高等数学同济第六版大纲.pdf

第一章 函数与极限 教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、掌握极限的性质及四则运算法则。7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。1.1 映射与函数 一、集合 1.集合概念 集合(简称集):集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用 A,B,C.等表示.元素:组成集合的事物称为集合的元素.a 是集合 M 的元素表示为 aM.集合的表示:列举法:把集合的全体元素一一列举出来.例如 Aa,b,c,d,e,f,g.描述法:若集合 M 是由元素具有某种性质 P 的元素 x 的全体所组成,则 M 可表示为 Aa1,a2,an,Mx|x 具有性质 P.例如 M(x,y)|x,y 为实数,x2y21.几个数集:N 表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.N0,1,2,?,n,?.N1,2,?,n,?.R 表示所有实数构成的集合,称为实数集.Z 表示所有整数构成的集合,称为整数集.Z?,n,?,2,1,0,1,2,?,n,?.Q 表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.子集:若 xA,则必有 xB,则称 A 是 B 的子集,记为 AB(读作 A 包含于 B)或BA.如果集合 A 与集合 B 互为子集,AB 且 BA,则称集合 A 与集合 B 相等,记作AB.若 AB 且 AB,则称 A 是 B 的真子集,记作 A B.例如,N Z Q R.不含任何元素的集合称为空集,记作.规定空集是任何集合的子集.2.集合的运算 设 A、B 是两个集合,由所有属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B的并集(简称并),记作 AB,即 ABx|xA 或 xB.设 A、B 是两个集合,由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B的交集(简称交),记作 AB,即 ABx|xA 且 xB.设 A、B 是两个集合,由所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B的差集(简称差),记作 AB,即 ABx|xA 且 xB.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合 I 中进行,所研究的其他集合 A都是 I 的子集.此时,我们称集合 I 为全集或基本集.称 IA 为 A 的余集或补集,记作 AC.集合运算的法则:设 A、B、C 为任意三个集合,则 (1)交换律 ABBA,ABBA;(2)结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)对偶律(AB)CAC BC,(AB)CAC BC.(AB)CAC BC 的证明:x(AB)CxABxA 且 xBxA C 且 xBC xAC BC,所以(AB)CAC BC.直积(笛卡儿乘积):设 A、B 是任意两个集合,在集合 A 中任意取一个元素 x,在集合 B 中任意取一个元素 y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的直积,记为 AB,即 AB(x,y)|xA 且 yB.例如,RR(x,y)|xR 且 yR 即为 xOy 面上全体点的集合,RR 常记作 R2.3.区间和邻域 有限区间:设 ab,称数集x|axb为开区间,记为(a,b),即 (a,b)x|axb.类似地有 a,b x|a xb 称为闭区间,a,b)x|axb、(a,b x|axb 称为半开区间.其中 a 和 b 称为区间(a,b)、a,b、a,b)、(a,b的端点,ba 称为区间的长度.无限区间:a,)x|ax,(,b x|x b ,(,)x|x|.区间在数轴上的表示:邻域:以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域,记作 U(a).设是一正数,则称开区间(a,a)为点 a 的邻域,记作 U(a,),即 U(a,)x|a x a x|xa|.其中点 a 称为邻域的中心,称为邻域的半径.去心邻域 (a,):(a,)x|0|xa|1 时,y1x.例如 ;f(3)134.2.