空间解析几何基本知识.pptx

17.1 空间解析几何基本知识一.空间直角坐标系三.空间曲面与方程二.空间两点间的距离四.空间曲线的一般方程五.空间曲线在坐标面上的投影第1页/共56页2 要求大家了解空间解析几何的初步知识.下面仅简要地介绍有关解空间解析几何的一些基本概念.1.空间直角坐标系及空间中的点与坐标一.空间直角坐标系 过空间中的一个定点O,作三条相互垂直的直线再规定一个长度单位和按照右手螺旋法则去确定的正方向,就构成一个空间直角坐标系,并记为第2页/共56页3在空间直角坐标系称为坐标原点;称为x轴(横轴)、y轴(纵轴)及z轴(竖轴),任意两条坐标轴构成的平面称为坐标面,分别简称为xy平面.yz平面及 zx平坐标面;且它们将空间分割成八个部分,称每一个部分为一个卦限.其几何直观,如下图:中,点O并统称为坐标轴.分别O123123123xyz竖轴纵轴横轴第3页/共56页4xyz以后依次称为第、卦限.把含三个坐标轴正方向的那个卦限为第一卦限.如图:在xy坐标平面的上部,依次称为第、卦限.在xy坐标平面的下部与第一卦限相对应的称为第卦限;第4页/共56页5对于空间中的任意点M，过点M作三个平面分别垂直于三条依次为x、y、z;这样空间的点zyOxPQRM在建立了空间直角坐标系后，就可以建立空间的点与有序数组(x,y,z)之间的对应关系.且与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R.坐标轴.(如图)P、Q、R三点在三个坐标轴上的坐标M就唯一确定了一个三元有序数组(x,y,z).第5页/共56页6y、z称为点M的横坐标、纵坐标及找出坐标为x、y、z 的三点P、Q、R.zyOxPQRM并把有序数组(x,y,z)称为点M的空间直角坐标,并依次把 x、竖坐标,记为M(x,y,z).反之,对于任给的三元有序数组(x,y,z),可依次在 x 轴、y轴、z轴上分别任一点M和一个三元有序数组(x,y,z)建立了三个平面的交点M,就是以数组(x,y,z)为坐标的点.这样空间然后过此三点作是三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,这一一对应关系.OxPQRMzyOxPQRM第6页/共56页7xyzyz面上点的坐标为(0,y,z)x轴上点的坐标为(x,0,0)y轴上点的坐标为(0,y,0)z轴上点的坐标为(0,0,z)xy面上点的坐标为(x,y,0)xz面上点的坐标为(x,0,z)由以上规定知道:坐标原点O的坐标为(0,0,0)第7页/共56页8二.空间两点间的距离间的距离 d 为给定空间两点可证明这两点这与平面解析几何中两点间的距离公式是一样的.过 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以为对角线的长方体;(如下图)第8页/共56页9zyOx向xy面投影,并设 点在xy面的垂足各为 第9页/共56页10特别地,空间任一点M(x,y,z)例 已知两点(1,0,2),(3,2,4)，求此两点间的距离.zyOx到原点O的距离为:解第10页/共56页11例1 在坐标面上求一点，使它的 坐标为1，且与点和点 的距离相等.解 因为所求点在 坐标面上，所以设该点为 由题意，得解得 于是所求点为 第11页/共56页12 与平面解析几何相仿,空间解析几何三.空间曲面与方程利用空间坐标法,把由点构成的几何图形和代数方程联系起来.zyOxM(x,y,z)P(x,y)SD1.曲面的一般方程由平面解析几何知识知，在平面直角坐标系中图形和代数方程之间有如下联系.平面解析几何图形曲线(二元)方程第12页/共56页13对于空间中的曲面 当建立空间直角坐标系 后,如果曲面上的任意点 的坐标 与一个三元方程有如下关系：则称方程(7.1.3)是曲面 的一般方程,而曲面 是方程(7.1.3)的图形.