概率论与数理统计(柴中林)第18讲.ppt
概率论与数理统计概率论与数理统计第十八讲第十八讲主讲教师：柴中林副教授主讲教师：柴中林副教授中国计量学院理学院中国计量学院理学院 从前面两节的讨论中可以看到从前面两节的讨论中可以看到:同一参数可以有几种不同的估计，这时就需同一参数可以有几种不同的估计，这时就需 要判断采用哪一种估计为好的问题。要判断采用哪一种估计为好的问题。另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大 似然法即使得到的是同一个估计似然法即使得到的是同一个估计,也存在衡也存在衡 量这个估计优劣的问题。量这个估计优劣的问题。估计量的优良性准则就是：估计量的优良性准则就是：评价一个估计量评价一个估计量“好好”与与“坏坏”的标准。的标准。7.3 估计量的优良性准则估计量的优良性准则 设总体的分布参数为设总体的分布参数为，对一切可能的对一切可能的 成立成立,则称则称 为为 的无偏估计。的无偏估计。7.3.1 无偏性无偏性 对于样本对于样本 X1 1,X2 2,Xn n的的不同取值，不同取值，取不同的值取不同的值 )。如果如果 的的均均值等于值等于，即，即简记为 是是 的一个估计的一个估计(注意注意!它是一个统它是一个统计量，是随机变量。计量，是随机变量。参数参数，有时可能估计偏高，有时可能偏低，有时可能估计偏高，有时可能偏低，但是平均来说它等于但是平均来说它等于。“一切可能的一切可能的 ”是指：在参数估计问题中，是指：在参数估计问题中，参数参数 一切可能的取值。一切可能的取值。我们之所以要求对一切可能的我们之所以要求对一切可能的 都成立，都成立，是因为在参数估计问题中是因为在参数估计问题中,我们并不知道参数我们并不知道参数 的真实取值。自然要求它在参数的真实取值。自然要求它在参数 的一切可的一切可能取值的范围内都成立能取值的范围内都成立说明：说明：无偏性的意义是：用估计量无偏性的意义是：用估计量 估计估计 例例1：设设 X1,X2,Xn 为抽自均值为为抽自均值为 的总体的总体X的随机样本，考虑的随机样本，考虑 的如下几个估计量：的如下几个估计量：例如：例如：若若 指的指的是正态总体是正态总体N(,2)的均值的均值,则其一切可能取值范围是则其一切可能取值范围是(-(-,)。若。若 指的指的是方差是方差 2 2，则其一切可能取值范围是，则其一切可能取值范围是(0,(0,)。定理定理1：设总体设总体 X 的均值为的均值为,方差为方差为 2 2,X1 1,X2 2,Xn n 为来自总体为来自总体 X 的随机样本，记的随机样本，记 与与 分别为样本均值与样本方差，即分别为样本均值与样本方差，即 即样本均值和样本方差分别是即样本均值和样本方差分别是 总体均值总体均值 和总体方差和总体方差 的无偏估计的无偏估计。证明：证明：因为因为 X1,X2,Xn 独立同分布，且独立同分布，且E(Xi)=,所以所以另一方面，因另一方面，因于是，有于是，有注意到注意到 前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法分别求得了正态总体分别求得了正态总体 N(,2)中参数中参数 2 的估的估计计,均均为为很很显显然，它不是然，它不是 2 的无偏估的无偏估计计。这这正是我正是我们为们为什么要将其分母修正什么要将其分母修正为为 n-1，获获得得样样本方差本方差 S2来估来估计计 2 的理由。的理由。例例2：求证：样本标准差求证：样本标准差 S 不是总体标准差不是总体标准差 的无偏估计。的无偏估计。证明：证明：因因 E(E(S2 2)=)=2 2，所以，所以，V Var(ar(S)+E(S)+E(S)2 2=2 2，由由 Var(Var(S)0 0，知，知 E(E(S)2 2=2 2-Var(-Var(S S)2 2.所以，所以，E E(S S).故，故，S S 不是不是 的无偏估计。的无偏估计。用估计量用估计量 估计估计，估计误差估计误差II.II.均方误差准则均方误差准则 是随机变量，通常用其均值是随机变量，通常用其均值衡量估计误差的大小。衡量估计误差的大小。要注意要注意:为了防止求均值时正、负误差相为了防止求均值时正、负误差相互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其为均方误差，记成为均方误差，记成 ，即，即 哪个估计的均方哪个估计的均方误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计优劣的准则为优劣的准则为“均方误差准则均方误差准则”。注意：注意：均方误差可分解成两部分均方误差可分解成两部分:证明：证明：上式表明，均方误差由两部分构成：第一上式表明，均方误差由两部分构成：第一部分是估计量的方差，部分是估计量的方差，第二部分是估计量的第二部分是估计量的偏偏差的平方和。差的平方和。