函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数 f(x)的定义域为 D,数集 XD.如果存在数 K1,使对任一 xX,有f(x)K1,则称函数 f(x)在 X 上有上界,而称 K1 为函数 f(x)在 X 上的一个上界.图形特点是 yf(x)的图形在直线 yK1 的下方.如果存在数 K2,使对任一 xX,有 f(x)K2,则称函数 f(x)在 X 上有下界,而称 K2 为函数 f(x)在 X 上的一个下界.图形特点是,函数 yf(x)的图形在直线 yK2的上方.如果存在正数 M,使对任一 xX,有|f(x)|M,则称函数 f(x)在 X 上有界;如果这样的 M 不存在,则称函数 f(x)在 X 上无界.图形特点是,函数 yf(x)的图形在直线 y?M 和 y M 的之间.函数 f(x)无界,就是说对任何 M,总存在 x1X,使|f(x)|M.例如 (1)f(x)sin x 在(,)上是有界的:|sin x|1.(2)函数 在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界,无上界.这是因为,对于任一 M1,总有 x1:?,使 ,所以函数无上界.函数 在(1,2)内是有界的.(2)函数的单调性 设函数 y f(x)的定义域为 D,区间 I D.如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2,当 x1x2 时,恒有 f(x1)f(x2),则称函数 f(x)在区间 I 上是单调增加的.如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2,当 x1 f(x2),则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.函数单调性举例:函数 y x2 在区间(,0上是单调增加的,在区间0,)上是单调减少的,在（,）上不是单调的.(3)函数的奇偶性 设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称(即若 xD,则 xD).如果对于任一 xD,有 f(x)f(x),则称 f(x)为偶函数.如果对于任一 xD,有 f(x)f(x),则称 f(x)为奇函数.偶函数的图形关于 y 轴对称,奇函数的图形关于原点对称,奇偶函数举例:yx2,ycos x 都是偶函数.yx3,ysin x 都是奇函数,ysin xcos x 是非奇非偶函数.(4)函数的周期性 设函数 f(x)的定义域为 D.如果存在一个正数 l,使得对于任一 xD 有(xl)D,且 f(xl)f(x)则称 f(x)为周期函数,l 称为 f(x)的周期.周期函数的图形特点:在函数的定义域内,每个长度为 l 的区间上,函数的图形有相同的形状.3反函数与复合函数 反函数:设函数 f:Df(D)是单射,则它存在逆映射 f 1:f(D)D,称此映射 f 1 为函数 f 的反函数.按此定义,对每个 yf(D),有唯一的 xD,使得 f(x)y,于是有 f 1(y)x.这就是说,反函数 f 1 的对应法则是完全由函数 f 的对应法则所确定的.一般地,yf(x),xD 的反函数记成 yf 1(x),xf(D).若 f 是定义在 D 上的单调函数,则 f:Df(D)是单射,于是 f 的反函数 f 1必定存在,而且容易证明 f 1 也是 f(D)上的单调函数.相对于反函数 yf 1(x)来说,原来的函数 yf(x)称为直接函数.把函数 yf(x)和它的反函数 yf 1(x)的图形画在同一坐标平面上,这两个图形关于直线 yx 是对称的.这是因为如果 P(a,b)是 yf(x)图形上的点,则有 bf(a).按反函数的定义,有 af 1(b),故 Q(b,a)是 yf 1(x)图形上的点;反之,若 Q(b,a)是 yf 1(x)图形上的点,则 P(a,b)是 yf(x)图形上的点.而 P(a,b)与 Q(b,a)是关于直线 yx 对称的.复合函数:复合函数是复合映射的一种特例,按照通常函数的记号,复合函数的概念可如下表述.设函数 yf(u)的定义域为 D 1,函数 ug(x)在 D 上有定义且 g(D)D 1,则由下式确定的函数 yfg(x),xD 称为由函数 ug(x)和函数 yf(u)构成的复合函数,它的定义域为 D,变量 u 称为中间变量.函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为 ,即 ()fg(x).