(如图7.1.5）(7.1.3)(1)曲面 上的任意点 的坐标都满足方程(7.1.3);(2)不在曲面 上的点的坐标都不满足方程(7.1.3);第13页/共56页14 图7.1.5第14页/共56页151)平面例2 一动点M(x,y,z)与两定点 A(1,2,3)和 B(2,1,4)故M(x,y,z)的轨迹方程的距离相等,求此动点M的轨迹方程.(即A、B两点连线的垂直平分面的方程)为解两端平方化简,得2常见曲面第15页/共56页16注 到两定点 A 和 B 的距离相等的动点 M 的轨迹称为连接这两定点的线段 AB 的垂直平分面.例3的方程就是线段 AB 的垂直平分面的方程.Ax+By+Cz+D=0 一般地,x,y,z的三元一次方程表示空间中的平面,其中A、B、C、D为任意常数,且A、B、C (7.1.4)不全为0,这是空间平面的一般方程。下面讨论方程(7.1.4)的一些特殊情形 第16页/共56页17当 时,方程(7.1.4)为 表示过原点的平面如图7.1.6.Ox图7.1.6 图7.1.7(a)图7.1.7(b)轴的平面,如图7.1.7(a)；当 时,方程(7.1.4)为 当 时,方程(7.1.4)为 表示一个平行于x 当 时,方程(7.1.4)为,表示一个通过 x 轴的平面,如图7.1.7(b)；同样地,第17页/共56页18平行于 坐标面,坐标面的平面.图7.1.8 z轴的平面.当 时,方程(7.1.4)为 即方程 和 分别表示平行于 y 轴、表示一个在 z 轴平行于 坐标面的平面,如图7.1.8;方程 和 同样地,分别表示第18页/共56页19时,方程(7.1.4)为,表示坐标面.当 当 时,方程(7.1.4)为,表示坐标面.当 时,方程(7.1.4)为,表示坐标面.平面三元一次方程空间直角坐标系中 通过上面的讨论表明,空间平面与三元一次方程之间具有如下的一一对应关系.重要结论:平面方程均为一次方程.第19页/共56页20例4 求过点 和 的平面方程，其中 解 设所求平面方程为由于点 都在平面上，所以它们的坐标都满足方程,从而有第20页/共56页21解得从而所求平面方程为消去 得 该方程称为平面的截距式，其中 和分别称为平面在 轴、轴和 轴上的截距。如图7.1.9：Ozyxabco 图7.1.9 第21页/共56页222)常见二次曲面及方程(1)球面为球心,半径为R的球面,可以看作是以定点动点与球心 的距离相等的点的轨迹,即由距离公式(7.1.1),得即 (7.1.6)第22页/共56页23zyOxR特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为方程(7.1.6)就是满足已知条件的球面方程.该方程可以写成下述形式第23页/共56页24(2)母线平行于坐标轴的柱面定义7.1.1 在空间中,动直线 L 沿着给定曲线 C 平行移动所生成的曲面,称为柱面.动直线 L 称为柱面的母线,定曲线 C 称为柱面的准线.如图7.1.10.图7.1.10 图7.1.11第24页/共56页25母线平行于坐标轴的柱面方程的求法：求以 xy 坐标平面上的曲线为准线,母线平行于 z 轴的柱面方程.(如图7.1.11)设 为所求柱面上任一点,过 M 作平行于 z 轴的 图7.1.11直线交 xy 坐标平面于点,由柱面定义知 必在准线上,从而 的坐标 满足曲线 C 的方程 第25页/共56页26由于方程 不含 z,所以点 M 的坐标 也满足 而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xy 坐标平面的交点必不在准线 C 上,即是说不在柱面上的点的坐标必不满足方程 综上所述,不含变量 z 的方程 (7.1.7)在空间表示以 xy 坐标平面上的曲线为准线,母线平行于 z 轴的柱面.类似地,不含变量 x 的方程 第26页/共56页27在空间表示以 yz 坐标平面上的曲线为准线,母线平行于 x 轴的柱面.