第七章-------机械振动.pptx
1 简谐振动机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动.振动：描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化.特征：重复性、周期性；任意周期运动的分解周期函数的傅里叶分析 简谐振动被证明为各式周期运动的基元成分.在数学上,一个周期为T的函数 可以被展开为一系列不同频率的简谐函数的叠加傅里叶级数展开：其中 而 被称为基频，其他频率皆为 基频的整数倍.第1页/共44页2理想模型轻弹簧、振动质点；小球的运动简化为弹 性力作用下的直线运动.由牛顿定律，有弹簧振子的运动一.简谐振动的特征及其表达式恢复力的两个特点 1、F的指向总是与位移X的方向反向，总是指向平衡位置。2、F的大小正比于位移x的大小。第2页/共44页3方程的解为：简谐振动的运动方程速度表达式：加速度表达式：令第3页/共44页4二.描述简谐振动的特征参量振幅A：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值周期T：完成一次全振动所需时间频率 ：角频率 ：无论什么初始条件，一旦系统振动起来，就有确定的角频率，它是弹性系统特征的集中体现，故称 为本征频率.第4页/共44页5相位：决定简谐运动状态的物理量初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量设v 由初始条件决定振幅和初相位相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态.第5页/共44页6解：代入简谐振动表达式，则有例题7.1.一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为0.5 s。当t=0时，求:运动方程第6页/共44页7三、常见的简谐振动（1）竖直悬挂的弹簧振子选平衡位置为坐标原点平衡时位移X时故物体仍做简谐振动x第7页/共44页8（2）单摆重力形成的力矩，在角度很小时有根据转动定律表明：单摆的运动也是谐振动，故第8页/共44页9（3）复摆。一可绕水平固定轴摆动的刚体。类似单摆写出方程为：结论：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。第9页/共44页10例题7.2 设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质 点m在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期证明：如图，在极坐标系中质点m在r处受力为o建立oy坐标系，则第10页/共44页11满足简谐振动微分方程，故为简谐振动则整理得由牛顿定律有第11页/共44页121、旋转矢量图示法t+opxt=0M说明:v旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法;v不能把M的运动误认为简谐振动。四、简谐振动的表示法作坐标轴ox,自原点作一矢量模 振幅A角速度角频率与x 轴的夹角相位初始与x 轴的夹角初相第12页/共44页13P点坐标、速度和加速度都作简谐振动.矢端在x 轴投影的运动规律：P点的坐标M点位矢在x 轴上的投影速度M点速率在x 轴上的投影加速度M点向心加速度在x 轴上的投影t+opxt=0M第13页/共44页14例题7.3 一物体沿x 轴作简谐振动,振幅为0.24m,周期为2s,当t=0时x0=0.12m,且向x 轴正方向运动.试求:1)振动方程;2)从x=-0.12m,且向x轴负方向运动的状态,回到平衡位置所需的时间.当t=0时,x0=0.12m,v00 为确定初相,画出t=0时旋转矢量的位置由题知解:1)设振动方程为xopt=0M第14页/共44页15振动方程为:由图得到2)从x=-0.12m,且向x轴负方向运动的状态,回到平衡位置所需的时间xMop第15页/共44页162、x-t曲线图示法 简谐振动也可用x-t的振动曲线表示，如下图所示，图上已将振幅、周期、和初相标出.x x TtA第16页/共44页17第17页/共44页18解：设运动表达式t(s)O2-2X(m)1由图可见，A=2m，当t=0时有：例题7.4 已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根 据图中数据写出振动表达式。由此得第18页/共44页19解得：当t=1时有O2-2X(m)1第19页/共44页20五.简谐运动的能量设在某一时刻,振子速度为则系统的动能：该时刻物体的位移为,则系统的势能：系统的总能量：谐振动的总能量与振幅的平方成正比第20页/共44页21能量平均值能量曲线图第21页/共44页22 简谐振动的合成简谐振动的合成v 合成结果仍为简谐运动v 合振动与分振动在同一方向,且有相同频率一、同方向同频率谐振动的合成合振动的运动方程：A2A1x0Ax2x1x任何一个复杂的振动都可看成若干个简谐振动的合成。