第5章-误差理论.pptx

一、测量误差产生的原因产生产生测量测量误差的三个因素：误差的三个因素：仪器原因仪器原因 仪器精度的局限性仪器精度的局限性,轴系残余误差等；轴系残余误差等；人的原因人的原因 判断力和分辨力的限制判断力和分辨力的限制,经验缺乏等；经验缺乏等；外界影响外界影响 气象因素如温度变化气象因素如温度变化,风力风力,大气折光等大气折光等 。结论：结论：观测误差不可避免观测误差不可避免(粗差除外粗差除外)有关名词：有关名词：观测条件观测条件 上述三大因素总称为观测条件上述三大因素总称为观测条件 观测精度观测精度 在观测条件基本相同的情况下进行的在观测条件基本相同的情况下进行的 观测，称为观测，称为“等精度观测等精度观测”；否则，；否则，称为称为“不等精度观测不等精度观测”。1第1页/共48页二、测量误差的分类与处理原则（一）（一）系统误差 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，如果误差的出现在符号和数值上都相同，或按一定的如果误差的出现在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为规律变化，这种误差称为“系统误差系统误差”。系统误差对观测值的影响有一定系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理数学或物理)的规的规律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定方律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定方法使其削弱或抵消。法使其削弱或抵消。2 按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统误差、偶然误差和粗差。误差、偶然误差和粗差。第2页/共48页3 钢尺尺长误差 Dk 钢尺检定,尺长改正 钢尺温度误差 Dt 钢尺检定,温度改正 水准仪视准轴误差 i 中间法水准,前后视等距 经纬仪视准轴误差 C 盘左盘右观测,取平均值 对系统误差采取措施举例：误差来源采取措施第3页/共48页 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。（三）（三）粗差 由于观测者的粗心大意由于观测者的粗心大意,或某种特别大的干扰而产生较或某种特别大的干扰而产生较大的误差称为大的误差称为“粗差粗差”(俗称错误俗称错误)，应避免和舍弃粗差。，应避免和舍弃粗差。偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等影响。4（二）偶然误差第4页/共48页（四）误差处理原则5粗粗 差差 细心观测，用多余观测和几何条 来件来发现，将含有粗差的观测 值剔除。系统误差系统误差 找出发生规律，用观测方法和 加改正值等方法抵消。偶然误差偶然误差 用多余观测减少其影响，利用 几何条件检核，用“限差”来 限制。第5页/共48页三、偶然误差的特性 偶然误差的定义 设某一量的真值为设某一量的真值为X X，对该量进行，对该量进行 n n 次观测，得次观测，得n n个观测值个观测值 ，产生，产生n n个真误个真误6l1,l2,ln1,2,n真值与观测值之差定义为真值与观测值之差定义为“真误差真误差”,真误差属于偶然真误差属于偶然误差误差,但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和计算中计算中,在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何条件等间接知道真值条件等间接知道真值,例如三角形三个内角之和为例如三角形三个内角之和为180180(真值真值),),而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立的观测值，据此求得三内角之和的真误差的观测值，据此求得三内角之和的真误差(三角形角度三角形角度闭合差闭合差)。