高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题4三角函数与平面向量第20练关于平面向量数量积运算的三类经典题型文.doc

1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学考前精选高考数学考前 3 3 个月知识方法专题训练个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题第一部分知识方法篇专题 4 4 三角函数与平面向量第三角函数与平面向量第 2020 练关练关于平面向量数量积运算的三类经典题型文于平面向量数量积运算的三类经典题型文题型分析·高考展望 平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题、填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查体验高考体验高考1(2015·山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60° ，则·等于( )Aa2Ba2C.a2D.a2答案 D解析 如图所示，由题意，得 BCa，CDa，BCD120°.BD2BC2CD22BC·CD·cos 120°a2a22a·a×3a2，BDa.·CD|cos 30°a2×a2.2 / 142(2015·重庆)若非零向量 a，b 满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则 a 与 b 的夹角为( )A. B. C. D答案 A解析 由(ab)(3a2b)得(ab)·(3a2b)0，即3a2a·b2b20.又|a|b|，设a，b，即 3|a|2|a|·|b|·cos 2|b|20，|b|2|b|2·cos 2|b|20，cos .又0，.3(2015·陕西)对任意向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是( )A|a·b|a|b| B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2答案 B解析 对于 A，由|a·b|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；对于 B，当 a，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于 C、D 容易判断恒成立故选 B.4(2016·课标全国乙)设向量 a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则 m_.答案 2解析 由|ab|2|a|2|b|2，得 ab，所以 m×11×20，得m2.5(2016·上海)在平面直角坐标系中，已知 A(1,0)，B(0，1)，P 是曲线 y上一个动点，则·的取值范围是_3 / 14答案 0,1解析 由题意知 y表示以原点为圆心，半径为 1 的上半圆设 P(cos ，sin )，0，(1,1)，(cos ，sin 1)BP所以·cos sin 1sin()10,1·的范围为0,1BP高考必会题型高考必会题型题型一 平面向量数量积的基本运算例 1 (1)(2015·四川)设四边形 ABCD 为平行四边形，|6，|4，若点 M，N 满足3，2，则·等于( )A20 B. 15 C9 D6(2)(2015·福建)已知，|，|t，若点 P 是ABC 所在平面内的一点，且，则·的最大值等于( )A13 B15 C19 D21答案 (1)C (2)A解析 (1)，CN，·(43)·(43)(16292)(16×629×42)9，故选 C.(2)建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，4 / 14(0，t)，ACtAP(0，t)(1,4)，4 tP(1,4)，··(1，t4)1717213，故选 A.点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择注意两向量 a，b 的数量积 a·b 与代数中 a，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·” (2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b0 时得不到 a0 或b0，根据平面向量数量积的性质有|a|2a2，但|a·b|a|·|b|.变式训练 1 在ABC 中，ADAB，2，|1，则·等于( )A2 B. C. D.33答案 A解析 在ABC 中，2，所以·()·AD(2)·，又因为，所以·(12)2·AD(12)·2·AD(12)·22，因为 ADAB，所以，所以·0，所以·(12)×02×12，故选 A.5 / 14题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例 2 (1)设 a，b 为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4 和 y1，y2，y3，y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成若 x1·y1x2·y2x3·y3x4·y4 的所有可能取值中的最小值为 4|a|2，则 a 与 b 的夹角为( )A. B. 3C. D0(2)已知向量 a，b 满足|a|2|b|0，且关于 x 的函数 f(x)2x33|a|x26a·bx5 在 R 上单调递减，则向量 a，b 的夹角的取值范围是( )A. B.0， 3C. D.2 3，答案 (1)B (2)D解析 (1)设 a 与 b 的夹角为 ，由于 xi，yi(i1,2,3,4)均由 2个 a 和 2 个 b 排列而成，记 S(xi·yi)，则 S 有以下三种情况：S2a22b2；S4a·b；S|a|22a·b|b|2.|b|2|a|，中 S10|a|2，中 S8|a|2cos ，中S5|a|24|a|2cos .易知最小，即 8|a|2cos 4|a|2，cos ，又 0，故选 B.(2)设向量 a，b 的夹角为 ，因为 f(x)2x33|a|x26a·bx5，所以 f(x)6x26|a|x6a·b，又函数 f(x)在 R 上单调递减，所以 f(x)0 在 R 上恒成立，所以 36|a|24×(6)×(6a·b)0，解6 / 14得 a·b|a|2，因为 a·b|a|b|·cos ，且|a|2|b|0，所以|a|b|cos |a|2cos |a|2，解得 cos ，因为0，所以向量 a，b 的夹角 的取值范围是，故选 D.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律(2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不能共线时，两向量的夹角为钝角变式训练 2 若非零向量 a，b 满足|a|b|，(2ab)·b0，则a 与 b 的夹角为( )A30° B60° C120° D150°答案 C解析 设 a 与 b 的夹角为 ，由题意得|a|b|，(2ab)·b0，可得2a·bb22|a|·|b|cos b22|a|·|a|cos |a|20，解得 cos ，因为 0°180°，所以 120°，故选 C.