2020高考数学(理科)历年高考题汇总专题复习：第七章立体几何(含两年高考一年模拟).pdf

第七章 立体几何 考点 22 空间几何体的结构、三视图、几何体的表面积与体积 两年高考真题演练 1.(2019山东)在梯形 ABCD 中，ABC2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.23 B.43 C.53 D2 2(2019浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A8 cm3 B12 cm3 C.323 cm3 D.403 cm3 3(2019北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2 5 B4 5 C22 5 D5 4(2018福建)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱柱 5(2018江西)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()6(2018安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A21 3 B18 3 C21 D18 7(2018陕西)将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3 C2 D 8(2018湖北)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也 又以高乘之，三十六成一 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么，近似公式 V275L2h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.227 B.258 C.15750 D.355113 9(2019江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_ 10(2018山东)三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1，PABC 的体积为 V2，则V1V2_ 考点 22 空间几何体的结构、三视图、几何体的表面积与体积 一年模拟试题精练 1(2019山东莱芜模拟)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是()A2 B.92 C.32 D3 2(2019山东省实验中学模拟)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.23 B83 C82 D.823 3(2019河南天一大联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A12 B8 C12 D6 4(2019湖北七州模拟)某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为 2 的半圆)，则该几何体的表面积为()A9224 B8224 C9214 D8214 5(2019安徽安庆模拟)一个正方体的棱长为 m，表面积为 n，一个球的半径为 p，表面积为 q.若mp2，则nq()A.8 B.6 C.6 D.8 6(2019福建龙岩模拟)如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是()A.33 B.32 C.3 7 D.3 71 7(2019福建莆田模拟)某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则其侧视图的面积是()A.12 B.32 C1 D.3 8(2019广东中山模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)为_ 考点 23 点、线、平面之间的位置关系 两年高考真题演练 1.(2019安徽)已知 m，n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则 与 平行 B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C若，不平行，则在 内不存在与 平行的直线 D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 2(2019福建)若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面，则“lm”是“l”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3(2019浙江)如图，已知ABC，D 是 AB 的中点，沿直线 CD 将ACD 翻折成ACD，所成二面角 ACDB 的平面角为，则()AADB BADB CACB DACB 4(2019广东)若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值()A大于 5 B等于 5 C至多等于 4 D至多等于 3 5(2018辽宁)已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 m，mn，则 n D若 m，mn，则 n 6(2018浙江)设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则正确的结论是()A若 mn，n，则 m B若 m，则 m C若 m，n，n，则 m D若 mn，n，则 m 7(2018广东)在空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4 Bl1l4 Cl1与 l4既不垂直也不平行 Dl1与 l4的位置关系不确定 8(2018课标全国)直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为()A.110 B.25 C.3010 D.22 9(2019浙江)如图 ，三棱锥 ABCD 中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N 分别是 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是_ 10(2019四川)如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E、F 分别为 AB、BC 的中点设异面直线 EM 与 AF 所成的角为，则 cos 的最大值为_ 考点 23 点、线、平面之间的位置关系 一年模拟试题精练 1(2019山东泰安模拟)已知 m，n 为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是()Am，nmn Bm，nmn Cm，n，nm Dn，n 2(2019山东省实验中学模拟)对于不重合的两个平面 与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；内有不共线的三点到 的距离相等；存在异面直线 l、m，使得 l，l，m，m，其中，可以判定 与 平行的条件有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3(2019安徽安庆模拟)b、c 表示两条不重合的直线，、表示两个不重合的平面，下列命题中正确的是()A.cbcb B.cc C.cc D.bccb 4(2019湖南怀化一模)设 m，n，是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：m，n，则 mn；若，则；若，m，则 m；若 m，n，mn，则.其中正确命题的序号是()A和 B和 C和 D和 5(2019福建厦门模拟)长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2AD，G 为 CC1中点，则直线 A1C1与 BG 所成角的大小是()A30 B45 C60 D90 6(2019福建泉州模拟)设 a，b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A存在唯一直线 l，使得 la，且 lb B存在唯一直线 l，使得 l a，且 lb C存在唯一平面，使得 a，且 b D存在唯一平面 ，使得 a，且 b 7(2019四川成都高三摸底)已知 a，b 是两条不同直线，是一个平面，则下列说法正确的是()A若 ab，b，则 a B若 a，b，则 ab C若 a，b，则 ab D若 ab，b，则 a 8(2019浙江温州十校期末联考)已知，是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，则下列命题不正确的是()A若 mn，m，则 n B若 m，n，则 mn C若 m，m，则 D若 m，m，则 9(2019河北衡水模拟)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为 3的正三角形若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为()A.512 B.3 C.4 D.6 10(2019东北三省三校模拟)P 为正方体 ABCDA1B1C1D1对角线 BD1上的一点，且 BPBD1(0，1)下面结论：A1DC1P；若 BD1平面 PAC，则 13；若PAC 为钝角三角形，则 0，12；若 23，1，则PAC 为锐角三角形 其中正确的结论为_(写出所有正确结论的序号)11(2019安徽黄山模拟)一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 P，如果：将容器倒置，水面也恰好过点 P 有下列四个命题：正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；若往容器内再注 a升水，则容器恰好能装满；将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点 P；任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 P.