概率论与数理统计连续型随机变量二.ppt
随机变量随机变量 随机变量的概念 例 电话总机某段时间内接到的电话次数，电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量可用一个变量 X 来描述：来描述：X=0，1，2，例 检测检测一件产品可能出现的两个结果一件产品可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述也可以用一个变量来描述:例 考考虑虑“测试测试灯泡寿命灯泡寿命”这这一一试验试验，以，以 X 记记灯泡的寿命（以小灯泡的寿命（以小时计时计）则则：X=t，(t0)定义定义 设 S 是随机试验E的样本空间，若则称 S 上的单值实值函数 X()为随机变量随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，或小写希腊字母，表示v随机变量 是上的映射，此映射具有如下特点:定定义义域域 S；随机性随机性 随机变量 X 的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值；v 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某个值或某些值。v引入随机引入随机变变量的意量的意义义v有了随机有了随机变变量，随机量，随机试验试验中的各种事件，就中的各种事件，就可以通可以通过过随机随机变变量的关系式表达出来。量的关系式表达出来。如：如：单单位位时间时间内某内某电话电话交交换换台收到的呼叫次台收到的呼叫次数用数用 X 表示，它是一个表示，它是一个随机随机变变量量。收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 没有收到叫没有收到叫v可可见，随机事件这个概念实际上是包容在见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内。也可以说，随机变量这个更广的概念内。也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样。学分析中常量与变量的区别那样。v称X为具有密度函数f(x)的连续型随机变量连续型随机变量，如果对任意的ab，都有v对于连续随机变量X，有v称函数 为随机变量X的分布函数分布函数，记Xv对连续型随机变量X，有Review分布律的基本性质：非负性：规范性：分布律的两个要素：X的可能取值X取每个值的概率几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布n0-10-1分布分布分布分布(二点分布二点分布二点分布二点分布)1p p P 0 1 X 则则称称X服从服从参数参数为为p 的二点分布或的二点分布或(0-1)分布分布,背景背景：样样本空本空间间只有两个只有两个样样本点的情况本点的情况 都可以用两点分布来都可以用两点分布来 描述。描述。如：上抛一枚硬如：上抛一枚硬币币。定定定定义义义义：若随机若随机变变量量X X的分布律的分布律为为:例例设设一个袋中装有一个袋中装有3 3个个红红球和球和7 7个白球，个白球，现现在从中在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数并且用数“1”“1”代表取得代表取得红红球，球，“0”“0”代表取得代表取得白球，白球，则则随机抽取一球所得的随机抽取一球所得的值值是一个离散型是一个离散型随机随机变变量量其概率分布其概率分布为为即即X X服从两点分布。服从两点分布。其中其中0 p 0,则则称称X服从参数服从参数为为 的的泊松分布泊松分布XP()n定定义义服务台在某时间段内接待的服务次数服务台在某时间段内接待的服务次数X X；交换台在某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;Y;矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。n 实际问题实际问题中若干中若干是服从或近似服从是服从或近似服从 PoissonPoisson分布的分布的 已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X X服从服从的泊松分布，分别的泊松分布，分别 求（求（1 1）每分钟内恰好接到）每分钟内恰好接到3 3次呼唤的概率；（次呼唤的概率；（2 2）每分钟不超过）每分钟不超过4 4次的概率次的概率例例解解题型题型1.1.已知离散型分布律，求分布函数：已知离散型分布律，求分布函数：v例例1 1 设随机变量X的分布律为跳跃点跳跃点求X的分布函数。阶梯函数阶梯函数v例例2 2 设随机变量X的分布函数为求X的概率分布。题型题型2.2.已知离散型分布函数，求分布律：已知离散型分布函数，求分布律：可能取值的点可能取值的点v例例3 3 设连续型随机变量X的密度函数为求X的分布函数。题型题型3 3.已知连续型密度函数，求分布函数：已知连续型密度函数，求分布函数：v解解 当x0时，当0 x1时，当1x2时，当x2时，所以X的分布函数为 v例例4 4 设连续型随机变量X的分布函数为求X的密度函数。题型题型4.4.已知连续型分布函数，求密度函数：已知连续型分布函数，求密度函数：v1.1.均匀分布均匀分布若连续型随机变量X的密度函数为则XU(a,b).可描述“四舍五入”原则下的误差；每隔一定时间发车一部的车站上乘客的候车时间等等.v例例5 已知XU(a,b),求X的分布函数。解解 当xa时，当axb时，当xb时，v1.1.均匀分布（均匀分布（X XU(a,b)v例例6 6 已知XU(a,b),求解解 X XU(a,b)，于是其分布函数为PcX c+L=F F(c+L)-(c+L)-F F(c)=L/(b-a)(c)=L/(b-a).若X服从(a,b)上的均匀分布，则X取值落在子区间的概率与子区间的长度成正比。v例例7 7 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听报时，可认为求等待时间X 服从均匀分布，求等待短于10分钟的概率。解解 以分钟为单位，记上一次报时时刻为0，则下一次报时时刻为60，则X XU(0,60)，于是其分布函数为P P X X 10=10=F F(10)=(10-0)/(60-0)=1/6(10)=(10-0)/(60-0)=1/6.v例例8 8 某汽车从7：00am起，每15分钟来一班车，如果乘客到达此站的时间X是7:00到7：30之间的均匀变量，求等待时间短于5分钟的概率。解解 以分钟为单位，以7：00为起点0，则X XU(0,30)，其分布函数为P P1010X X 15=15=F F(15)-(15)-F F(10)=15/30-10/30=1/6(10)=15/30-10/30=1/6.P P2525X X 30=30=F F(30)-(30)-F F(25)=30/30-25/30=1/6(25)=30/30-25/30=1/6.P P1010X X 15+15+P P2525X X 30=1/330=1/3.v2.2.指数分布指数分布若连续型随机变量X的密度函数为可描述电子元件、动物的寿命；排队的服务时间.则v例例9 已知 求X的分布函数。解解 当x0时，当x0时，v2.2.指数分布（指数分布（)v3.3.正态分布正态分布(Normal DistributionNormal Distribution)若连续型随机变量X 的密度函数为可描述测量误差;信号噪声；考试成绩;产品的质量指标;生物的生理指标等等.后面的中心极限定理中心极限定理告诉我们：大量独立同分布的随机变量的和近似正态分布近似正态分布!则v3.3.正态分布（正态分布（)正态分布的图象是一条钟形曲线，中间高中间高、两边低两边低、是轴对称轴对称图形。正态分布图象与其参数关系正态分布图象与其参数关系v4.4.标准正态分布（标准正态分布（)v 标准化标准化：v例例13 13 从南郊某地乘车到北区飞机场有两条路可走，第一条路较短，但交通拥挤，所需时间XN(50,100)；第二条路线略长，但意外阻塞较少，所需时间Y N(60,16)，若离登机时间只有70分钟，问应走哪一条路赶飞机？解解 走第一条路线能及时赶到的概率为 而走第二条路线能及时赶到的概率为 所以为了尽可能赶上飞机，应走第二条路线.-3 -2 -+2 +3x68.26%95.44%99.74%始于1945年的工业用质量控制图就是根据这个原则制定的.产品质量特性服从正态分布；当生产中不存在系统误差时，如果生产处于受控状态，则样本观测值一定落在此3范围内；否则生产过程就不稳定，需要改进.
