概率论与数理统计第四章数字特征.ppt

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望、方差、协方差和相关系数第一节第一节 数学期望数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：、概念的引入：X的数学期望E(X)若统计若统计100天天,32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;可以得到这可以得到这100天中天中 每天的平均废品数为每天的平均废品数为这个数能否作为这个数能否作为X的平均值呢？的平均值呢？（假定小张每天至多出（假定小张每天至多出现三件废品现三件废品）例如：例如：某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察.车车工小张每天生产的废品数工小张每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量.如何如何定义定义X的平均值呢？的平均值呢？我们先观察小张我们先观察小张100天的生产情况天的生产情况可以想象，若另外统计可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般天一般不会完全相同，这另外不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不天每天的平均废品数也不一定是一定是1.27.n0天没有出废品天没有出废品;n1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.可以得到可以得到n天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出假定小张每天至多出三件废品三件废品)一般来说一般来说,若统计若统计n天天,这是这是以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均 当当N很大时，频率接近于概率，很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数所以我们在求废品数X的平均值时，用的平均值时，用概率代替概率代替频率频率，得平均值为，得平均值为这是这是以概率为权的加权平均以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变我们就用这个数作为随机变量量X 的平均值的平均值.定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是:PX=xk=pk,k=1,2,请注意请注意:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。数学期望简称期望，又称为均值。若级数若级数绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数即的和为的和为随机变量随机变量X的数学期望的数学期望，记为，记为 ,例例1 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.1数学期望的性质数学期望的性质 (4)设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立 当当X为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为P(X=xk)=pk;定理定理 (1)设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g(X)(g是连续函数是连续函数)可见，服从参数为可见，服从参数为n和和p的二项分布的随机变量的二项分布的随机变量X的数学期望是的数学期望是 n p.XB(n,p),若设若设则则 X=X1+X2+Xn=npi=1,2，n因为因为 P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以所以 E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.E(Xi)=p例例2 求二项分布求二项分布 XB(n,p)的数学期望的数学期望例例 设设(X,Y)的分布律的分布律二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在在数轴上取很密的分点数轴上取很密的分点x0 x1x2,则则X落在小区落在小区间间xi,xi+1)的概率是的概率是小区间小区间xi,xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为 由于由于xi与与xi+1很接近很接近,所以区间所以区间xi,xi+1)中的值中的值可以用可以用xi来近似代替来近似代替.这正是这正是的渐近和式的渐近和式.近似近似,因此因此X与以概率与以概率取值取值xi的离散型的离散型r.v 该离散型该离散型r.v 的数学的数学期望期望是是小区间小区间xi,xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为由此启发我们引进如下定义由此启发我们引进如下定义.定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),如果积分如果积分绝对收敛绝对收敛,则称此积分值为则称此积分值为X的数学期望的数学期望,即即请注意请注意:连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分的积分.例例1.几个常用的随机变量的期望几个常用的随机变量的期望 当当X为连续型时为连续型时,它它的密度函数为的密度函数为f(x).若若定理定理 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g(X)(g是连续函数是连续函数)该公式的重要性在于该公式的重要性在于:当我们求当我们求Eg(X)时时,不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了.这这给求随机变量函数的期望带来很大方便给求随机变量函数的期望带来很大方便.例例例例2 2 上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变机变机变机变量的函数的情况。量的函数的情况。量的函数的情况。量的函数的情况。例例例例3 3例例例例3 3 同离散型，连续型数学期望的性质同离散型，连续型数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;4.设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立例例4 把把数数字字1,2,n任任意意地地排排成成一一列列，如如果果数数字字k恰恰好好出出现现在在第第k个个位位置置上上，则则称称为为一一个个巧巧合合，求求巧巧合合个数的数学期望个数的数学期望.由于由于 E(Xk)=P(Xk=1)解解:设巧合个数为设巧合个数为X,k=1,2,n则则故故引入引入例例5 5 一民航送客车载有一民航送客车载有2020位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅客有旅客有1010个车站可以下车个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不如到达一个车站没有旅客下车就不停车停车.以以X X表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X)E(X).(.(设每位旅客在各设每位旅客在各个车站下车是等可能的个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立并设各旅客是否下车相互独立)(各旅客是否下车相互独立各旅客是否下车相互独立)按题意按题意按题意按题意 本题是将本题是将本题是将本题是将X X分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和,然后利用随然后利用随然后利用随然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的数学期望的数学期望的数学期望的,此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义.六、课堂练习六、课堂练习1 某某人人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n把把钥钥匙匙,其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门,他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门,若若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除除去去,求求打打开开门门时时试试开次数的数学期望开次数的数学期望.2 2 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为1 解解 设试开次数为设试开次数为X,于是于是 E(X)2 2 解解解解Y Y是随机变量是随机变量是随机变量是随机变量X X的函数的函数的函数的函数,P(X=k)=1/n,k=1,2,n七、小结七、小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征.