与复合映射一样,g 与 f 构成的复合函数 的条件是:是函数 g 在 D 上的值域 g(D)必须含在 f 的定义域 D f 内,即 g(D)D f.否则,不能构成复合函数.例如,yf(u)arcsin u,的定义域为1,1,在 上有定义,且 g(D)1,1,则 g 与 f 可构成复合函数 ,xD;但函数 yarcsin u 和函数 u2x2 不能构成复合函数,这是因为对任 xR,u2x2均不在 yarcsin u 的定义域1,1内.多个函数的复合:4.函数的运算 设函数 f(x),g(x)的定义域依次为 D 1,D 2,DD 1D 2,则我们可以定义这两个函数的下列运算:和(差)f g:(f g)(x)f(x)g(x),xD;积 f g:(f g)(x)f(x)g(x),xD;商 :,xDx|g(x)0.例 11 设函数 f(x)的定义域为(l,l),证明必存在(l,l)上的偶函数 g(x)及奇函数 h(x),使得 f(x)g(x)h(x).分析 如果 f(x)g(x)h(x),则 f(x)g(x)h(x),于是 ,.证 作 ,则 f(x)g(x)h(x),且 ,.5.初等函数 基本初等函数:幂函数:yx(R 是常数);指数函数:ya x(a0 且 a1);对数函数:yloga x(a0 且 a1,特别当 ae 时,记为 yln x);三角函数:ysin x,ycos x,ytan x,ycot x,ysec x,ycsc x;反三角函数:yarcsin x,yarccos x,yarctan x,yarccot x.初等函数:由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例如 ,ysin2x,等都是初等函数.双曲函数:双曲正弦:;双曲余弦:;双曲正切:.双曲函数的性质:sh(xy)sh xch ych xsh y;ch(xy)ch xch ysh xsh y.ch2xsh2x1;sh2x2sh xch x;ch2xch2xsh2x.下面证明 sh(xy)sh xch ych xsh y:.反双曲函数:双曲函数 ysh x,ych x(x0),yth x 的反函数依次为 反双曲正弦:yarsh x;反双曲余弦:yarch x;反双曲正切:yarth x.反双曲函数的表示达式:yarsh x 是 xsh y 的反函数,因此,从 中解出 y 来便是 arsh x.令 ue y,则由上式有 u 22x u10.这是关于 u 的一个二次方程,它的根为 .因为 ue y0,故上式根号前应取正号,于是 .由于 yln u,故得 .函数 yarsh x 的定义域为(,),它是奇函数,在区间(,)内为单调增加的.类似地可得 ,.1 2 数列的极限 一个实际问题 如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆 首先作内接正四边形 它的面积记为 A1；再作内接正八边形 它的面积记为 A2；再作内接正十六边形 它的面积记为 A3；如此下去 每次边数加倍 一般把内接正 82n1 边形的面积记为 An 这样就得到一系列内接正多边形的面积 A1 A2 A3 An 设想 n 无限增大（记为 n 读作 n 趋于穷大）即内接正多边形的边数无限增加 在这个过程中 内接正多边形无限接近于圆 同时 An 也无限接近于某一确定的数值 这个确定的数值就理解为圆的面积 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列）A1 A2 A3 An 当 n 时的极限 数列的概念如果按照某一法则 使得对任何一个正整数 n 有一个确定的数 xn 则得到一列有次序的数 x1 x2 x3 xn 这一列有次序的数就叫做数列 记为xn 其中第 n 项 xn 叫做数列的一般项 数列的例子 2n 2 4 8 2n (1)n1 1 1 1(1)n1 2 它们的一般项依次为 2n (1)n1 数列的几何意义数列xn可以看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上的点x1 x2 x3 xn 数列与函数数列xn可以看作自变量为正整数 n 的函数 xnf(n)它的定义域是全体正整数 数列的极限 数列的极限的通俗定义：对于数列xn 如果当 n 无限增大时 数列的一般项xn 无限地接近于某一确定的数值 a 则称常数 a 是数列xn的极限 或称数列xn收敛 a 记为 如果数列没有极限 就说数列是发散的 例如 而2n (1)n1 是发散的 对无限接近的刻划 xn 无限接近于 a 等价于|xna|无限接近于 0 极限的精确定义 定义 如果数列xn与常 a 有下列关系对于任意给定的正数 (不论它多么小)总存在正整数 N 使得对于 n N 时的一切 xn 不等式|xna|0 要使|xn1|只要 即 证明 因为 0,N 当 nN 时 有|xn1|所以 例 2 证明 分析|xn0|对于 0 要使|xn0|只要 即 证明 因为 0 N 当 nN 时 有|xn0|所以 例 3 设|q|0 要使|x n0|qn10|q|n1log|q|1 就可以了 故可取 Nlog|q|1。