微积分II课件——12-5可降阶的高阶微分方程.pdf
2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）2 同理可得同理可得 解法：解法：特点：特点：.x右端仅含有自变量(1)ny把看作一个新的未知函数.(1)1().nyf x dxC=+则(2)12().npf x dxC dxC=+nn依此法连续进行，接连积分次，便得方程的含有 个任意常数的通解.()()nyf x=一、一、型型 2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）3 2cos.xyex=求方程的通解解解 对所给方程接连积分三次，得21sin,2xyexC=+原方程通解为原方程通解为 221cos,4xyexCxC=+221231sin8xyexC xC xC=+221231sin.8xyexC xC xC=+例例 1 P329 T1(1)2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）4 2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）5 代入原方程代入原方程,得得 解法：解法：特点：特点：.,)1(kyyyL及不显含未知函数 及不显含未知函数)()(xpyk=令=令.,)()()1(knnkpypy+=则=则).(,),(,()1()(xpxpxfpknkn=Lp(x)的的(n-k)阶方程阶方程),(xp求得求得,)()(次连续积分将次连续积分将kxpyk=可得通解可得通解.),()1()()(=nknyyxfyL二、二、型型 2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）6.0)4()5(的通解求方程=的通解求方程=yxy解解),()4(xpy=设=设代入原方程代入原方程,0=ppxxCp1=解线性方程解线性方程,得得 两端积分两端积分,得得 原方程通解为原方程通解为)()5(xpy=）（）（0 p,1)4(xCy=即=即,21221CxCy+=+=,LL,2612054233251CxCxCxCxCy+=+=54233251DxDxDxDxDy+=+=例例 1 P329 T1(5)2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）7 2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）8 例例 2 线？状态，绳索是怎样的曲在平衡试问下垂绳索仅受重力的作用而索，两端固定，设有一均匀、柔软的绳线？状态，绳索是怎样的曲在平衡试问下垂绳索仅受重力的作用而索，两端固定，设有一均匀、柔软的绳:.解解 如图建立坐标系如图建立坐标系.设设).(xyy=绳索曲线方程为=绳索曲线方程为O H A M T gs x y 和考虑绳索曲线最低点 和考虑绳索曲线最低点 A之间的其上任意点之间的其上任意点),(yxM.,sAM 其长记为弧段其长记为弧段2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）9 AM假设绳索的线密度为，则弧所受的重力为一点的张力平行由于绳索柔软，故在每 一点的张力平行由于绳索柔软，故在每.gs 点处在设弧向外于该点处的切线，方向点处在设弧向外于该点处的切线，方向AAM.的且切线点处的张力为在的张力为的且切线点处的张力为在的张力为MTTMH,.倾角为倾角为的外力相互平衡，故由于作用于弧段的外力相互平衡，故由于作用于弧段 AM.cossinHTgsT=2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）10:两式相除，并注意到两式相除，并注意到.1,tan02+=+=xdxysy.,1102=+=+=xgHadxyay其中其中从而可得微积分方程从而可得微积分方程求导，得微分方程进一步，两边对 求导，得微分方程进一步，两边对 x.112yay+=+=2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）11:,|则初始条件为设则初始条件为设aOA=.0|,|00=xxyay2();2xxaaayeeC=+得通解为：解微分方程得通解为：解微分方程,：代初始条件，得特解为：代初始条件，得特解为().2xxaaayee=+2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）12)(ypy=设=设,dydppdxdydydpy=则=则阶方程，的代入原方程得到新函数阶方程，的代入原方程得到新函数)1()(nyp求得其解为求得其解为 原方程通解为原方程通解为.),(11nnCxCCydy+=+=L 特点：特点：.x右端不显含自变量右端不显含自变量解法：解法：,)(2222dydppdypdpy+=+=,LL),()(11=nCCyypdxdyL),()1()(=nnyyyyfyL三、三、型型 2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）13.02的通解求方程=的通解求方程=yyy解解,dydppy=则=则),(ypy=设=设代入原方程得代入原方程得 ,02=pdydppy,0)(=pdydpyp即即，由，由0=pdydpy,1yCp=可得=可得.12xCeCy=原方程通解为原方程通解为,1yCdxdy=例例 3).0,0:(含于其中的解即注含于其中的解即注Cyyp=P329 T1(9)2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）14 2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）15 O R l y.（不计空气阻力）的速度和所需要的时间求它落到地面时地面的作用由静止开始落向体，受地球引力设一个离地面很高的物（不计空气阻力）的速度和所需要的时间求它落到地面时地面的作用由静止开始落向体，受地球引力设一个离地面很高的物物体的设地球半径为物体的设地球半径为,R物体开始下落时质量为物体开始下落时质量为,m例例 4 解解 如图建立坐标系如图建立坐标系,其中其中O 为地球中心为地球中心.),(Rl 与地球中心的距离为 与地球中心的距离为2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）16.)()(dtdytvtyy=，速度函数设物体的位置函数=，速度函数设物体的位置函数微分方程：根据万有引力定律，得 微分方程：根据万有引力定律，得.,222222ykMdtydykmMdtydm=即=即代入方程得得解方程：由代入方程得得解方程：由,22dydvvdtyddtdyv=.0|,|.00=ttylykM初始条件为为引力常数为地球的质量，初始条件为为引力常数为地球的质量，2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）17 由此求解可得速度函数由此求解可得速度函数,22ygRdydvv=,)11(22lygRv=物体的速度为时即当物体到达地面物体的速度为时即当物体到达地面,Ry=.)(2lRlgR.轴的正向相反与符号表示物体运动方向轴的正向相反与符号表示物体运动方向y2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）18,arccos212+=+=lylylyglRt进一步积分，得进一步积分，得物体所需时间为时即当物体到达地面物体所需时间为时即当物体到达地面,Ry=.arccos212+lRlRlRglR2020/2/25 可降阶的高阶微分方程（24）19 作业作业:P329 T1(偶偶)