接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：量另一个重要的数字特征：方差方差第二节第二节 方差方差方差的定义方差的定义方差的计算方差的计算方差的性质方差的性质切比雪夫不等式切比雪夫不等式课堂练习课堂练习 小结小结 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果乙仪器测量结果 甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮发炮弹，其落点距目标的位置如图：弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心中心中心 由此可见由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的分必要的.那么那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易容易看到看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差方差 能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.但由于但由于上式带有绝对值上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.一、方差的定义一、方差的定义 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)2存在存在,称称E(X-E(X)2为为 X 的方差的方差.记为记为D(X)，即，即D(X)=EX-E(X)2若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差D(X)较大较大.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度离散程度.若若X的取值比较集中，则方差的取值比较集中，则方差D(X)较小；较小；因此，因此，D（X）是刻画）是刻画X取值分散程度的一个量，它取值分散程度的一个量，它是衡量是衡量X取值分散程度的一个尺度。取值分散程度的一个尺度。X为离散型，为离散型，分布率分布率PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量 X 的函数的函数 g(X)=X-E(X)2 的的数学期望数学期望.二、方差的计算二、方差的计算X为连续型，为连续型，X概率密度概率密度f(x)计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质例例1设随机变量设随机变量X具有具有(01）分布，其分布率为）分布，其分布率为求求D(X).解解由公式由公式因此因此,0-1分布分布例例2解解X的分布率为的分布率为上节已算得上节已算得因此因此,泊松分布泊松分布例例3解解 因此因此,均匀分布均匀分布例例4设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为解解由此可知由此可知,指数分布指数分布几个常用的随机变量的期望、方差几个常用的随机变量的期望、方差三、方差的性质三、方差的性质 1.设设C 是常数是常数,则则 D(C)=0;2.若若 C 是常数是常数,则则 D(CX)=C2 D(X);3.设设 X 与与 Y 是两个随机变量，则是两个随机变量，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)4.D(X)=0 PX=C=1,这里这里C=E(X)下面我们证明性质下面我们证明性质3证明证明若若 X,Y 相互独立相互独立,由数学期望的性质由数学期望的性质4得得此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况的情况.例例1解解于是于是例如例如,例例解解由于由于故有故有11二、选择题二、选择题四、切比雪夫不等式四、切比雪夫不等式或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则越小，则事件事件|X-E(X)|的概率越大，即的概率越大，即随机变量随机变量X 集集中在期望附近的可能性越大中在期望附近的可能性越大.应用：在不知分布的情况下可估计某种概率的值当方差已知时，切比雪夫不等式给出了当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它与它的期望的偏差不小于的期望的偏差不小于 的概率的估计式的概率的估计式.如取如取 可见，对任给的分布，只要期望和方差可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，存在，则则 r.v X取值偏离取值偏离E(X)超过超过 3 的概率小于的概率小于0.111.例例9 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均，每一毫升白细胞数平均是是7300，均方差是，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在白细胞数在52009400之间的概率之间的概率.解解:设每毫升白细胞数为设每毫升白细胞数为X,依题意依题意,E(X)=7300,D(X)=7002 P(5200 X 9400)=P(-2100 X-E(X)2100)=P|X-E(X)|2100由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P|X-E(X)|2100即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于之间的概率不小于8/9.例例10 在每次试验中，事件在每次试验中，事件A发生的概率为发生的概率为 0.75,利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得需要多么大时，才能使得在在n次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件A出现的频率在出现的频率在0.740.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90?解：设解：设X为为n 次试验中，事件次试验中，事件A出现的次数，出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的的最小的n.则则 XB(n,0.75)所求为满足所求为满足D(X)=n0.75(1-0.75)=0.1875n =P(-0.01nX-0.75n 0.01n)=P|X-E(X)|0.01n P(0.74n X0.76n)可改写为可改写为在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，则，则=P|X-E(X)|0.01n解得解得依题意，取依题意，取 即即n 取取18750时，可以使得在时，可以使得在n次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件A出现的频率在出现的频率在0.740.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90.=P|X-E(X)|0,D(Y)0,称称在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .2.X和和Y独立时，独立时，=0，但其逆不真，但其逆不真.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)=0.故故=0但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.请看下例请看下例.相关系数的性质：相关系数的性质：，Cov(X,Y)=0，事实上，事实上，X的密度函数的密度函数例例1 设设X服从服从(-1/2,1/2)内的均匀分布内的均匀分布,而而Y=cos X,不难求得不难求得存在常数存在常数 a,b(b0），使使 PY=a+b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 线性相关线性相关.因而因而 =0，即即X和和Y不相关不相关.但但Y与与X有严格的函数关系，有严格的函数关系，即即X和和Y不独立不独立.相关系数刻划了相关系数刻划了X和和Y间间“线性相关线性相关”的程度的程度.若若 =0，Y 与与 X 无线性关系无线性关系;Y与与X有严格线性关系有严格线性关系;若若若若0|1,|的值越接近于的值越接近于1,Y 与与 X 的线性相关程度越高的线性相关程度越高;|的值越接近于的值越接近于0,Y与与X的线性相关程度越弱的线性相关程度越弱.（先求边缘密度）（先求边缘密度）所以但对下述情形，独立与不相关等价但对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关前面，我们已经看到：前面，我们已经看到：若若 X 与与 Y 独立，则独立，则X与与Y不相关，反之不一定。不相关，反之不一定。三、课堂练习三、课堂练习1（32题）2(33)题）1、解、解2、解、解四、小结四、小结 这一节我们介绍了协方差、相关系数、这一节我们介绍了协方差、相关系数、相关系数是刻划两个变量间相关系数是刻划两个变量间线性相关程度线性相关程度的一个重要的一个重要的数字特征的数字特征.注意独立与不相关并不是等价的注意独立与不相关并不是等价的.但当但当(X,Y)服从二维正态分布时，有服从二维正态分布时，有X 与与 Y 独立独立X 与与 Y 不相关不相关一、填空题一、填空题二、选择题二、选择题二、选择题