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变分问题的直接解法Chapter 10.6 最小势能原理的直接解法总势能总势能 是三个位移分量是三个位移分量 ui 的泛函：的泛函：在位移边界上自变函数在位移边界上自变函数 ui 应满足约束条件：应满足约束条件：第1页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6 最小势能原理的直接解法 里茨(Ritz)法 迦辽金(Galerkin)法第2页/共55页根据结构、载荷和边界条件，选根据结构、载荷和边界条件，选取尽可能合适的位移试验函数取尽可能合适的位移试验函数变分问题的直接解法Chapter 10.6 Ritz 方法方法写出弹性系统的总势能表达式写出弹性系统的总势能表达式对总势能进行变分，得到关于待对总势能进行变分，得到关于待定系数的线性方程组定系数的线性方程组求解上述线性方程组求解上述线性方程组第4页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6例例 用用 Ritz 方法求均载悬臂梁的挠度，梁的抗弯刚度方法求均载悬臂梁的挠度，梁的抗弯刚度为为EJ。1.根据结构、载荷和边界条件，选取尽可能根据结构、载荷和边界条件，选取尽可能 合适的位移试验函数合适的位移试验函数第5页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.62.总势能总势能第6页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6求得求得xl处的最大挠度为处的最大挠度为3.对位移的待定参数取对位移的待定参数取变分变分第7页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.60.50.29450.1250.11937精确解精确解近似解近似解误差（）误差（）4.541N=5时误时误差（）差（）0.038.1与精确解的比较与精确解的比较问题：误差的来源？如何提高精度？问题：误差的来源？如何提高精度？为什么应力的误差更大？为什么应力的误差更大？第8页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6 里茨法(Ritz)第一步第一步先找可能状态先找可能状态：选择一组在边界上满足指定：选择一组在边界上满足指定约束条件的约束条件的容许函数容许函数，把它们分别乘上待定常数并，把它们分别乘上待定常数并叠加起来，作为试验函数去代替真实的自变函数；叠加起来，作为试验函数去代替真实的自变函数；第二步第二步逼近真实状态逼近真实状态：调整试验函数中的待定常数，：调整试验函数中的待定常数，使满足泛函驻值条件使满足泛函驻值条件0 0，求得逼近于真解的近似，求得逼近于真解的近似解。显然试验函数选得越好，解的精度越高。解。显然试验函数选得越好，解的精度越高。第9页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6取变分：取变分：其中：其中：Galerkin 方法方法第10页/共55页变分问题的直接接法Chapter 10.6利用利用ij 的对称性和高斯积分定理进一步写成：的对称性和高斯积分定理进一步写成：Galerkin 方法方法第11页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6根据变分法基本预备定理，由此导得三维弹性体的平根据变分法基本预备定理，由此导得三维弹性体的平衡方程衡方程(欧拉方程欧拉方程)和力边界条件和力边界条件(自然边界条件自然边界条件)。但。但是欧拉方程的精确解一般不容易找到，为此迦辽金法是欧拉方程的精确解一般不容易找到，为此迦辽金法放松了在域内点点满足欧拉方程的要求，它要求试验放松了在域内点点满足欧拉方程的要求，它要求试验函数在函数在 Su 上满足位移边界条件，在上满足位移边界条件，在S 上满足力边界上满足力边界条件，而域内只要求按积分意义满足，即：条件，而域内只要求按积分意义满足，即：第12页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6于是，把寻找精确解的难题转化为只求整体满足积分于是，把寻找精确解的难题转化为只求整体满足积分平衡条件的近似解的问题。和里茨法一样，引进位移平衡条件的近似解的问题。和里茨法一样，引进位移试验函数，把试验函数，把ij 表示成位移参数表示成位移参数ain的函数，又的函数，又ui=uinain,代入上式后注意到代入上式后注意到ain相互独立，令它们相互独立，令它们的系数分别为零，得：的系数分别为零，得：第13页/共55页选取尽可能合适的位移试验函数，选取尽可能合适的位移试验函数，满足位移和应力边界条件满足位移和应力边界条件变分问题的直接解法Chapter 10.6 Galerkin 方法方法写出弹性系统的总势能表达式写出弹性系统的总势能表达式对总势能进行变分，得到对总势能进行变分，得到Galerkin法的线性方程组法的线性方程组求解上述线性方程组求解上述线性方程组第14页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6p 在域内并不处处满足平衡方程，代入平衡方程后，在域内并不处处满足平衡方程，代入平衡方程后，右端将出现非零的右端将出现非零的残量残量。p 调整试验函数中的待定参数，使残量与某些权函数调整试验函数中的待定参数，使残量与某些权函数之积在整个域上的积分值等于零之积在整个域上的积分值等于零(或者说，要求残量或者说，要求残量在域上与某些权函数正交在域上与某些权函数正交)，就能得到合理的近似解。，就能得到合理的近似解。