高考数学试题分项版解析专题10等差数列与等比数列文.doc

1 / 16【2019【2019 最新最新】精选高考数学试题分项版解析专题精选高考数学试题分项版解析专题 1010 等差数列等差数列与等比数列文与等比数列文1.【2017 浙江，6】已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【考点】 等差数列、充分必要性【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“” “” ，故为充要条件4652SSSdqp pqp p0d02564SSS2.【2015 高考新课标 1，文 7】已知是公差为 1 的等差数列，为的前项和，若，则（ ）nanSna844SS10a（A） （B） （C） （D）17219 21012【答案】B【解析】公差， ，解得=，故选 B.1d 844SS111188 74(44 3)22aa 1a1 21011199922aad【考点定位】等差数列通项公式及前 n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前 n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.2 / 163.【2014 高考重庆文第 2 题】在等差数列中,，则（ ）na1352,10aaa7a 【答案】B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知， ，所以， nad12610ad110216ad所以，.故选 B.716268aad考点：等差数列通项公式.【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的和相等更能快速作答.4. 【2014 天津，文 5】设是首项为，公差为的等差数列，为其前 n 项和，若成等比数列，则=（ ） na1a1nS，421SSS1aA.2 B.-2 C. D .211 2【答案】D考点：等比数列【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前项和公式表示出然后依据成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前项和公式通过列方程或方程组就可以解出.，421SSS，421SSS5. 【2014 辽宁文 9】设等差数列的公差为 d，若数列为递减数列，则（ ）na12na aA B C D0d 0d 10a d 10a d 【答案】C3 / 16【解析】试题分析：由已知得， ，即， ，又，故，从而，选 C11122nna aa a111212nna aa a1n1(a)21naan1anad121a d10a d 【考点定位】1、等差数列的定义；2、数列的单调性【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等，解答本题的关键，是写出等差数列的通项，利用是递减数列，确定得到，得到结论.12na a111212nna aa a本题是一道基础题.在考查等差数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.6. 【2015 新课标 2 文 5】设是等差数列的前项和,若,则（ ）nSna1353aaa5S A B C D11【答案】A【考点定位】本题主要考查等差数列的性质及前 n 项和公式的应用.【名师点睛】本题解答过程中用到了的等差数列的一个基本性质即等差中项的性质,利用此性质可得高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.1532.aaa7. 【2015 新课标 2 文 9】已知等比数列满足,则（ ）na11 4a 35441a aa2a 【答案】C【解析】试题分析：由题意可得,所以 ,故 ,选 C.2 35444412a aaaa4 / 1634182aqqa211 2aa q【考点定位】本题主要考查等比数列性质及基本运算.【名师点睛】解决本题的关键是利用等比数列性质 得到一个关于 的一元二次方程,再通过解方程求的值,我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.2 11nnnaaa4a4a8.【2014 全国 2，文 5】等差数列的公差是 2，若成等比数列，则的前项和（ ）na248,a a ananS A. B. C. D. (1)n n(1)n n(1) 2n n(1) 2n n【答案】A【解析】由已知得， ，又因为是公差为 2 的等差数列，故， ，解得，所以，故2 428aaana2 222(2 )(6 )adaad2 2(4)a 22(12)aa24a 2(2)naand2n1()(n 1)2n nn aaSn【考点定位】1.等差数列；2.等比数列.【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项的概念，等差数列的前 n 项和公式，本题属于基础题，解决本题的关健在于熟练掌握相应的公式.9.【2015 高考广东，文 13】若三个正数， ，成等比数列，其中， ，则 52 6a 52 6c b 【答案】【考点定位】等比中项5 / 16【名师点晴】本题主要考查的是等比中项，属于容易题解题时要抓住关键字眼“正数” ，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若， ，成等比数列，则称为与的等比中项，即G G2Gab10. 【2014 高考广东卷.文.13】等比数列的各项均为正数,且, na154a a 则 .2122232425logloglogloglogaaaaa【答案】.【解析】由题意知,且数列的各项均为正数,所以,2 1534a aa na32a 2235 12345152433352a a a a aa aa aaaaa,5 21222324252123452logloglogloglogloglog 25aaaaaa a a a a.【考点定位】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算,属于中等偏难题.【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的性质和对数的基本运算，属于中等偏难题解题时要抓住关键字眼“正数” ，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是等比数列的性质和对数的基本运算，即等比数列中，若（、 、 、 ） ，则， （， ， ， ） namnpqmpqmnpqa aa alogloglogaaa 0a 1a 0 0 11.