定义；二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；全排列及其逆序数；n n阶行列式的定义及其性质；阶行列式的定义及其性质；排列对换、排列对换、n n阶行列式的第二种定义阶行列式的第二种定义.基本要求：会用对角线法则计算2阶和3阶行列式；知道n阶行列式的定义及其性质.第1页/共70页2一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入第一节 2阶和3阶行列式用消元法解二元线性方程组两式相减消去 ，得第2页/共70页3方程组的解为由方程组的四个系数确定.类似地，消去 ，得当 时，第3页/共70页4二、二阶行列式的定义二、二阶行列式的定义定义定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表即第4页/共70页5二阶行列式的计算对角线法则主对角线副对角线对于二元线性方程组若记系数行列式第5页/共70页6第6页/共70页7第7页/共70页8第8页/共70页9则二元线性方程组的解为注意 分母都为原方程组的系数行列式.第9页/共70页10解例例1 1第10页/共70页11三、三阶行列式的定义三、三阶行列式的定义定义定义记记列标行标（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式三阶行列式.第11页/共70页12三阶行列式的计算对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，黄线上三元素的乘积冠以负号说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式第12页/共70页13 利用三阶行列式求解三元线性方程组 如果三元线性方程组的系数行列式第13页/共70页14若记或第14页/共70页15记即第15页/共70页16第16页/共70页17得第17页/共70页18得第18页/共70页19则三元线性方程组的解为:第19页/共70页20例例 解解按对角线法则，有第20页/共70页21例例3 3解解方程左端第21页/共70页22例4 解线性方程组解解由于方程组的系数行列式第22页/共70页23同理可得故方程组的解为:第23页/共70页24四、小结四、小结二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.第24页/共70页25About Determinant A determinant is a number that is assigned to a square array of number in a certain way.This idea was considered as early as 1683 by The Japanese mathematician Seki TakakazuAnd independently in 1693 by the German mathematician Gottfried Leibniz,about 160 years before a separate theory of matrices developed.For many years,determinants appeared mainly in discussions of systems ofLinear equations.第25页/共70页26一、有关概念一、有关概念第二节 全排列及其逆序数引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解1 2 3123百位3种放法十位1231个位12 32种放法1种放法种放法.共有 1.概念的引入第26页/共70页272.全排列及其逆序数问题定义把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.由引例同理第27页/共70页28排列的逆序数排列的逆序数 在一个排列 中，若数 例如 排列32514 中，定义 我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序则称这两个数组成一个逆序.第28页/共70页29定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.逆序数为零的排列称为标准排列.例如 排列32514 中，3 2 5 1 4故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.逆序数为1逆序数为33.排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.第29页/共70页30分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例1 求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;二、计算排列逆序数的方法二、计算排列逆序数的方法分别计算出排在 前面比它大的数的个数，即分别算出 这 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所排列的逆序数.方法1方法2第30页/共70页313 2 5 1 4于是排列32514的逆序数为5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;第31页/共70页32例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.第32页/共70页33解当 时为偶排列；当 时为奇排列.根据方法2第33页/共70页34解当 为偶数时，排列为偶排列，当 为奇数时，排列为奇排列.第34页/共70页35三、小结三、小结 3.计算排列的逆序数的方法有两种计算排列的逆序数的方法有两种 1.个不同元素的所有排列种数2.