上的曲线为准线,母线平行于 y 轴的柱面.而不含变量 y 的方程在空间表示以 xz 坐标平面如,方程 在空间表示以 xy 坐标平面上的圆为准线,母线平行于 z 轴的柱面,称为圆柱面,如图7.1.12.图7.1.12 第27页/共56页28方程 在空间表示以 xy 坐标平面上的抛物线为准线,母线平行于 z 轴的柱面,称为抛物柱面,如图7.1.13.图7.1.13图7.1.14 图7.1.15 方程 在空间表示以 xz 坐标平面上的椭圆为准线,母线平行于y 轴的柱面,称为椭圆柱面,如图7.1.14.方程 在空间表示以 xy 坐标平面上的双曲线为准线,母线平行于 z 轴的双曲柱面,如图7.1.15.第28页/共56页29(3)以坐标轴为旋转轴的旋转曲面定义7.1.2 平面曲线 C 绕着该平面上的一条定直线 L 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面.定直线L称为旋转轴,平面曲线C 称为母线,如图7.1.16.图7.1.16求以 yz 坐标平面上的曲线C(为母线)绕着z 轴旋转一周所生成旋转曲面 的方程.如图7.1.17.图7.1.17设 为旋转曲面 上任一点,过点 M 作第29页/共56页30平面垂直于z轴,交z轴于点,交曲线C于点 而点 M可由点 M0绕 z 轴旋转得到,所以有(7.1.8)而由两点间的距离公式,有则 (7.1.9)由点 M0在曲线C上,所以第30页/共56页31将(7.1.8)、(7.1.9)代入上式,即得旋转曲面的方程.一般地,当坐标面上的曲线C 绕着该坐标面上的一条坐标轴旋转时,为了求出这个旋转曲面的方程,只要将曲线 C 的方程中保留和旋转轴同名的坐标,而用其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标即可.如,方程 表示 yz 坐标平面上的直线 绕z 轴旋转或 xz 坐标平面上的直线 绕z 轴旋转第31页/共56页32而 yz 坐标平面上的抛物线 绕着 z 轴旋转或者xz 坐标平面上的抛物线 绕z 轴旋转而成的旋转曲面方程皆为(7.1.10)称为旋转抛物面,如图7.1.19.图7.1.18 图7.1.19 所得的圆锥面,如图7.1.18,点O称为圆锥的顶点.第32页/共56页33三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.关于一般三元二次方程所表示的曲面形状,很难用描点的方法得到,但是,我们可以观察用坐标面以及平行于坐标面的平面去截割曲面而得到的截痕曲线形状,去想象随着平面平行移动时曲面的大致形状,从而大概了解曲面的全貌.这种方法称为截割法(截痕法).例如,旋转抛物面(7.1.10)的特征是:以平行于xy 坐标平面的去截曲面而得到的截痕曲线是圆,而 xz 坐标面、yz坐标面或平面 第33页/共56页34平行于xz 坐标面、yz坐标面的平面去截曲面而得到的截痕都是抛物线.如图7.1.19.例4 用截割法作椭球面(7.1.11)的图形.图7.1.19 解 等时,(7.1.11)表示旋转椭球面.当 时,(7.1.11)表示球面；当 中有两个半轴相第34页/共56页35由方程(7.1.11)可知得 ,表明椭球面上的所有点都在以平面 为界限的长方体内.再来考察椭球面与坐标面以及平行于坐标面的平面的截痕.方程(7.1.11)中令 z=0,得到椭球面与 xy 坐标平面的截痕线为椭圆第35页/共56页36同理,与 yz、xz 的坐标面的截痕线分别为 用平行于xy 坐标面的平面与椭球面相截,截即痕线为 第36页/共56页37这是以 与 为半轴的椭圆,且在与xy 坐标平面平行的平面 z=h上;当 h=0时,截痕线在xy面上,且所截得的椭圆最大.当 由零逐渐增大时,两个半轴逐渐减小,椭圆逐渐当 h=c时,椭圆收缩为两个点;当时,无同理,用分别平行于xz、yz坐标面的平面截椭球面,也有同样的结果.