第6页/共48页 多次观测中寻找偶然误差的规律：对对358358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角,三角形内角之和的真值为三角形内角之和的真值为180180，观测值为三个内角之和，观测值为三个内角之和 (i i+i i+i i)，因此，因此其真误差其真误差(三角形闭合差三角形闭合差)为：为：i=180(i+i+i)观测数据统计结果列于观测数据统计结果列于表表5-1,5-1,据此分析三角形据此分析三角形内角和的真误差内角和的真误差 i i 的的分布规律。分布规律。7第7页/共48页 表表5-1 5-1 5-1 5-1 偶然误差的统计 8误差区间 d 负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上000000181050517704953581000第8页/共48页偶然误差的特性 有限性：有限性：在有限次观测在有限次观测中，偶然误差不超过一中，偶然误差不超过一定数值；定数值；渐降性：渐降性：误差绝对值小误差绝对值小的出现的频率大，误差的出现的频率大，误差绝对值大的出现的频率绝对值大的出现的频率小；小；对称性：对称性：绝对值相等的绝对值相等的正负误差频率大致相等；正负误差频率大致相等；抵偿性：抵偿性：当观测次数无当观测次数无限增大时，由于正负相限增大时，由于正负相消，偶然误差的平均数消，偶然误差的平均数趋近于零：趋近于零：9三角形闭合差的频率直方图三角形闭合差的频率直方图第9页/共48页正态分布曲线以及标准差和方差10在统计理论上如果观测次数无限增多在统计理论上如果观测次数无限增多(n n)，而误差，而误差 区间区间dd又无限缩小，则频率直方图成为一条光滑的曲又无限缩小，则频率直方图成为一条光滑的曲 线，在统计学中称为偶然误差的线，在统计学中称为偶然误差的“正态分布曲线正态分布曲线”,其其 数学方程式为：数学方程式为：式中参数称为“标准差”,其平方 2 称为“方差”,方差为偶然误差(真差)平方的理论平均值：标准差的计算式：标准差的计算式：第10页/共48页5-25-2 评定测量精度的标准一、中误差11用标准差衡量测量观测成果的精度，在理论上是严格和用标准差衡量测量观测成果的精度，在理论上是严格和合理的。但在实际测量工作中，不可能对某一量进行无合理的。但在实际测量工作中，不可能对某一量进行无穷多次观测。因此，定义：根据有限次观测的偶然误差，穷多次观测。因此，定义：根据有限次观测的偶然误差，用标准差计算式求得的称为用标准差计算式求得的称为“中误差中误差”，其计算式为：，其计算式为：选择两组三角形内角之和的观测值，求得三角形角度闭选择两组三角形内角之和的观测值，求得三角形角度闭合差，分别按上式在表合差，分别按上式在表5-25-2中计算中误差，得到：中计算中误差，得到：第第1 1组组:mm1 1=2.72.7 第第2 2组组:mm2 2=3.63.6可见第可见第1 1组的观测精度高于第组的观测精度高于第2 2组。组。第11页/共48页按观测值的改正值计算中误差12表表5-25-2第12页/共48页mm1 1较小较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；误差分布比较集中，观测值精度较高；mm2 2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值误差的正态分布曲线的比较：m1=2.7m2=3.613不同中误差的正态分布曲线不同中误差的正态分布曲线第13页/共48页14二、相对中误差三、极限误差某些观测值的精度仅用中误差衡量，还不能正确反映其某些观测值的精度仅用中误差衡量，还不能正确反映其质量，例如距离测量误差应与长度成正比。观测值的中质量，例如距离测量误差应与长度成正比。观测值的中误差除以观测量称为误差除以观测量称为“相对中误差相对中误差”(简称相对误差简称相对误差)，例如例如200m200m距离的测距中误差为距离的测距中误差为2cm,2cm,测距的相对误差为测距的相对误差为110000;110000;500m500m距离测距中误差也为距离测距中误差也为2cm2cm，则测距相对，则测距相对误差为误差为125000125000；后者精度高于前者。；后者精度高于前者。