排列具有奇偶性第35页/共70页36一、概念的引入一、概念的引入第三节 阶行列式的定义和性质三阶行列式说明（1）三阶行列式共有 项，即 项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列第36页/共70页37列标排列的逆序数为偶排列奇排列例如列标排列的逆序数为第37页/共70页38二、阶行列式的定义二、阶行列式的定义定义第38页/共70页39第一定义式：第39页/共70页40说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是 项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;4、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为第40页/共70页41例题例题例1计算对角行列式分析解在阶行列式的定义中，行列式的元素记作，记号不仅代表一个数，还表明这个数在行列式中的位置本例中是具体数，不能显示它们在行列式中的位置因此，需要把数在行列式中的位置标示出来从而得到乘积中各元素的列标排列为第41页/共70页42即行列式中不为零的项为所以 只能等于 ,同理可得从而这个项为零，展开式中项的一般形式是第42页/共70页43例 证明对角行列式第43页/共70页44证明第一式是显然的,下面证第二式.若记则依行列式定义证毕第44页/共70页45例 计算上三角行列式分析根据行列式的定义，展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解当时，此项等于零，因此对于当时，从而此项也等于零，因此第45页/共70页46同理可得下三角行列式第46页/共70页47例第47页/共70页48三、三、行列式行列式的第二种定义的第二种定义1.对换 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种做出新排列的手续叫做对换，将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.例如对换相邻对换第48页/共70页492.对换与排列的奇偶性的关系定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数；偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.证明第49页/共70页503.行列式的第二种定义 对于行列式展开式的任意一项其中行标排列 为自然排列，为列标排列的逆序数，交换 与 的位置得这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同作了一次相应的对换：第50页/共70页51 由于行标排列和列标排列都作了一次对换，因此它们逆序数之和的奇偶性没有改变.则 和 的奇偶性相同，从而 这表明，行列式的展开式中每一项前的符号由行标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性确定.当列标排列变为标准排列时，行标排列相应的变为一个新的排列，设为 ，其逆序数为 ，则第51页/共70页52定理2阶行列式也可定义为其中为行标排列的 逆序数.第二种定义式第52页/共70页53四、行列式的性质四、行列式的性质记行列式称为行列式的转置行列式.性质1 行列式与它的转置行列式相等.说明 此性质表明，行列式中的行和列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然.证明第53页/共70页54性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.证明性质3 证明行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ,等于用数 称此行列式.性质4推论行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.举例第54页/共70页55性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 列的元素都是两数之和：则 等于下列两个行列式之和：说明此性质表明行列式可以按照某一行（列）分拆成两个行列式.第55页/共70页56性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变.例如以数k乘第1列加到第3列第56页/共70页57五、小结五、小结1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.3、行列式共有6条性质和两条推论.第57页/共70页58思考题2、分别用两种方法求排列16352487的逆序数.1、求一个二次多项式,使3、已知,第58页/共70页59思考题解答1、解设所求的二次多项式为由题意得得一个关于未知数 的线性方程组,又得故所求多项式为第59页/共70页602、解用方法11 6 3 5 2 4 8 7 用方法2由前向后求每个数的逆序数.第60页/共70页613、解含 的项有两项,即对应于又第61页/共70页62作业：P26 1.(2)(4)2.(1)(3)(5)(6)3.第62页/共70页63定理1的证明先证相邻对换的情形.设排列为变为 这些元素的逆序数经过对换并不改变，而 两元素的逆序改变为：当 时，经过对换后 的逆序数增加1而 的逆序数不变；当 时，经过对换后 的逆序数不变而 的逆序数减少1.所以这两个排列的奇偶性不同.再证一般对换的情形.第63页/共70页64邻对换，变成次相邻对换，变成 总之，次相邻对换，排列变成排列所以这两个排列的奇偶性不同.把它作再作经 返回次相第64页/共70页65性质性质1 1的证明的证明记则根据定义根据第二种定义返回下标不表示在行列式中的位置第65页/共70页66性质性质2 2的证明的证明对换 两行得到则当 时，当 时，于是第66页/共70页67这时，行标排列 为自然排列，列标排列为而 为排列 的 逆序数，设排列 逆序数为 ，则返回第67页/共70页68以数 乘第四行的各元素加到第一行：(1)(2)返回第68页/共70页69性质性质3 3的证明的证明记则当 时，当 时，于是返回第69页/共70页课件70感谢您的观看！第70页/共70页