因此,椭球面的图形如图7.1.21.图7.1.21收缩;截痕.第37页/共56页38类似地,可以利用截痕法讨论其他二次曲面的图形.双曲面(1)单叶双曲面如图7.1.22.图7.1.22 第38页/共56页39(2)双叶双曲面如图7.1.23.图7.1.23 第39页/共56页40椭圆锥面如图7.1.24图7.1.24 第40页/共56页41(2)双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q 同号)如图7.1.26 图7.1.26 抛物面(1)椭圆抛物面如图7.1.25(p,q 同号)图7.1.25第41页/共56页42例 考察下列的图形方程:(1)2x z=0 (2)2x+y+2z=4 zOxy解(1)由方程 2x z=0 不含 y 知:D=0.则曲面过原点.且无论 y 取何值,都有 Y=a去截曲面,其截痕都是直线2x z=0,即用平行于 xz 面的任何平面故该方程的图形是经过 y 轴且与x z面的交线为 2x z=0且过原点的平面.第42页/共56页43此即为平面的截距式方程.它与x、y、z轴的交点分别为(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2).解 由方程 2x+y+2z=4有(2)2x+y+2z=4 zyOx242第43页/共56页44半径为R的圆.在空间，因方程zyx且圆的大小与c无关.o解 在xy面上，方程表示以原点为圆心，用平面z=c去截曲面，不含z，则 z 可取任意值,其截口线为圆第44页/共56页46zyxo用平面 y=b去截曲面,其截痕为直线第46页/共56页47解 用平面z=c(c0)去截曲面,其截痕为圆当c=0时,只有原点(0,0,0)满足此方程；若用平面x=a或y=b去截曲面,其截痕为抛物线.当c0时,其截痕为以(0,0,c)为圆心,以显然 c 越大，其截痕圆越大.zyOx为半径的圆.第47页/共56页48解 因方程缺 y、z，分别过点(2,0,0)或(2,0,0)的两个平面.则等价于方程的图形是平行于 y z平面且注3 在空间解析几何中,若方程缺一个变量,则其图形必平行于坐标面.则其图形必平行于坐标轴;若方程缺两个变量,所确定的曲面，称为注4 方程椭球面(如图)zbxyOac第48页/共56页49四.空间曲线的一般方程若两个曲面的方程为 和 称此方程为空间曲线的一般方程.例5 下列方程组表示什么曲线？则其交线的方程为(7.1.12)第49页/共56页50(1)(2)解(1)因为 是球心在原点、半径为5的球面,是平行于 坐标面的平面,因而它们的交线是在平面上的圆 如右图 第50页/共56页51(2)因为 是与(1)相同的球面,是 坐标面,因而它们的交线是在 坐标面上的圆 把(2)写成同解方程组它表示母线平行于 轴的圆柱面与 坐标面的交线.如右图 第51页/共56页52五.空间曲线在坐标面上的投影设 为已知空间曲线,则以 为准线,平行于 轴的直线为母线的柱面,称为空间曲线 关于 坐标面的投影柱面.而投影柱面与投影柱面的交线 称为曲线 在 坐标面上的投影曲线.类似地,可以定义曲线 关于 坐标面、坐标面的投影柱面及投影曲线.在二重积分的计算中,经常需要确定一个空间立体或空间曲面在坐标面上的投影区域.第52页/共56页53投影曲线方程的求法:设空间曲线 的方程为消去,得从而满足曲线 的方程一定满足方程,而 是母线平行于 轴的柱面方程,因此,柱面 就是曲线 关于 坐标面的投影柱面.而 第53页/共56页54就是曲线 在 坐标面上的投影曲线的方程.例6 求曲线在 坐标面上的投影曲线的方程.解 从曲线的方程中消去,得 第54页/共56页55即它是曲线 关于 坐标面上的投影柱面在 坐标面上的投影曲线是圆.圆柱面的方程,第55页/共56页56感谢您的观看！第56页/共56页