证明 因为对于任意给定的 0 存在 N log|q|1 当 nN 时 有|qn10|q|n1 所以 收敛数列的性质 定理 1(极限的唯一性)数列xn不能收敛于两个不同的极限 证明 假设同时有 及 且 a0 存在充分大的正整数 N 使当 nN 时 同时有|xna|及|xnb|N 时的一切 xn 不等式|xna|N 时|xn|(xn a)a|xna|a|0 N N+当 nN 时 有|xna|取 KN 则当 kK 时 nkkKN 于是|a|这就证明了 讨论 1 对于某一正数 0 如果存在正整数 N 使得当 nN 时 有|xna|0 是否有xn a(n)2 如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界 发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?3 数列的子数列如果发散 原数列是否发散?数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？4如何判断数列 1 1 1 1(1)N1 是发散的？1 3 函数的极限 一、函数极限的定义 函数的自变量有几种不同的变化趋势 x 无限接近 x0 xx0 x 从 x0 的左侧(即小于 x0)无限接近 x0 xx0 x 从 x0 的右侧(即大于 x0)无限接近 x0 xx0 x 的绝对值|x|无限增大 x x 小于零且绝对值|x|无限增大 x x 大于零且绝对值|x|无限增大 x 1自变量趋于有限值时函数的极限 通俗定义 如果当 x 无限接近于 x0 函数 f(x)的值无限接近于常数 A 则称当 x 趋于 x0 时 f(x)以 A 为极限 记作 f(x)=A 或 f(x)A(当 x )分析 在 xx0 的过程中 f(x)无限接近于 A 就是|f(x)A|能任意小 或者说 在x 与 x0 接近到一定程度(比如|xx0|为某一正数)时|f(x)A|可以小于任意给定的(小的)正数?即|f(x)A|?反之 对于任意给定的正数 如果 x 与 x0 接近到一定程度(比如|xx0|为某一正数)就有|f(x)A|则能保证当 x x0 时 f(x)无限接近于 A 定义 1 设函数 f(x)在点 x0 的某一去心邻域内有定义 如果存在常数 A 对于任意给定的正数(不论它多么小)总存在正数 使得当 x 满足不等式 0|xx0|?时 对应的函数值 f(x)都满足不等式|f(x)A|那么常数 A 就叫做函数 f(x)当 x x0 时的极限 记为 或 f(x)A(当 xx0)定义的简单表述 0 0 当 0|xx0|时|f(x)A|函数极限的几何意义:例 1 证明 证明 这里|f(x)A|cc|0 因为 0 可任取 0?当 0|xx0|?时 有|f(x)A|cc|0?,所以 例 2 证明 分析|f(x)A|xx0|因此 0 要使|f(x)A|?只要|xx0|?.证明 因为?0?当 0|xx0|?时 有|f(x)A|xx0|所以 例 3 证明 分析|f(x)A|(2x1)1|2|x1|0 要使|f(x)A|?只要 证明 因为?0/2 当 0|x1|?时 有|f(x)A|(2x1)1|2|x1|?所以 例 4 证明 分析 注意函数在 x1 是没有定义的 但这与函数在该点是否有极限并无关系 当 x1 时|f(x)A|x1|0 要使|f(x)A|只要|x1|证明 因为?0=?当 0|x1|?时 有|f(x)A|x1|?所以 单侧极限 若当 xx0 时 f(x)无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函数 f(x)当 xx0 时的左极限 记为 或 f()=A 若当 xx0 时 f(x)无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函数 f(x)当 xx0 时的右极限 记为 或 f()=A 讨论 1 左右极限的?定义如何叙述?2 当 xx0 时函数 f(x)的左右极限与当 xx0 时函数 f(x)的极限之间的关系怎样?