【2015 高考新课标 1，文 13】数列中为的前 n 项和，若，则 . na112,2,nnnaaa S na126nS n 【答案】6考点：等比数列定义与前 n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前 n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的6 / 16方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.12.【2015 高考浙江，文 10】已知是等差数列，公差不为零若， ，成等比数列，且，则 ， nad2a3a7a1221aa1a d 【答案】2, 13【解析】由题可得， ，故有，又因为，即，所以.2 111(2 )()(6 )adad ad1320ad1221aa131ad121,3da 【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以及等比中项的性质，建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题，主要考查学生正确运算的能力.13. 【2015 高考陕西，文 13】中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为_【答案】5【解析】若这组数有个，则， ，又，所以；21n11010na212015na12112nnaaa15a 若这组数有个，则， ，又，所以；2n11010 22020nnaa22015na121nnnaaaa15a 故答案为 5【考点定位】等差数列的性质.【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质，这组数字有可能是偶数个，也有可能是奇数个.然后利用等差数列性质.2.本题属于基础题，注意运算的准确性.mnpqmnpqaaaa7 / 1614.【2017 江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= .nanS36763 44SS,8a【答案】32【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.15.【2017 课标 1，文 17】记 Sn 为等比数列的前 n 项和，已知S2=2，S3=-6 na（1）求的通项公式； na（2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2 是否成等差数列【答案】 （1） ；（2） ，证明见解析( 2)nna 32) 1(321 n n nS【解析】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得， ；（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2 成等差数列2q 12a 试题解析：（1）设的公比为由题设可得 ，解得， na12 1(1)2(1)6aqaqq 2q 12a 故的通项公式为na( 2)nna 8 / 16（2）由（1）可得1 1(1)22()1331nn n naqSq由于，3212142222()2()2313313nnn nn nnnSSS故， ，成等差数列1nSnS2nS【考点】等比数列【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法16.【2017 课标 II，文 17】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， nanS nbnT11221,1,2abab (1)若 ，求的通项公式；335ab nb（2）若，求.321T 3S【答案】 （） ；（）当时，.当时，.试题解析：（1）设的公差为 d，的公比为 q，则,.由得d+q=3. （1）由得 联立和解得（舍去） ，因此的通项公式（2）由得.解得9 / 16当时，由得，则.当时，由得，则.【考点】等差、等比数列通项与求和【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.17.【2015 高考北京，文 16】 （本小题满分 13 分）已知等差数列满足， na1210aa432aa（I）求的通项公式； na（II）设等比数列满足， ，问：与数列的第几项相等？ nb23ba37ba6b na【答案】 （I） ；（II）与数列的第项相等.22nan6b na63试题解析：（）设等差数列的公差为. nad因为，所以.432aa2d 又因为，所以，故.1210aa1210ad14a 所以 .42(1)22nann(1,2,)n （）设等比数列的公比为. nb因为， ，238ba3716ba所以，.2q 14b 所以.6 1 64 2128b10 / 16由，得.12822n63n 所以与数列的第项相等.6b na63考点：等差数列、等比数列的通项公式.【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属于中档题本题通过求等差数列和等比数列的基本量，利用通项公式求解解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式：，等比数列的通项公式：11naand1 1n naa q18. 【2015 高考广东，文 19】 （本小题满分 14 分）设数列的前项和为，已知， ， ，且当 nanSn11a 23 2a 35 4a 2n 时， 211458nnnnSSSS（1）求的值；4a（2）证明：为等比数列；11 2nnaa（3）求数列的通项公式 na【答案】 （1） ；（2）证明见解析；（3） 7 811212nnan再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式11 2nnaa1 2n na na试题解析：（1）当时， ，即，解得：2n 4231458SSSS11 / 164353354 15 18 1124224a47 8a （2）因为（） ，所以（） ，即（） ，因为，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列211458nnnnSSSS2n 21114444nnnnnnSSSSSS2n 2144nnnaaa2n 3125441644aaa 2144nnnaaa212111111111 4242212 142422 22 2nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa aaaaaaaa11 2nnaa21112aa1 2（3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以11 2nnaa21112aa1 21111 22nnnaa即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是1 14 11 22nn nnaa 1 2n na 121 2a21442 1 2n nann 111422122nnnann na11212nnan考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，属于难题本题通过将的递推关系式转化为的递推关系式，利用等比数列的定义进行证明，进而可得通项公式，根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解解题时一定要注意关键条件“” ，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等12 / 16差数列的通项公式，即等比数列的定义：（常数） ，等比数列的通项公式：，等差数列的通项公式：nSna2n 1nnaqa1 1n naa q11naand19.