题型三 利用数量积求向量的模例 3 (1)已知向量 a，b 的夹角为 45°，且|a|1，|2ab|，则|b|_.(2)已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1，点 P 是腰 DC 上的动点，则|3|的最小值为_答案 (1)3 (2)5解析 (1)由|2ab|，则|2ab|210，及4a24a·bb210，又向量 a，b 的夹角为 45°，且|a|1，所以 4×14×1×|b|cos |b|210，即|b|22|b|60，解得|b|3.7 / 14(2)方法一 以点 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设 DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值为 5.方法二 设x(0x1)，(1x)，x，(1x)，PB3(34x)，|3|222××(34x)·(34x)225(34x)2225，|3|的最小值为 5.点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量 a(x，y)，求向量 a 的模只需利用公式|a|即可求解(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量 a的模进行如下转化：|a|.变式训练 3 已知向量 a，b，c 满足|a|4，|b|2，a 与 b 的夹角为，(ca)·(ca)1，则|ca|的最大值为( )A.B.1C. D.1答案 D解析 在平面直角坐标系中，取 B(2，0)，A(2，2)，则a，b，8 / 14设 c(x，y)，则(ca)·(cb)(x2，y2)·(x2，y)(x2)2y(y2)1，即(x2)2(y)21，所以点 C(x，y)在以 D(2，)为圆心，1 为半径的圆上，|ca|，最大值为|AD|11.故选 D.高考题型精练高考题型精练1已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都为 1，点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，则·等于( )A. B.34C D1 4答案 D解析 由题四边形 ABCD 的边和对角线的长都为 1，点 E、F 分别是AB、AD 的中点，则 EF 平行于 BD，则··×1×1×cos 120°.2(2016·课标全国丙)已知向量，则ABC 等于( )A30° B45°C60° D120°答案 A解析 |1，|1，cosABC.又0°ABC180°，ABC30°.9 / 143(2015·湖南)已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动，且ABBC.若点 P 的坐标为(2,0)，则|的最大值为( )A6 B7C8 D9答案 B解析 由 A，B，C 在圆 x2y21 上，且 ABBC，AC 为圆的直径，故2(4,0)，设 B(x，y)，则 x2y21 且 x1,1，(x2，y)，所以(x6，y)故|，1x1，当 x1 时有最大值7，故选 B.4已知三点 A(1，1)、B(3,1)、C(1,4)，则向量在向量方向上的投影为( )A. B55C. D2 1313答案 A解析 (2,3)，(4，2)，向量在向量方向上的投影为，故选 A.5(2015·安徽)ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是( )A|b|1 Bab10 / 14Ca·b1 D(4ab)BC答案 D解析 在ABC 中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以 a·b|a|b|cos 120°1，所以(4ab)·(4ab)·b4a·b|b|24×(1)40，所以(4ab)，故选 D.6已知 i，j 为互相垂直的单位向量，ai2j，bij，且a，b 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是( )A(，)B(，)C(2，)(，)D(，2)(2，)答案 D解析 a，b 的夹角为锐角，a·b1×1(2)0 且 1×(2)1×0，(，2)(2，)，故选 D.7已知向量 a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则向量 a和 b 的夹角是_答案 5 6解析 (ab)a，(ab)·aa2a·b3×2cosa，b0，cosa，b，又 0a，b，11 / 14a 和 b 的夹角为.8(2016·浙江)已知向量 a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量 e，均有|a·e|b·e|，则 a·b 的最大值是_答案 1 2解析 由已知可得，|a·e|b·e|a·eb·e|6|(ab)·e|，由于上式对任意单位向量 e 都成立|ab|成立6(ab)2a2b22a·b12222a·b.即 652a·b，a·b.9如图，在ABC 中，点 O 为 BC 的中点，若 AB1，AC3， ， 60°，则|_.答案 132解析 因为， 60°，所以·|·|cos 60°1×3×，又()，所以 2()2(22·2)，即 2(139)，所以|.10(2016·湖南衡阳八中第六次月考)已知点 O 是锐角ABC 的外12 / 14心，AB8，AC12，A.若xy，则 6x9y_.答案 5解析 如图，设点 O 在 AB，AC 上的射影分别是点 D，E，它们分别为 AB，AC 的中点，连接 OD，OE.由数量积的几何意义，可得·|·|32，·|·|72，依题意有·x2y·ABAB64x48y32，即 4x3y2，·x·y2AC48x144y72，即 2x6y3，将两式相加可得 6x9y5.11设 a(1,1)，b(x,3)，c(5，y)，d(8,6)，且bd，(4ad)c.(1)求 b 和 c；(2)求 c 在 a 方向上的投影；(3)求 1 和 2，使 c1a2b.解 (1)bd，6x240，x4.4ad(4,10)，(4ad)c，5×410y0，y2，b(4,3)，c(5，2)13 / 14(2)cosa，c，c 在 a 方向上的投影为|c|cosa，c.(3)c1a2b，Error!解得 1，2.12(2016·黄冈模拟)在ABC 中，AC10，过顶点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D，AD5，且满足.(1)求|；(2)存在实数 t1，使得向量 xt，yt，令 kx·y，求 k的最小值解 (1)由，且 A，B，D 三点共线，可知|.又 AD5，所以 DB11.在 RtADC 中，CD2AC2AD275，在 RtBDC 中，BC2DB2CD2196，所以 BC14.所以|14.(2)由(1)，知|16，|10，|14.由余弦定理，得 cos A.由 xt，yt，知 kx·y(t)·(t)14 / 14t|2(t21)·t|2256t(t21)×16×10×100t80t2356t80.由二次函数的图象，可知该函数在1，)上单调递增，所以当 t1 时，k 取得最小值 516.