提示 左极限的-定义：0 0 x x0 xx0 有|f(x)A|?0 0 x x0 xx0 有|f(x)A|X 时 对应的函数数值 f(x)都满足不等式|f(x)A|则常数 A 叫做函数 f(x)当 x 时的极限 记为 或 f(x)A(x)0 X0 当|x|X 时 有|f(x)A|类似地可定义 和 结论 且 极限 的定义的几何意义 例 6 证明 分析 0 要使|f(x)A|只要 证明 因为?0 当|x|X 时 有 所以 直线 y0 是函数 的水平渐近线 一般地 如果 则直线 yc 称为函数 yf(x)的图形的水平渐近线 二、函数极限的性质 定理 1(函数极限的唯一性)如果极限 存在 那么这极限唯一 定理 2(函数极限的局部有界性)如果 f(x)A(xx0)那么存在常数 M0 和 使得当 0|xx0|时 有|f(x)|M 证明 因为 f(x)A(xx0)所以对于 1 0 当 0|xx0|时 有|f(x)A|1 于是|f(x)|f(x)AA|f(x)A|A|1|A|这就证明了在 x0 的去心邻域x|0|xx0|内 f(x)是有界的 定理 3(函数极限的局部保号性)如果 f(x)A(xx0)而且 A0(或 A0)那么存在常数 0 使当 0|xx0|时 有f(x)0(或 f(x)0)证明:?就 A0 的情形证明 因为 所以对于 0 当 0|xx0|?时 有 0 定理 3 如果 f(x)A(xx0)(A0)那么存在点 x0 的某一去心邻域 在该邻域内 有 推论 如果在 x0 的某一去心邻域内 f(x)0(或 f(x)0)而且 f(x)A(xx0)那么A0(或 A0)证明 设 f(x)0 假设上述论断不成立 即设 A0 那么由定理 1 就有 x0 的某一去心邻域 在该邻域内 f(x)0 这与 f(x)0 的假定矛盾 所以 A0 定理 4(函数极限与数列极限的关系)如果当 xx0 时 f(x)的极限存在 xn为 f(x)的定义域内任一收敛于 x0 的数列 且满足 xn x0(nN)那么相应的函数值数列f(x n)必收敛 且 证明 设 f(x)A(xx0)则 0 0 当 0|xx0|?时 有|f(x)A|又因为 xnx0(n)故对 0 NN 当 nN 时 有|xnx0|由假设 xn x0(nN)故当 nN 时 0|x nx 0|从而|f(x n)A|即 1 4 无穷小与无穷大 一、无穷小 如果函数 f(x)当 xx0(或 x)时的极限为零 那么称函数 f(x)为当 xx0(或 x)时的无穷小 特别地 以零为极限的数列xn称为 n 时的无穷小 例如 因为 所以函数 为当 x 时的无穷小 因为 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小 因为 所以数列 为当 n 时的无穷小 讨论 很小很小的数是否是无穷小？0 是否为无穷小？提示 无穷小是这样的函数 在 xx0(或 x)的过程中 极限为零 很小很小的数只要它不是零 作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 不会为零 无穷小与函数极限的关系 定理 1 在自变量的同一变化过程 xx0(或 x)中 函数 f(x)具有极限 A 的充分必要条件是 f(x)A 其中是无穷小 证明 设 0?0 使当 0|xx0|?时 有|f(x)A|令 f(x)A 则是 xx0 时的无穷小 且 f(x)A 这就证明了 f(x)等于它的极限 A 与一个无穷小之和 反之 设 f(x)A 其中 A 是常数 是 xx0 时的无穷小 于是|f(x)A|因是 xx0 时的无穷小 0?0 使当 0|xx0|?有|或|f(x)A|?这就证明了 A 是 f(x)当?xx0 时的极限 简要证明 令 f(x)A 则|f(x)A|如果 0?0 使当 0|xx0|?有 f(x)A|?就有|反之如果 0?0 使当 0|xx0|?有|就有f(x)A|这就证明了如果 A 是 f(x)当?xx0 时的极限 则是 xx0 时的无穷小 如果是xx0 时的无穷小 则 A 是 f(x)当?xx0 时的极限 类似地可证明 x 时的情形 例如 因为 而 所以 二、无穷大 如果当 xx0(或 x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大 就称函数 f(x)为当 xx0(或 x)时的无穷大 记为 (或 )应注意的问题 当 xx0(或 x)时为无穷大的函数 f(x)按函数极限定义来说 极限是不存在的 但为了便于叙述函数的这一性态 我们也说“函数的极限是无穷大”并记作 (或 )讨论 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?