根据正态分布方程式可以表示误差出现在微小区间根据正态分布方程式可以表示误差出现在微小区间dd的的概率：概率：第14页/共48页将上式积分，得到偶然误差在任意大小区间中出现的概率。设以k倍中误差作为区间,则在此区间中误差出现的概率：15分别以分别以k=1,k=2,k=3k=1,k=2,k=3代入上式，可得到偶然误差的绝对代入上式，可得到偶然误差的绝对值不大于中误差、值不大于中误差、2 2倍中误差、倍中误差、3 3倍中误差的概率：倍中误差的概率：由此可见，大于由此可见，大于2 2倍中误差出现的概率小于倍中误差出现的概率小于5 5，大于，大于 3 3倍中误差出现的概率小于倍中误差出现的概率小于0.30.3。因此，测量工作中。因此，测量工作中 以以2 2倍中误差作为允许的误差极限，称为倍中误差作为允许的误差极限，称为“允许误差允许误差”或或“限差限差”。第15页/共48页165-3 观测值的算术平均值及改正值 一、算术平均值在相同的观测条件下，对某一量进行在相同的观测条件下，对某一量进行n n次观测，观测次观测，观测值为值为l li i (i=1i=1n n),),取其取其算术平均值算术平均值 作为该量的最可靠的作为该量的最可靠的数值数值（故也称（故也称“最或然值最或然值”）：）：算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然误差的特性来证明：第16页/共48页证明算术平均值是最或然值17按真值计算各个按真值计算各个观测值的真误差：观测值的真误差：将上列等式相加，并除以n,得到：故算术平均值比较故算术平均值比较接近于真值，而成接近于真值，而成为最可靠的数值：为最可靠的数值：第17页/共48页二、观测值的改正值最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”(简称改正值)v:18对对vvvv求极小值：求极小值：符合最小二乘法原理符合最小二乘法原理上列各式相加：说明：一组观测值取算术平均值后，各个观测值的改正值之和恒等于零，此可以作为计算的检核。第18页/共48页5-4 观测值的精度评定在同样观测条件下对某一量进行在同样观测条件下对某一量进行n n次观测，求得算术次观测，求得算术平均平均值及观测值的各个改正值值及观测值的各个改正值 v v，据此计算观测值的中误据此计算观测值的中误差：差：19对比按真误差对比按真误差计算中误差的公式：计算中误差的公式：两者差别仅在于以（两者差别仅在于以（n n1 1）代替）代替 n n，以以 代替真值代替真值X X：两式取总和并顾及偶然误差的相消性，可以证明：并顾及偶然误差的相消性，可以证明：因此因此可以可以按观测值的改正值计算中误差按观测值的改正值计算中误差第19页/共48页算术平均值计算的实用公式由于各个观测值相差很小，令其数值的相同部分为由于各个观测值相差很小，令其数值的相同部分为l l0 0 ,差异部份为差异部份为ll，即，即 l li i =l=l0 0+l+li i ,算术平均值的实用公式：算术平均值的实用公式：20按各个观测值的改正值计算观测值中误差的公式：按各个观测值的改正值计算观测值中误差的公式：第20页/共48页按观测值的改正值计算中误差的算按观测值的改正值计算中误差的算例例21 次序观测值l(m)l(cm)改正值v(cm)vv (cm2)算术平均值及算术平均值及 观测值中误差观测值中误差1120.031+3.1-1.41.96算术平均值:=120.017(m)观测值中误差:=3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81(lo=120.000)+10.20.045.26 第21页/共48页计算算术平均值及其中误差的小结：一、已知真值X,进行n次观测，则计算观测值的真误差与中误差：二、真值不知二、真值不知,则进则进行行n n次观测次观测,计算算术计算算术平均值、改正值及其平均值、改正值及其中误差：中误差：22中误差中误差真误差第22页/共48页5-55-5 误差传播定律23一、观测值的函数测量所采集的数据测量所采集的数据(量量)并非都是直接观测值，而是观测值并非都是直接观测值，而是观测值的函数。观测值的误差使其函数也具有一定的误差。的函数。