Galerkin 方法的基本思想方法的基本思想第15页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6n 迦辽金迦辽金(Galerkin)法是加权残量法的一种特殊形法是加权残量法的一种特殊形式。它也可以处理不存在泛函的一类微分方程的边值式。它也可以处理不存在泛函的一类微分方程的边值问题，适用范围比里茨法广，但对存在泛函的弹性保问题，适用范围比里茨法广，但对存在泛函的弹性保守系统来说里茨法更为实用。守系统来说里茨法更为实用。n 里茨法仅要求试验函数满足里茨法仅要求试验函数满足约束边界条件约束边界条件，而迦辽，而迦辽金法还要求满足金法还要求满足自然边界条件自然边界条件。要求高的试验函数不。要求高的试验函数不容易找，但如果能找到则精度较高。若取同一试验函容易找，但如果能找到则精度较高。若取同一试验函数，则两种方法的结果相同。数，则两种方法的结果相同。Ritz方法方法&Galerkin 方法方法第16页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6例例 用用GalerkinGalerkin方法求均载悬臂梁的挠度，梁的抗弯方法求均载悬臂梁的挠度，梁的抗弯刚度为刚度为EJ。第18页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6u当选挠度当选挠度 w 为自变函数时，为自变函数时，迦辽金求解方程为迦辽金求解方程为u当选曲率当选曲率 w 为自变函数时，则对齐次边界条件为自变函数时，则对齐次边界条件的求解方程为的求解方程为梁弯曲的梁弯曲的Galerkin求解方法求解方法第19页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6如选取：如选取：它不满足它不满足 xl 处弯矩和剪力为零的条件。处弯矩和剪力为零的条件。梁弯曲的梁弯曲的Galerkin求解方法求解方法求得求得xl处的最大挠度为处的最大挠度为第20页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6选取：选取：它满足它满足 xl 处弯矩和剪力为零的条件：处弯矩和剪力为零的条件：梁弯曲的梁弯曲的Galerkin求解方法求解方法第21页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6利用左端位移边界条件，得：利用左端位移边界条件，得：代入代入Galerkin求解方程：求解方程：或：或：梁弯曲的梁弯曲的Galerkin求解方法求解方法第22页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.60.50.4690.1250.12603精确解精确解近似解近似解误差误差0.82%6.2%与精确解的比较与精确解的比较第23页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6右端不包含力边界上的面积分。右端不包含力边界上的面积分。在力边界上自变函数在力边界上自变函数 ij 应满足约束条件：应满足约束条件：最小余能原理的直接解法第24页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6 里茨法uRitz法解题步骤法解题步骤(最小余能原理最小余能原理)：求应变（不能精确满足协调方程）求应变（不能精确满足协调方程）第25页/共55页根据结构、载荷和边界条件，选根据结构、载荷和边界条件，选取尽可能合适的应力试验函数取尽可能合适的应力试验函数变分问题的直接解法Chapter 10.6 Ritz 方法方法写出弹性系统的总余能表达式写出弹性系统的总余能表达式对总余能进行变分，得到关于待对总余能进行变分，得到关于待定系数的线性方程组定系数的线性方程组求解上述线性方程组求解上述线性方程组第26页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6在无在无(常常)体力情况下，可以利用应力函数的方法，把体力情况下，可以利用应力函数的方法，把总余能看作应力函数的泛函总余能看作应力函数的泛函给定相应的应力函数边界条件，例如给定其边界值及给定相应的应力函数边界条件，例如给定其边界值及法向导数值：法向导数值：第27页/共55页可设可设其中其中 满足给定的非齐次边界条件，满足给定的非齐次边界条件，满足齐次满足齐次边界条件。对余能变分，边界条件。对余能变分，由这些线性代数方程组解出由这些线性代数方程组解出 ain。变分问题的直接解法Chapter 10.6第28页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6例例 用最小余能原理求静不定梁的支座反力。用最小余能原理求静不定梁的支座反力。第29页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6为二次静不定系统，选支反为二次静不定系统，选支反力力 RB 和和 RC 为待定力参数。为待定力参数。由力和力矩平衡条件：由力和力矩平衡条件：可解得可解得A点处：点处：第30页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6静力可能内力场静力可能内力场:余势余势Vc0 0，则总余能为，则总余能为CB段:BA段：第31页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6最小余能原理要求最小余能原理要求由此解得由此解得第32页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6例例 用最小余能原理求悬臂梁梁右端的挠度和转角。