【2016 高考新课标 2 文数】等差数列中，.na34574,6aaaa（）求的通项公式；na（） 设，求数列的前 10 项和，其中表示不超过的最大整数，如 0.9=0,2.6=2.nnba nb xx【答案】 （） ；（）24.23 5nna【解析】试题分析：() 题目已知数列是等差数列，根据通项公式列出关于，的方程，解方程求得， ，从而求得；（）根据条件表示不超过的最大整数，求，需要对分类讨论，再求数列的前 10 项和.na1ad1adna xxnbn nb当 1,2,3 时， ；n 2312,15nnb当 4,5 时， ；n 2323,25nnb当 6,7,8 时， ；n 2334,35nnb当 9,10 时， ，n 2345,45nnb所以数列的前 10 项和为. nb1 32 23 34 224 考点：等差数列的性质 ，数列的求和.【名师点睛】求解本题会出现以下错误：对“表示不超过的最大整数”理解出错； xx20.【2016 高考北京文数】 （本小题 13 分）已知是等差数列，是等差数列，且， ， ，.nanb32b93b11ba 414ba13 / 16（1）求的通项公式；na（2）设，求数列的前 n 项和.nnnbacnc【答案】 （1） （， ， ， ） ；（2）21nan1n 231 2n n【解析】试题分析：（）求出等比数列的公比，求出，的值，根据等差数列的通项公式求解； nb11ba 414ba（）根据等差数列和等比数列的前项和公式求数列的前项和.nc试题解析：（I）等比数列的公比， nb32933bqb所以， 2 11bbq4327bb q设等差数列的公差为 nad因为， ，111ab14427ab所以，即1 1327d2d 所以（， ， ， ） 21nan1n 231 2n n考点：等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式，考查运算能力.【名师点睛】1.数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前 n 项和 Sn 可视为数列Sn的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等.1q1q14 / 1621.【2015 高考四川，文 16】设数列an(n1，2，3)的前 n 项和Sn 满足 Sn2ana3，且 a1，a21，a3 成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列的前 n 项和为 Tn，求 Tn. 1na【解析】() 由已知 Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)()由()得所以 Tn11 2nna2111 ( ) 111122.11222212nnn 【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前 n 项和等基础知识，考查运算求解能力.【名师点睛】数列问题放在解答题第一题，通常就考查基本概念和基本运算，对于已知条件是 Sn 与 an 关系式的问题，基本处理方法是“变更序号作差” ，这种方法中一定要注意首项 a1 是否满足一般规律(代入检验即可，或者根据变换过程中 n 的范围和递推关系中的表达式判断).数列求和时，一定要注意首项、公比和项数都不能出错.同时注意，对于较为简单的试题，解析步骤一定要详细具体，不可随意跳步.属于简单题.22.【2016 高考四川文科】 （本小题满分 12 分）已知数列 的首项为 1， 为数列的前 n 项和， ，其中 q>0， .nanSna11nnSqS*nN（）若 成等差数列，求的通项公式；2323,a a aana（）设双曲线 的离心率为 ，且 ，求.2 2 21nyxane22e 222 12neee15 / 16【答案】 （） ；（）.1=n naq-1(31)2nn 【解析】试题分析：（）已知的递推式，一般是写出当时， ，两式相减，利用，得出数列的递推式，从而证明为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（）先利用双曲线的离心率定义得到的表达式，再由解出的值，最后利用等比数列的求和公式求解计算.nS11nnSqS2n 11nnSqS1nnnaSSnanane22e 由成等差数列，可得，所以，故.2323+aaaa，32232=aaaa+32=2,aa=2q所以.1*2()n nan-=Î N（）由（）可知，.1n naq-=所以双曲线的离心率.2 2 21nyxa-=22(1)11n nneaq-=+=+由解得.所以，2 212eq=+=3q =22222(1) 122 22(1) 2(11)(1+)1111 1(31).2n nn nneeeqqqnqqnqn-+ × × ×+=+ × × ×+-=+ × × ×+=+-=+-，考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式23.【2015 高考重庆，文 16】已知等差数列满足=2，前 3 项和=. na3a3S9 2()求的通项公式， na()设等比数列满足=，=，求前 n 项和. nb1b1a4b15a nbnT【答案】 （） ， （）.+1=2nna21n nT =-【解析】试题分析：（）由已知及等差数列的通项公式和前 n 项和公式可得关于数列的首项 a1 和公式 d 的二元一次方程组，解此方程组可求得首16 / 16项及公差的值，从而可写出此数列的通项公式，（）由（）的结果可求出 b1 和 b4 的值，进而就可求出等比数列的公比，再由等比数列的前 n 项和公式即可求得数列前 n 项和1(1) 1nnbqTq-=- nbnT试题解析： （1）设的公差为，则由已知条件得 nad(2)由（1）得.141515+1=1=82bba=，设的公比为 q,则,从而. nb341q8b b=2q =故的前 n 项和 nb1(1)1 (1 2 )2111 2nn n nbqTq-´-=-.【考点定位】1. 等差数列，2. 等比数列.【名师点睛】本题考查等差数列及等比数列的概念、通项公式及前 n项的求和公式，利用方程组思想求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.