线性代数基础知识.pptx
矩阵的概念 矩阵的定义矩阵的定义 矩阵是数(或是函数)的矩形阵表,是数学上常用的概念.定义:由mn个数排成的m行n列的表 称为m行n列矩阵矩阵（matrixmatrix）,简称矩阵.这mn个数叫做矩阵的元素.当元素都是实数时称为实矩阵实矩阵（real matrixreal matrix）,当元素为复数时称为复矩阵复矩阵（complex matrixcomplex matrix）.第1页/共18页3.向量 n维行向量:1n矩阵a1,a2,an n维列向量:n1矩阵 a1a2an第i分量:ai(i=1,n)n阶方阵:nn矩阵 2.方阵 第2页/共18页几种常用的特殊矩阵几种常用的特殊矩阵1.对角矩阵对角矩阵（diagonal matrixdiagonal matrix）记作2.标量矩阵标量矩阵（scalar matrixscalar matrix）3.n n阶阶单位矩阵单位矩阵（unit matrixunit matrix）第3页/共18页矩阵的乘法矩阵的乘法定义 设两个矩阵,则矩阵A与矩阵B的乘积记为规定 其中 应注意:只有当矩阵A的列数与B的行数相同时，A与B才能作乘积，并且乘积矩阵的行数与A的行数相等，乘积矩阵的列数与B的列数相等.第4页/共18页矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：(1)结合律:(2)分配律：(3)设k是数:第5页/共18页例 设 求乘积矩阵.解：第6页/共18页矩阵的转置矩阵的转置定义设 则矩阵 称为A的转置矩阵转置矩阵(transposed matrix),(transposed matrix),记作 转置矩阵就是把A的行换成同序号的列得到的一个新矩阵。例如，矩阵 的转置矩阵为 第7页/共18页性质：1。A2=AA2。(AB)=BA3。(kA)=kA4。(A+B)=A+B第8页/共18页逆矩阵 逆矩阵的概念逆矩阵的概念 定义：定义：设A为阶n方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I则称A是可逆矩阵可逆矩阵（invertible matrixinvertible matrix）。）。并称B为A的逆矩阵逆矩阵(inverse matrix)(inverse matrix)，记为,即 如果矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.事实上，设A，B都是可逆矩阵，则有于是 第9页/共18页 定义设A为n阶方阵，若 则称A是是非奇异矩阵非奇异矩阵(nonsingular matrix)(nonsingular matrix)或非退化矩阵,否则称A是奇异矩阵奇异矩阵(singularsingularmatrix)matrix)或退化矩阵。定义设 令 为|A|中元素 的代数余子式，则称方阵 为A的伴随矩阵伴随矩阵(adjoint matrix),(adjoint matrix),或记为adj A。第10页/共18页矩阵可逆的充要条件矩阵可逆的充要条件 定理：方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，即|A|0，并且第11页/共18页矩阵的秩 矩阵秩的概念矩阵秩的概念定义：设A是一个mn矩阵，在A中任取k行、k列，位于这些k行和k列交叉处的元素按原来的次序组成一个k阶行列式,称为矩阵A的一个k阶子式子式（minorminor）。）。例如：矩阵 由1、2、3行与1、2、3列构成的三阶子式 在矩阵A中有一个三阶子式不为零，而所有的四阶子式全为零,这时我们可以称A的秩是3。第12页/共18页 定义：矩阵A中的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩矩阵的秩(rank-rank-of a matrixof a matrix），），记作r(A)。零矩阵的所有子式全为零,所以规定零矩阵的秩为零.设A是n阶方阵,若A的秩等于n,则称A为满秩矩阵满秩矩阵(nonsingular(nonsingularmatrixmatrix），），否则称为降秩矩阵降秩矩阵(singular matrix)(singular matrix)。矩阵秩的性质矩阵秩的性质 第13页/共18页4 0 8 2 90 3 0 1 20 0 0 4 70 0 0 0 0例.的秩为 .3注:从例可以看出行阶梯形矩阵的秩就等于 它的阶梯数(即:非零行的数目).而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行 变换化为行阶梯形.第14页/共18页线性方程组一.线性方程组的概念 含有n个未知量,m个方程的线性方程组的 一般形式如下a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+amnxn=bm(3.1)(非)齐次线性方程组,解,相容 第15页/共18页设A=a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn,b=b1b2bm,a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+amnxn=bm则线性方程组 可以写成Ax=b.x=x1x2xn,解向量,解集,通解,同解 第16页/共18页称A=a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn为(3.1)的系数矩阵,A,b=a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm为(3.1)的增广矩阵.第17页/共18页感谢您的观看！第18页/共18页