提示 M0?0 当 0|x|?时 有|f(x)|M 正无穷大与负无穷大 例 2 证明 证 因为 M0 当 0|x1|时 有 所以 提示 要使 只要 铅直渐近线 如果 则称直线 是函数 yf(x)的图形的铅直渐近线 例如 直线 x1 是函数 的图形的铅直渐近线 定理 2(无穷大与无穷小之间的关系)在自变量的同一变化过程中 如果 f(x)为无穷大 则 为无穷小 反之 如果 f(x)为无穷小 且 f(x)0 则 为无穷大 简要证明 如果 且 f(x)0 那么对于 0 当 0|x|?时 有 由于当 0|x|?时 f(x)0 从而 所以 为 xx0 时的无穷大 如果 那么对于 0 当 0|x|?时 有 即 所以为 xx 时的无穷小 简要证明 如果 f(x)0(xx0)且 f(x)0 则 0?0 当 0|x x0|?时 有|f(x)|即 所以 f(x)(xx0)如果 f(x)(xx0)则 M0?0 当 0|x x0|?时 有|f(x)|M 即 所以 f(x)0(xx0)1 6 极限运算法则 定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 例如 当 x0 时 x 与 sin x 都是无穷小 xsin x 也是无穷小 简要证明 设及是当 xx0 时的两个无穷小 则 0 10 及 20 使当 0|xx0|1?时 有|当 0|xx0|2?时 有|取 min1 2 则当 0|xx0|时 有|2 这说明?也是无穷小 证明 考虑两个无穷小的和 设及 是当 xx0 时的两个无穷小 而?任意给定的 0 因为 是当 xx0 时的无穷小 对于 0 存在着 10 当 0|xx0|1 时 不等式|成立 因为?是当 xx0 时的无穷小 对于 0 存在着 20 当 0|xx0|2 时 不等式|成立 取 min1 2 则当 0|xx0|?时?|及|同时成立 从而|这就证时了 也是当 xx0 时的无穷小 定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 简要证明 设函数 u 在 x0 的某一去心邻域x|0|xx0|1内有界 即 M0 使当0|xx0|1 时 有|u|M 又设 是当 xx0 时的无穷小 即 0 存在 2 0 使当 0|xx0|?2 时 有|取 min1 2 则当 0|xx0|?时?有|u|M 这说明 u?也是无穷小 例如 当 x 时 是无穷小 arctan x 是有界函数 所以 arctan x 也是无穷小 推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 定理 3 如果 lim f(x)A lim g(x)B 那么 (1)lim f(x)g(x)lim f(x)lim g(x)A B (2)lim f(x)g(x)lim f(x)lim g(x)AB (3)(B0)证明(1)因为 lim f(x)A lim g(x)B 根据极限与无穷小的关系 有 f(x)A g(x)B 其中及 为无穷小 于是 f(x)g(x)(A?)(B?)?(A B)?(?)即 f(x)g(x)可表示为常数(A B)与无穷小(?)之和 因此 lim f(x)g(x)?lim f(x)lim g(x)?A B 推论 1 如果 lim f(x)存在 而 c 为常数 则 lim c f(x)c lim f(x)推论 2 如果 lim f(x)存在 而 n 是正整数 则 lim f(x)n lim f(x)n 定理 4 设有数列xn 和yn 如果 那么 (1)(2)(3)当 (n1 2)且 B0 时 定理 5 如果?(x)(x)而 lim?(x)a lim(x)b 那么 ab 例 1 求 解 讨论 若 则 提示 a0 x0na1x0n1 anP(x0)若 则 例 2 求 解 提问 如下写法是否正确？例 3 求 解 例 4 求 解 根据无穷大与无穷小的关系得 提问 如下写法是否正确？讨论 有理函数的极限 提示:当 时 当 且 时 当 Q(x0)P(x0)0 时 先将分子分母的公因式(xx0)约去 例 5.求 解 先用 x3 去除分子及分母 然后取极限 例 6.求 解 先用 x3 去除分子及分母 然后取极限 例 7 求 解 因为 所以 讨论 有理函数的极限 提示:.