观测值的误差使其函数也具有一定的误差。和差函数和差函数和差函数和差函数 倍函数倍函数倍函数倍函数 线性函数线性函数线性函数线性函数 一般函数一般函数一般函数一般函数 例如算术平均值例如算术平均值例如斜距改平例如斜距改平例如分段量距相加例如分段量距相加例如图上量长例如图上量长,化为实地长度化为实地长度第23页/共48页二、一般函数的中误差24举例：矩形地块，量长度举例：矩形地块，量长度a a、宽度、宽度b b，求其面积求其面积P P。面积是观测值长和宽面积是观测值长和宽的函数，函数式：的函数，函数式：对函数式中的自变量对函数式中的自变量a a、b b求偏微分求偏微分:将微分元素以偶然误差将微分元素以偶然误差 i i代替代替面积误差面积误差(图中阴影面积图中阴影面积)具有具有几何意义几何意义第24页/共48页25对于地块的长度和宽度进行对于地块的长度和宽度进行n n次观测：次观测：上列上列n n个等式平方后取其总和，并除以个等式平方后取其总和，并除以n n,得到：得到：根据偶然误差的抵偿性，得到：根据偶然误差的抵偿性，得到：按照中误差的定义，上式可改写为按照中误差的定义，上式可改写为求面积中误差求面积中误差公式：公式：第25页/共48页对于一般函数：对于一般函数：26误差传播定律 一般函数的中误差计算式中式中x xi i为自变量为自变量(独立观测值独立观测值)，设，设mmi i 为观测值的中误为观测值的中误差，差，Z Z 为独立变量的函数。则为独立变量的函数。则 Z Z 的中误差为：的中误差为：式中式中 为各个变量的为各个变量的偏导数偏导数。第26页/共48页27 三、线性函数和倍函数的中误差 线性函数：线性函数：自变量的偏导数：自变量的偏导数：按照误差传布定律，得到线性函数的中误差：算术平均值算术平均值 也属于观测值的线性函数，根据误差也属于观测值的线性函数，根据误差 传布定律：传布定律：第27页/共48页28由于是等精度观测，因此由于是等精度观测，因此 mm1 1 =mm2 2 =mmn n =mm由此可见，算术平均值的中误差比观测值的中误差小由此可见，算术平均值的中误差比观测值的中误差小 倍。倍。如果线性函数只有一个自变量：如果线性函数只有一个自变量：,则成为则成为倍函数倍函数，其中误差为：，其中误差为：上式中的系数上式中的系数 k k 即为误差扩大的倍数。即为误差扩大的倍数。第28页/共48页29 例：例：例：例：量得比例尺为量得比例尺为 1 1500500 的地形图上两点间长度的地形图上两点间长度d d =134.7=134.7mmmm,图上量距中误差为图上量距中误差为 0.20.2mmmm,换算为实地换算为实地距离距离 D D 和量距中误差和量距中误差 mmD D 。函数式为函数式为 D=500D=500 d d，实地距离和量距中误差为：，实地距离和量距中误差为：该距离及其中误差可以写成：该距离及其中误差可以写成：第29页/共48页其他线性函数，例如和差函数：30其中误差均为：其中误差均为：和差函数的中误差计算方式也可用于多种独立误差来源和差函数的中误差计算方式也可用于多种独立误差来源的观测值中误差的计算。例如用测角仪器观测水平方向的观测值中误差的计算。例如用测角仪器观测水平方向时，同时受到对中、瞄准、读数、仪器误差、大气折光时，同时受到对中、瞄准、读数、仪器误差、大气折光等误差影响，观测水平方向的偶然误差是这些误差的代等误差影响，观测水平方向的偶然误差是这些误差的代数和：数和：故观测水平方向的中误差为：故观测水平方向的中误差为：第30页/共48页误差传播定律应用小结第一步：写出包含各个自变量(独立观测值)的函数式第二步：写出全微分式(计算对各个自变量的偏导数)第三步：按误差传播定律写出中误差关系式注意：误差传播定律只适用于将各个独立观测值作 为自变量。如果观测值之间是相关的，则得到 的结果将是不严格的。31第31页/共48页5-6 5-6 误差传布定律的应用32一、距离测量的精度光电测距的误差来源有：仪器误差、气温气压测定误差、光电测距的误差来源有：仪器误差、气温气压测定误差、仪器对中误差、倾斜改正垂直角测定误差等。这里仅讨仪器对中误差、倾斜改正垂直角测定误差等。