注意：注意：如果一个估计量是无偏的，则第二如果一个估计量是无偏的，则第二部分是零，则有部分是零，则有:如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估计的方差小，哪个估计就较优。这种判定估计计的方差小，哪个估计就较优。这种判定估计量优劣的准则称为方差准则。量优劣的准则称为方差准则。例例3 3：设设 X1,X2,Xn 为抽自均值为为抽自均值为 的总体的总体,考虑考虑 的如下两个估计的优劣：的如下两个估计的优劣：我们看到我们看到:显然两个估计都是显然两个估计都是 的无偏的无偏估计。计算二者的方差：估计。计算二者的方差：这表明：当用样本均值去估计总体均值时，这表明：当用样本均值去估计总体均值时，使用全样本总比不使用全样本要好。使用全样本总比不使用全样本要好。前面讨论了参数的点估计。点估计就是前面讨论了参数的点估计。点估计就是利用样本计算出的值利用样本计算出的值(即实轴上点即实轴上点)来估计未来估计未知参数。知参数。7.4 正态总体的区间估计(一)其优点是：其优点是：可直地告诉人们可直地告诉人们 “未知未知参数大致是多少参数大致是多少”；缺点是：缺点是：并未反映出估并未反映出估计的误差范围计的误差范围(精度精度)。故，在使用上还有不故，在使用上还有不尽如人意之处。尽如人意之处。而区间估计正好弥补了点估而区间估计正好弥补了点估计的这一不足之处计的这一不足之处。例如：例如：在估计正态总体均值在估计正态总体均值 的的问题中问题中,若根据一组实际样本，得到若根据一组实际样本，得到 的极大似然估的极大似然估计为计为 10.12。一个可以想到的估计办法是：给出一个一个可以想到的估计办法是：给出一个区间，并告诉人们该区间包含未知参数区间，并告诉人们该区间包含未知参数 的的可靠度可靠度(也称置信系数也称置信系数)。实际上，实际上，的真值可能大于的真值可能大于10.12，也可，也可能小于能小于10.12。也就是说，给出一个区间，使我们能以也就是说，给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区间包含参数一定的可靠度相信区间包含参数 。这里的这里的“可靠度可靠度”是用概率来度量的，是用概率来度量的，称为置信系数，常用称为置信系数，常用 表示表示 置信系数的大小常根据实际需要来确定，置信系数的大小常根据实际需要来确定，通常取通常取0.95或或0.99，即，即 根据实际样本，由给定的置信系数，可根据实际样本，由给定的置信系数，可求出一个尽可能短的区间求出一个尽可能短的区间 ，使，使 为确定置信区间，我们先回顾前面给出为确定置信区间，我们先回顾前面给出的随机变量的上的随机变量的上 分位点的概念。分位点的概念。书书末末附附有有2分分布布、t 分分布布、F分分布布的的上上侧侧分分位位数数表表可可供供使使用用。需需要要注注意意的的地地方方在在教教材材上均有说明。上均有说明。现在回到寻找置信区间问题上来。现在回到寻找置信区间问题上来。7.4.1 置信区间的定义置信区间的定义定义定义1：实际应用上，一般取实际应用上，一般取 =0.05 或或 0.01。7.4.2 正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计根据基本定理根据基本定理(见定理见定理6.4.1)，知，知也可简记为也可简记为于是，于是，的置信区间为的置信区间为例例1:某厂生产的零件长度某厂生产的零件长度 X 服从服从 N(,0.04),),现从该厂生产的零件中随机抽取现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度个，长度测量值如下测量值如下(单位单位:毫米毫米):):14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求求:的置信系数为的置信系数为0.950.95的区间估计。的区间估计。解：解：n=6，=0.05，z/2=z0.025=1.96，2 2=0.22.所求置信区间为所求置信区间为当方差未知时，取当方差未知时，取 的区间估计的区间估计于是，于是，的置信系数为的置信系数为1-的区间估计为的区间估计为也可简记为也可简记为 2 的区间估计的区间估计例例2：为估计一物体的重量为估计一物体的重量，将其称量，将其称量10次次,得到重量的测量值得到重量的测量值(单位单位:千克千克)如下如下:10.l,10.0,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,10.3,9.9.设它们服从正态分布设它们服从正态分布 N(,2)。求。求 的置信的置信系数为系数为0.95的置信区间。的置信区间。解解:n=10,=0.05,t9(0.025)=2.2622,例例3(续例续例2):求求 2的置信系数为的置信系数为0.95的置信区间。的置信区间。解：解：n=10,=0.05,S2=0.0583,查附表得，查附表得，于是，小结小结 本讲首先介绍了估计量的评优准则，包括：无偏性和均方误差准则；然后介绍了区间估计的基本概念，详细讨论了正态总体均值和方差的区间估计。