例 8 求 解 当 x 时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 因为 是无穷小与有界函数的乘积 所以 定理 8(复合函数的极限运算法则)设函数 yfg(x)是由函数 yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点 x0 的某去心邻域内有定义 若 且在 x0 的某去心邻域内 g(x)u 0 则 定理 8(复合函数的极限运算法则)设函数 yfg(x)是由函数 yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点 x0 的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在 x0 的某去心邻域内 g(x)u0 则 简要证明 设在x|0|xx0|0内 g(x)u0 要证 0 0 当 0|xx0|时 有|fg(x)A|因为 f(u)A(uu0)所以 0 0 当 0|uu0|时 有|f(u)A|又 g(x)u0(xx0)所以对上述 0 10 当 0|xx0|1 时 有|g(x)u0|取 min0 1 则当 0|xx0|时 0|g(x)u0|从而|fg(x)A|f(u)A|注 把定理中 换成 或 而把 换成 可类似结果 把定理中 g(x)u0(xx0)换成 g(x)(xx0)或 g(x)(x)?而把 f(u)A(uu0)换成 f(u)A(u)可类似结果 例如 例 9 求 解?是由 与 复合而成的 因为 所以 1 7 极限存在准则 两个重要极限 准则 I 如果数列xn、yn及zn满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3)(2)那么数列xn 的极限存在 且 证明 因为 以根据数列极限的定义 0 N 10 当 nN 1 时 有|y n-a|又 N 20 当 nN 2 时 有|z n-a|现取 N=maxN 1 N 2 则当 nN 时 有|y n-a|z n-a|?同时成立 即 a-yna+a-z na+同时成立 又因 ynxnzn 所以当 nN 时 有 a-ynx nz na+即|x n-a|这就证明了 简要证明 由条件(2)0 N 0 当 nN 时 有|y n-a|及|z n-a|即有 a-yna+a-z na+由条件(1)有 a-y nx nz na+即|x n-a|这就证明了 准则 I 如果函数 f(x)、g(x)及 h(x)满足下列条件 (1)g(x)f(x)h(x)(2)lim g(x)A lim h(x)A 那么 lim f(x)存在 且 lim f(x)A 注 如果上述极限过程是 xx0 要求函数在 x0 的某一去心邻域内有定义 上述极限过程是 x 要求函数当|x|M 时有定义 准则 I 及准则 I 称为夹逼准则 下面根据准则 I 证明第一个重要极限 证明 首先注意到 函数 对于一切 x0 都有定义 参看附图 图中的圆为单位圆 BCOA DAOA 圆心角 AOB=x(0 x )显然 sin x=CB x=tan x=AD 因为 SAOBS 扇形 AOBSAOD 所以 sin x x tan x 即 sin xxtan x 不等号各边都除以 sin x 就有 或 注意此不等式当-x0 时也成立 而 根据准则 I 简要证明 参看附图 设圆心角 AOB=x()显然 BC AB AD 因此 sin x x tan x 从而 (此不等式当 x0 时也成立)因为 根据准则 I 应注意的问题 在极限 中 只要(x)是无穷小 就有 这是因为 令 u=(x)则 u 0 于是 ,(x)0).例 1 求 解 例 2 求 解 =准则 II 单调有界数列必有极限 如果数列x n满足条件 x 1x 2x 3 x nx n+1 就称数列x n是单调增加的 如果数列x n满足条件 x 1x 2x 3 x nx n+1 就称数列x n是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 如果数列x n满足条件 x nx n+1 nN 在第三节中曾证明 收敛的数列一定有界 但那时也曾指出 有界的数列不一定收敛 现在准则 II 表明 如果数列不仅有界 并且是单调的 那么这数列的极限必定存在 也就是这数列一定收敛 准则 II 的几何解释 单调增加数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点 A 而对有界数列只可能后者情况发生 根据准则 II 可以证明极限 存在 设 ,现证明数列xn是单调有界的 按牛顿二项公式 有 比较 x n x n1 的展开式 可以看出除前两项外 x n 的每一项都小于 x n1的对应项 并且 x n1 还多了最后一项 其值大于 0 因此 x n x n1 这就是说数列xn是单调有界的 这个数列同时还是有界的 因为 xn 的展开式中各项括号内的数用较大的数 1代替 得 根据准则 II 