用最小余能原理求悬臂梁梁右端的挠度和转角。问题：如何右端的边界条件，引入余势？问题：如何右端的边界条件，引入余势？第33页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6例例 用最小余能原理求矩形截面杆的自由扭转用最小余能原理求矩形截面杆的自由扭转问题（扭矩和扭角关系）。问题（扭矩和扭角关系）。第34页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6总余能表达式：总余能表达式：应力函数可取为：应力函数可取为：对矩形截面杆可选：对矩形截面杆可选：第35页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6作为近似，只取第一项近似：作为近似，只取第一项近似：根据最小余能原理，得里茨法的求解方程根据最小余能原理，得里茨法的求解方程第36页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6由上述两式，最终可得由上述两式，最终可得（比精确解大：（比精确解大：1.4%）第37页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6关于误差的讨论：关于误差的讨论：Ritz方法：方法：假设位移的近似函数，求得的位移一般假设位移的近似函数，求得的位移一般小于精确解。小于精确解。0.50.29450.1250.11937精确解精确解近似解近似解误差（）误差（）4.541N=5时误时误差（）差（）0.038.1例：悬臂梁的挠度问题例：悬臂梁的挠度问题第38页/共55页变分问题的直接解法Chapter 10.6关于误差的讨论：关于误差的讨论：Galerkin方法：方法：假设应力的近似函数，求得的位移假设应力的近似函数，求得的位移一般大于精确解。一般大于精确解。例：悬臂梁的挠度问题例：悬臂梁的挠度问题0.50.4690.1250.12603精确解精确解近似解近似解误差误差0.82%6.2%第39页/共55页能量原理Chapter 10.7 泛函与变分的基本概念 基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法 可变边界条件，卡氏定理第40页/共55页可变边界条件&卡氏定理Chapter 10.7载荷可变的情况如果允许载荷发生虚变化，则可能功原理式对静力场如果允许载荷发生虚变化，则可能功原理式对静力场取变分的结果为取变分的结果为这称为这称为Castigliano方程或应力变分方程方程或应力变分方程，它是余虚功，它是余虚功原理的推广。原理的推广。第41页/共55页可变边界条件&卡氏定理Chapter 10.7当实际载荷有虚变化时，系统总余能的虚变当实际载荷有虚变化时，系统总余能的虚变化等于在真实位移上载荷虚变化所做的功。化等于在真实位移上载荷虚变化所做的功。第42页/共55页可变边界条件&卡氏定理Chapter 10.7如果把外载荷表示成若干个广义力如果把外载荷表示成若干个广义力 Pi，相应的广义位相应的广义位移记为移记为 i，则由上式得到：，则由上式得到：卡氏定理的导数形式卡氏定理的导数形式：总余能对广：总余能对广义力的偏导数等于相应的广义位移。义力的偏导数等于相应的广义位移。第44页/共55页可变边界条件&卡氏定理Chapter 10.7若再采用线弹性材料，则若再采用线弹性材料，则UcU，得，得（克罗第-恩格塞定理）卡氏第二定理当位移边界固定或全部为力边界时，余势当位移边界固定或全部为力边界时，余势Vc0 0，总，总余能余能 c Uc，则，则第45页/共55页可变边界条件&卡氏定理Chapter 10.7例例1 求线弹性材料的悬臂梁在自由端处的转角求线弹性材料的悬臂梁在自由端处的转角。应变能为应变能为第46页/共55页可变边界条件&卡氏定理Chapter 10.7对对 M0 求偏导，再令求偏导，再令 M00，得，得其转动方向与其转动方向与 M0 相同。相同。第47页/共55页可变边界条件&卡氏定理Chapter 10.7 边界位移可变的情况 拉格朗日变分方程(位移变分方程)如果允许位移边界上的给定位移发生虚变化，则可能如果允许位移边界上的给定位移发生虚变化，则可能功原理对变形可能场取变分的结果为功原理对变形可能场取变分的结果为：这是虚功原理的推广。这是虚功原理的推广。第48页/共55页可变边界条件&卡氏定理Chapter 10.7对于弹性保守系统，总势能的变分：对于弹性保守系统，总势能的变分：当位移边界值可变时，系统总势能的虚变化等于当位移边界值可变时，系统总势能的虚变化等于真实约束反力在位移边界值的虚变化上所做的功真实约束反力在位移边界值的虚变化上所做的功 第49页/共55页可变边界条件&卡氏定理Chapter 10.7若把总势能表示成广义位移若把总势能表示成广义位移 i 的函数，相应的广义的函数，相应的广义约束反力为约束反力为Pi，则，则对外力势对外力势 V=0 的情况，总势能的情况，总势能 退化为应变能退化为应变能U，上式成为上式成为卡氏第一定理第50页/共55页可变边界条件&卡氏定理Chapter 10.7例例2 桁架的下端由初始位置桁架的下端由初始位置 A0 拉伸距离后固定与拉伸距离后固定与A，求相应的约束反力求相应的约束反力P。由几何关系由几何关系杆的应变：杆的应变：第51页/共55页可变边界条件&卡氏定理Chapter 10.7两杆的总应变能为两杆的总应变能为第52页/共55页能量原理Chapter 10 基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法 可变边界条件，卡氏定理第53页/共55页Chapter 10谢谢！第54页/共55页感谢您的观看。第55页/共55页