这里仅讨论前二者，即仪器频率调制误差论前二者，即仪器频率调制误差 d d f f、测定相位的误差、测定相位的误差dd 以及气象测定误差影响折射率以及气象测定误差影响折射率 d d n n。斜距测定斜距测定的函数式的函数式对各个自变量对各个自变量求偏导数得到求偏导数得到真误差关系式真误差关系式第32页/共48页用误差传播定律得到光电测距中误差的估算式：用误差传播定律得到光电测距中误差的估算式：33上式根号内第一项为测定相位误差的影响，它与距离长上式根号内第一项为测定相位误差的影响，它与距离长短无关，称为短无关，称为“常误差常误差”(a a)；第二、第三相为气象测；第二、第三相为气象测定误差与频率误差的影响，它们均与距离长度成正比，定误差与频率误差的影响，它们均与距离长度成正比，称为称为“比例误差比例误差”(b b)。因此。因此,光电测距的误差估算式：光电测距的误差估算式：上式常作为测距仪本身的精度指标，上式常作为测距仪本身的精度指标，a a的单位为的单位为mmmm，b b为百万分率，即每公里的毫米数为百万分率，即每公里的毫米数(mmmm /kmkm)。第33页/共48页二、角度测量的精度 DJ6DJ6级经纬仪和级经纬仪和6 6秒级全站仪一测回方向观测值中秒级全站仪一测回方向观测值中误误差差 m m =6=6，水平角为两个方向观测值之差，故一，水平角为两个方向观测值之差，故一测测回水平角观测的中误差为：回水平角观测的中误差为：34一测回水平角取盘左盘右角度的平均值，故半测回水平一测回水平角取盘左盘右角度的平均值，故半测回水平角值的中误差为：角值的中误差为：盘左、盘右水平角值之差的中误差为：盘左、盘右水平角值之差的中误差为：以以2 2倍中误差作为极限误差为倍中误差作为极限误差为34(34(一般规定一般规定40)40)第34页/共48页多边形水平角观测角度闭合差的规定多边形内角(水平角)之和在理论上应为(n-2)180,由于水平角观测中的偶然误差，产生角度闭合差：35每个角度的测角中误差为每个角度的测角中误差为mm ,则则n n个角度之和的中误差个角度之和的中误差:以以2 2倍中误差作为极限误差倍中误差作为极限误差,则则n n边形的角度的允许闭合差边形的角度的允许闭合差例：设水平角观测的中误差例：设水平角观测的中误差mm =18,=18,则三角形的允许则三角形的允许角度闭合差：角度闭合差：第35页/共48页三、水准测量的精度水准测量高差测定的计算式水准测量高差测定的计算式 h h =a a -b b,设用设用S3S3水准仪水准仪在在水准尺读数的中误差水准尺读数的中误差m m =1 1 mmmm，则一次测定高差的则一次测定高差的中中误差：误差：36两次测定高差之差两次测定高差之差 hh =h h1 1-h h2 2 ,则高差之差的中误差：则高差之差的中误差：以以2 2倍中误差作为极限误差倍中误差作为极限误差,则允许的高差之差为则允许的高差之差为44 mmmm第36页/共48页水准路线高差测定的精度37在一条附合水准路线进行水准测量在一条附合水准路线进行水准测量,共设共设n n个测站个测站,其高差其高差的总和：的总和：设水准尺读数误差为设水准尺读数误差为mm,每次高差测定中误差为每次高差测定中误差为mmh h,则线则线路的高差总和的中误差：路的高差总和的中误差：设水准线路长度为设水准线路长度为L L,各测站前、后视平均长度为各测站前、后视平均长度为d d,单位单位长度的高差测量中误差为长度的高差测量中误差为mm0 0,则：则：，L L以公里为单位以公里为单位mm0 0为每公里高为每公里高差测量中误差差测量中误差第37页/共48页38上式说明：水准测量的精度与水准路线的长度的平方根上式说明：水准测量的精度与水准路线的长度的平方根成正比。成正比。水准测量的等级以每公里高差测量的中误差水准测量的等级以每公里高差测量的中误差mmo o作为精度指标：作为精度指标：水准测量等级 一等 二等 三等 四等mo1 mm2 mm6 mm10 mm据此据此,可以按水准测量等级和设计水准路线长度可以按水准测量等级和设计水准路线长度,估算估算水准测量全程的高差中误差。例如水准测量全程的高差中误差。