第22页/共44页23讨 论：1)相位差同相同相,合振幅最大2)相位差反相反相,合振幅最小当A1=A2时,质点静止3)一般情况（相位差任意）相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用第23页/共44页24二、两个同方向不同频率谐振动的合成 设一质点同时参与了角频率分别为 的两个同方向的简谐振动设两振动的振幅相同，初相为零,即合振动的运动方程为：第24页/共44页25讨论:两频率都较大,而频率差很小的情况表明:一个高频振动受一个低频振动的调制合振动频率合振动振幅xtx2tx1t第25页/共44页26合振幅出现时大时小的现象拍现象振幅变化的周期为：拍频：拍现象的应用：v 用音叉振动校准乐器；v 测定超声波；v 测定无线电频率；v 调制高频振荡的振幅和频率等。三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成第26页/共44页27消去参数消去参数t t,得轨迹方程得轨迹方程运动轨迹椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差.合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为讨论：1)轨迹：两个分振动同相第27页/共44页282)轨迹：合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为两个分振动反相 y 比x 位相超前/2,故椭圆轨道运动的方向时顺时针,即右旋的.3)轨迹：第28页/共44页294)轨迹：y 比x 位相滞后/2,故椭圆轨道运动的方向时逆时针,即左旋的.当A1=A2时,正椭圆轨道将变为圆轨道,即质点作圆周运动.第29页/共44页30四、垂直方向不同频率简谐振动的合成 可看作两频率相等而2-1随缓慢变化,合运动轨迹将按上页图依次循环地缓慢变化.1.若两分振动频率相差很小第30页/共44页31 合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率有简单的整数比关系时，时稳定的封闭曲线，称为利萨如图形2.若两振动的频率相差很大 工程上可以方便地测量未知简谐运动的频率和相互垂直的两个简谐振动的相位差A2xA1yo-A2-A1A2xA1yo-A2-A1A2xA1yo-A2-A1第31页/共44页32例2:有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为1)求它们的合振动方程；2)另有一同方向的简谐振动问:当3为何值时,x1+x3的振动为最大值？当3为何值时,x1+x3的振动为最小值？解：1)两个振动方向相同,频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动,合振动方程为第32页/共44页33所求的振动方程为2)当 时，相位相同。当 时，相位相反。根据已知条件，t=0时，合矢量应在第二象限，故第33页/共44页34一、阻尼振动振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振设粘滞阻力由牛顿方程1.阻尼振动的运动微分方程（固有角频率）（阻尼因子）令0 xkPxm第34页/共44页35将形如 的解代入微分方程，得特征方程其特征根是 按阻尼度 大小的不同，微分方程有三种不同形式的解，代表了振动物体的三种运动方式.得运动微分方程第35页/共44页362.弱阻尼时,阻尼振动运动方程的方程解为阻尼振动的角频率:A0和 决定于初始条件的积分常数xto阻尼振动曲线：第36页/共44页37弱阻尼曲线：v 振幅随时间t 作指数衰减v 近似为简谐振动v 阻尼振动周期比系统的固有周期长 即是物体不作往复运动的极限。系统从周期运动变为非周期振动.称为 临界阻尼,3.临界阻尼和过阻尼时，特征方只有一个重根，微分方程的解为第37页/共44页38 这种过阻尼运动方式是非周期运动,振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置,不再做往复运动.时，阻尼较大，特征方程有两个不同的实根，这时方程的解为xto弱阻尼临界阻尼过阻尼第38页/共44页39系统在周期性外力持续作用下所发生的振动二、受迫振动1.受迫振动强迫力:阻尼力:恢复力:xmFf-kx2.受迫振动的运动微分方程第39页/共44页40微分方程的通解为xto -简谐振动,定态解 经一段时间受迫振动变为简谐振动令 ，代入方程,有-阻尼振动,随时间消失其中：第40页/共44页41由此得定态解的振幅和相位分别为三、共振驱动力的角频率为某一定值时,受迫振动的振幅达到极大值的现象.共振振幅：共振角频率：第41页/共44页42分析:1)越小时2)=0时尖锐振动O0A无阻尼=0弱阻尼 0大阻尼 0应用:电磁共振选台(收音机)乐器利用共振提高音响效果研究避免共振的破坏的措施：v破坏外力(强迫力)的周期性;v改变系统固有频率;v改变外力的频率;v增大系统阻尼力.第42页/共44页43本章基本要求1.掌握谐振动的特征和规律，理解描述谐振动的特征量的物 理意义，熟练确定振动系统的特征量，建立谐振方程.2.熟练掌握描述谐振动的旋转矢量法和图示表示法.3.掌握同方向、同频率谐振动的合成的特点与规律，掌握 互相垂直谐振动的合成的特点.4.理解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件和规律.第43页/共44页44感谢您的观看！第44页/共44页
