立体几何复习三空间角的求法.pptx
（一）异面直线所成的角（一）异面直线所成的角：范围是（0 0，/2/2.平移直线成相交直线:(1)(1)利用中位线,平行四边形;(2)(2)利用线段成比例;(3)(3)补形法.作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键在三角形中计算第1页/共27页作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键在三角形中计算sABCEF 例例1.正四面体正四面体S-ABC中中,如如果果E、F分别是分别是SC、AB的的中点中点,那么异面直线那么异面直线EF和和SA所成的角所成的角=_.G第2页/共27页空间角(线线角,线面角,二面角)作(找)-证(指出)-算-结论在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;(2)直线D1B和B1C所成的角ABDCA1B1D1C1第3页/共27页空间角(线线角,线面角,二面角)作(找)-证(指出)-算-结论在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;(2)直线D1B和B1C所成的角ABDCA1B1D1C1OFE第4页/共27页空间角(线线角,线面角,二面角)作(找)-证(指出)-算-结论在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;(2)直线D1B和B1C所成的角ABDCA1B1D1C1E第5页/共27页PABCMN空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=2，MN=，求PA与BC所成的角？E第6页/共27页 (二二)直线与平面所成的角：直线与平面所成的角：范围是00，/2./2.确定射影的方法(找斜足和垂足):):(1)如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上.(2)(2)两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上.作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键在三角形中计算第7页/共27页(3)(3)利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心 b.b.如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c.c.如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心.当点的射影位置不易确定时，可用等体积法当点的射影位置不易确定时，可用等体积法直接求垂线长直接求垂线长.第8页/共27页ABCA1B1C1D第9页/共27页ABCSD第10页/共27页（2）PAPA、PBPB、PCPC是从P P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 ，那么直线PCPC与平面PABPAB所成角的余弦值是（）A.B.C.D.A.B.C.D.PACB0O例例 1：（1）直 三 棱 柱 ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1,BCA=,BCA=，点D D1 1、F F1 1 分 别 是 A A1 1B B1 1、A A1 1C C1 1的 中 点，BC=CA=CCBC=CA=CC1 1，则BDBD1 1与AFAF1 1所成角的余弦值是（）A.B.C.D.A.B.C.D.AC第11页/共27页例例2：在正四面体ABCDABCD中，E E、F F分别为ADAD、BCBC 的中点.（1 1）求CDCD与AFAF所成的角的余弦值；（2 2）求直线CECE与平面BCDBCD所成的角的正弦值.ACDBEFGH思维点拨：思维点拨：准确作出线线、线面角是关键，熟记正四面体中的一些量对解题有帮助.第12页/共27页 (三三)二面角：二面角：范围是00，.作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键在三角形中计算 棱上一点定义法：常取等腰三角形底边(棱)中点.面上一点垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线 空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角.第13页/共27页斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.ABCOD当当二面角的平面角不易作出时，可用面积法不易作出时，可用面积法直接求平面角的余弦值直接求平面角的余弦值.第14页/共27页例1.如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是 ,求二面角A-BD-C的大小。ABCDO（作）（指出）（结论）作(找)-证(指出)-算-结论第15页/共27页练:正方体ABCDA1B1C1D1中,求:(1)二面角A-BD-A1的正切值;(2)二面角A1-AD-B的大小.ABCDA1B1C1D1O解:连结AC,AC,交BDBD于O,O,连结OAOA1 1由正方体的性质可知,BDOA,BDAA,BDOA,BDAA1 1OAOA和AAAA1 1是平面AOAAOA1 1内两条相交直线BDBD平面AOAAOA1 1BDOABDOA1 1AOAAOA1 1是二面角A-BD-AA-BD-A1 1的平面角.作(找)-证(指出)-算-结论第16页/共27页在正方体AC1中，E为BC中点,(1)求证:D1B/平面C1DE;(2)求二面角C1-ED-C的正切值.ABDCA1B1D1C1EO第17页/共27页在正方体AC1中，E为BC中点,(1)求证:D1B/平面C1DE;(2)求二面角C1-ED-C的正切值.ABDCA1B1D1C1EH第18页/共27页例例3：（：（1）如图所示的正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，过顶点B B、D D、C C1 1作截面，则二面角B-DCB-DC1 1-C-C的正切值是_._.OABCDA1B1C1D1COA（2）在一个45450 0的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成45450 0角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为 （）A)300 B)450 C)600 D)900 第19页/共27页NABCB1C1A1Q例例4：在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，BAC=90BAC=900 0，AB=BBAB=BB1 1=1=1，直线B B1 1C C与平面ABCABC成30300 0角，求二面角B-BB-B1 1C-AC-A的正弦值。思维点拨：三垂线定理法求二面角.第20页/共27页例例5:如图，ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体，E E是CCCC1 1的中点，求二面角B-BB-B1 1E-DE-D的正切值.BACDD1A1B1C1E分析：图中二面角的二个半平面分别为DEBDEB1 1所在的半平面和BEBBEB1 1所在的半平面，即正方体的右侧面，它们的交线即二面角的棱B B1 1E.E.不难找到DCDC即为从其中的一个半平面出发，并且垂直于另一个半平面的直线.F第21页/共27页例例6:如图，在平面角为60600 0的二面角 -l-l-内有一点P P，P P到平面 、的距离分别为PC=2cm,PD=3cm,PC=2cm,PD=3cm,求垂足的连线CDCD的长PEDCl分分析析：对于本题很多同学可能会这么做：过C在平面内作棱l的垂线，垂足为E，连DE，则角CED即为二面角的平面角。这么作辅助线看似简单，实际上在证明CEDCED为二面角的平面角时会有一个很棘手的问题，就是要证明P P、D D、E E、C C四点共面.故不妨通过作垂面的方法来作二面角的平面角.第22页/共27页例例7：在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAABa，E为BC中点.(1)求平面PDE与平面PAB所成二面角的正切值大小；(2)求平面PBA与平面PDC所成二面角的正切值大小.PADCBEFOPADCBMNQ第23页/共27页CDEA例例8：在 的二面角角 ,，已知点A和B到棱的距离分别为2和4，且AB=10。求（1）直线AB与棱a所成的角的正弦值；（2）直线AB与平面所成的角的正弦值.第24页/共27页例例 9：在 棱 长 为 的 正 方 体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，E E、F F分别为BCBC与A A1 1D D1 1的中点,（1 1）求直线A A1 1C C与DEDE所成的角；（2 2）求直线ADAD与平面B B1 1EDFEDF所成的角；(3)(3)求面B B1 1EDF EDF 与 面ABCDABCD所成的角。POHM第（3 3）小题也可以应用面积射影法.第25页/共27页第26页/共27页感谢您的观看！第27页/共27页