数列xn必有极限 这个极限我们用 e 来表示 即 我们还可以证明 e 是个无理数 它的值是 e=2 指数函数 y=e x 以及对数函数 y=ln x 中的底 e 就是这个常数 在极限 中 只要(x)是无穷小 就有 这是因为 令 则 u 于是 (x)0)例 3 求 解 令 t=-x 则 x 时 t 于是 或 1 8 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 变量的增量 设变量 u 从它的一个初值 u1 变到终值 u2 终值与初值的差 u2-u1 就叫做变量u 的增量 记作?u 即?u=u2-u1 设函数 y=f(x)在点 x0 的某一个邻域内是有定义的 当自变量 x 在这邻域内从x0 变到 x0+?x 时 函数 y 相应地从 f(x0)变到 f(x0+?x)因此函数 y 的对应增量为 y=f(x0+x)-f(x0)函数连续的定义 设函数 y=f(x)在点 x0 的某一个邻域内有定义 如果当自变量的增量?x=x-x0 趋于零时 对应的函数的增量?y=f(x0+?x)-f(x0)也趋于零 即 或 那么就称函数 y=f(x)在点 x0 处连续 注 设 x=x0+?x 则当?x0 时 xx0 因此 函数连续的等价定义 2 设函数 y=f(x)在点 x0 的某一个邻域内有定义 如果对于任意给定义 的正数 总存在着正数 使得对于适合不等式|x-x0|的一切 x 对应的函数值 f(x)都满足不等式|f(x)-f(x0)|那么就称函数 y=f(x)在点 x0 处连续 左右连续性 如果 则称 y=f(x)在点 处左连续 如果 则称 y=f(x)在点 处右连续 左右连续与连续的关系 函数 y=f(x)在点 x0 处连续函数 y=f(x)在点 x0 处左连续且右连续 函数在区间上的连续性 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 连续函数举例 1 如果 f(x)是多项式函数 则函数 f(x)在区间(-+)内是连续的 这是因为 f(x)在(-+)内任意一点 x0 处有定义 且 .2 函数 在区间0+)内是连续的 3 函数 y=sin x 在区间(-+)内是连续的 证明 设 x 为区间(-+)内任意一点 则有 ysin(xx)sin x 因为当?x0 时y是无穷小与有界函数的乘积?所以 这就证明了函数 y=sin x 在区间(-+)内任意一点 x 都是连续的 4 函数 y=cos x 在区间(-+)内是连续的 二、函数的间断点 间断定义 设函数 f(x)在点 x0 的某去心邻域内有定义 在此前提下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一 (1)在 x0 没有定义 (2)虽然在 x0 有定义 但 f(x)不存在 (3)虽然在 x0 有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0)则函数 f(x)在点 x0 为不连续 而点 x0 称为函数 f(x)的不连续点或间断点 例 1 正切函数 y=tan x 在 处没有定义 所以点 是函数 tan x 的间断点 因为 故称 为函数 tan x 的无穷间断点 例 2 函数 在点 x=0 没有定义 所以点 x=0 是函数 的间断点 当 x0 时 函数值在-1 与+1 之间变动无限多次 所以点 x=0 称为函数 的振荡间断点 例 3 函数 在 x=1 没有定义 所以点 x=1 是函数的间断点 因为 如果补充定义 令 x=1 时 y=2 则所给函数在 x=1 成为连续 所以 x=1 称为该函数的可去间断点 例 4 设函数 因为 所以 x=1 是函数 f(x)的间断点 如果改变函数 f(x)在 x=1 处的定义令 f(1)=1 则函数 f(x)在 x=1 成为连续 所以 x=1 也称为该函数的可去间断点 例 5 设函数 因为 ,所以极限 不存在 x0 是函数 f(x)的间断点 因函数 f(x)的图形在 x=0 处产生跳跃现象 我们称 x=0 为函数 f(x)的跳跃间断点 间断点的分类:通常把间断点分成两类如果 x0 是函数 f(x)的间断点 但左极限 f(x0-0)及右极限 f(x0+0)都存在 那么 x0 称为函数 f(x)的第一类间断点 不是第一类间断点的任何间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点 19 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的和、积及商的连续性 定理 1 设函