例如,路线长路线长5km5km的四等的四等水准测量的精度：水准测量的精度：第38页/共48页四、坐标计算的精度39两点之间两点之间,如果已测定其水平距离如果已测定其水平距离D D和方位角和方位角,则可按下则可按下式计算其坐标增量：式计算其坐标增量：对观测值对观测值(自变量自变量)D D和和 求偏导数求偏导数,得到函数式的全微分：得到函数式的全微分：按误差传播定律按误差传播定律,将上式转换为坐标增量的中误差表达式将上式转换为坐标增量的中误差表达式第39页/共48页40坐标增量的中误差坐标增量的中误差:上式右边根号内第一项为纵向误差上式右边根号内第一项为纵向误差,是由距离误差造成是由距离误差造成,第二项为横向误差第二项为横向误差,是由角度误差造成。由纵横坐标增量是由角度误差造成。由纵横坐标增量误差或纵横向误差，形成两点间的相对点位误差：误差或纵横向误差，形成两点间的相对点位误差：第40页/共48页一、不等精度观测与观测值的权415-7 加权平均值及其中误差 同一量的一系列等精度观测值可以取其算术平均值，同一量的一系列等精度观测值可以取其算术平均值，而同一量的一系列不等精度观测值则应取其加权平均值。而同一量的一系列不等精度观测值则应取其加权平均值。“权权”(P P)衡量轻重衡量轻重,观测值的中误差观测值的中误差(mm)小小,则权大则权大;反之则权小。反之则权小。定义权与中误差的平方成反比定义权与中误差的平方成反比：C C为任意常数。等于为任意常数。等于1 1的权称为的权称为“单位权单位权”,权等于权等于 1 1 的的中误差称为中误差称为“单位权中误差单位权中误差”(mmo o )。因此。因此,权和中误差权和中误差的另一种表达式为：的另一种表达式为：第41页/共48页42 为了使为了使“权权”的概念简单明了，取一次观测、一个测的概念简单明了，取一次观测、一个测回或单位长度（例如回或单位长度（例如1 km1 km）等的测量误差作为单位权）等的测量误差作为单位权中误差。例如，以一测回的水平角观测中误差中误差。例如，以一测回的水平角观测中误差mm 为测为测角的单位权中误差角的单位权中误差,则则 n n 测回取其算术平均值的角度中测回取其算术平均值的角度中误差及其权为误差及其权为:又例如水准测量以一公里的高程测量中误差mo作为单位权中误差，则L(km)高差测量中误差及其权为：由此可知，水准测量的权是路线长度的倒数。由此可知，水准测量的权是路线长度的倒数。第42页/共48页二、加权平均值及其中误差43对某一未知量进行一组不等精度观测：对某一未知量进行一组不等精度观测：L L 1 1 ,L,L2 2 ,LLn n ，其中误差为，其中误差为mm1 1 ,m,m2 2 ,m,mn n ，观测值的权为，观测值的权为p p1 1 ,p,p2 2 ,ppn n 。按照误差理论，此时应按下式取其加权平均。按照误差理论，此时应按下式取其加权平均值，作为该量的最或然值：值，作为该量的最或然值：由于同一量的各个观测值其数值都相近似，取其相同部由于同一量的各个观测值其数值都相近似，取其相同部分为分为L Lo o，差别部分为，差别部分为LLi i :第43页/共48页 加权平均值的中误差44加权平均值的计算式可以写成线性函数的形式：加权平均值的计算式可以写成线性函数的形式：按误差传播定律，得到：按误差传播定律，得到：加权平均值中加权平均值中误差及其权：误差及其权：第44页/共48页三、单位权中误差的计算45根据：根据：得到：得到：取以上各式总和，并处以n，得到:以真误差以真误差 i i 代替中误差代替中误差 mmi i ,得到观测值的真值已知时，得到观测值的真值已知时，用真误差计算单位权中误差的公式：用真误差计算单位权中误差的公式：在真值未知时，用观测值的加权平均值在真值未知时，用观测值的加权平均值 x x 代替真值代替真值 X X;用用观测值的改正值观测值的改正值 v vi i 代替真误差代替真误差 i i,得到按得到按 v vi i 计算单位权计算单位权中误差的公式：中误差的公式：第45页/共48页加权平均值及中误差的算例46组号测回数各组平均值 LL权 P PL改正值 V Pv1232464024124024184024241218242462472144+8+2-4+16+8-24122400加权平均值及其中误差 第46页/共48页测量学第五章测量误差基本知识放映结束47第47页/共48页4948感谢您的观看！第48页/共48页