其中正确命题的序号为_(写出所有正确命题的序号)考点 24 平行关系、垂直关系 两年高考真题演练 1.(2019新课标全国)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中 AB16，BC10，AA18，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 2(2019湖南)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 BC，CC1的中点(1)证明：平面 AEF平面 B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积 3(2019江苏)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ACBC，BCCC1.设 AB1的中点为 D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面 AA1C1C；(2)BC1AB1.4(2018四川)在如图所示的多面体中，四边形 ABB1A1和 ACC1A1都为矩形(1)若 ACBC，证明：直线 BC平面 ACC1A1；(2)设 D，E 分别是线段 BC，CC1的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE平面 A1MC？请证明你的结论 考点 24 平行关系、垂直关系 一年模拟试题精练 1(2019四川德阳模拟)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是棱 DD1、C1D1的中点(1)求直线 BE 和平面 ABB1A1所成角 的正弦值；(2)证明：B1F平面 A1BE.2(2019江西红色六校模拟)如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PAD 是正三角形，平面 PAD平面 ABCD，E，F，G 分别是 PD，PC，BC 的中点(1)求证：平面 EFG平面 PAD；(2)若 M 是线段 CD 上一点，求三棱锥 MEFG 的体积 3(2019安徽黄山模拟)如图所示，在正方体 ABCDABCD中，棱 AB，BB，BC，CD的中点分别是 E，F，G，H.(1)求证：AD平面 EFG；(2)求证：AC平面 EFG：(3)判断点 A，D，H，F 是否共面？并说明理由 4(2019湖北八市模拟)如图，ABCA1B1C1是底面边长为 2，高为32的正三棱柱，经过AB 的截面与上底面相交于 PQ，设 C1PC1A1(01)(1)证明：PQA1B1；(2)是否存在，使得平面 CPQ截面 APQB？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由 考点 25 空间向量与立体几何 两年高考真题演练 1(2019天津)如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 A1A底面 ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD 5，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D的中点(1)求证：MN平面 ABCD；(2)求二面角 D1ACB1的正弦值；(3)设 E 为棱 A1B1上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为13，求线段 A1E 的长 2.(2019湖北)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 如图，在阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCD，过棱 PC 的中点 E，作 EFPB 交 PB 于点 F，连接 DE、DF、BD、BE.(1)证明：PB平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑 若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为3，求DCBC的值 3(2018江西)如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD.(1)求证：ABPD；(2)若BPC90，PB 2，PC2，问 AB 为何值时，四棱锥PABCD 的体积最大？并求此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值 考点 25 空间向量与立体几何 一年模拟试题精练 1(2019福建厦门模拟)已知等边三角形 PAB 的边长为 2，四边形 ABCD 为矩形，AD4，平面 PAB平面 ABCD，E，F，G 分别是线段 AB，CD，PD 上的点 (1)如图(1)，若 G 为线段 PD 的中点，BEDF23，证明：PB平面 EFG；(2)如图(2)，若 E,F 分别为线段 AB，CD 的中点，DG 2GP，试问：矩形 ABCD 内(包括边界)能否找到点 H，使之同时满足下列两个条件，并说明理由()点 H 到点 F 的距离与点 H 到直线 AB 的距离之差大于 4；()GHPD.2(2019广东六校联盟模拟)如图，将长为 4，宽为 1 的长方形折叠成长方体 ABCDA1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边 ABt，(0t2)，连接 A1B，A1C，A1D.(1)当长方体 ABCDA1B1C1D1的体积最大时，求二面角 BA1CD 的值；(2)线段 A1C 上是否存在一点 P，使得 A1C平面 BPD，若有，求出 P 点的位置，没有请说明理由 3(2019山东潍坊一模)如图，已知平行四边形 ABCD 与直角梯形 ABEF 所在的平面互相垂直，其中 BEAF，ABAF，ABBE12AF，BC 2AB，CBA4，P 为 DF 的中点(1)求证：PE平面 ABCD；(2)求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角(锐角)的余弦值 4(2019湖北八市模拟)如图 1 在 RtABC 中，ABC90，D、E 分别为线段 AB、AC 的中点，AB4，BC2 2.以 DE 为折痕，将 RtADE 折起到图 2 的位置，使平面 ADE平面 DBCE，连接 AC，AB，设 F 是线段 AC 上的动点，满足CFCA.(1)证明：平面 FBE平面 ADC；(2)若二面角 FBEC 的大小为 45，求 的值 第七章 立体几何 考点 22 空间几何体的结构、三视图，几何体的表面积与体积 【两年高考真题演练】1C 如图，由题意，得 BC2，ADAB1.绕 AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体 所求体积 V12213121 53.2C 该几何体是棱长为 2 cm 的正方体与一底面边长为 2 cm的正方形，高为 2 cm 的正四棱锥组成的组合体，V22213222323(cm3)故选 C.3.C 该三棱锥的直观图如图所示：过 D 作 DEBC，交 BC 于 E，连接 AE，则 BC2，EC1，AD1，ED2，S表SBCDSACDSABDSABC 122212 5112 51122 522 5.4A 因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选 A.5B 俯视图为在水平投射面上的正投影，结合几何体可知选B.6A 由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如图所示，则 SS正方体2S三棱锥侧2S三棱锥底64231211234(2)221 3.7C 依题意，知所得几何体是一个圆柱，且其底面半径为 1，母线长也为 1，因此其侧面积为 2112，故选 C.8B 由题意可知：L2r，即 rL2，圆锥体积 V13Sh13r2h13L22h112L2h275L2h，故112275，258，故选 B.9.7 设新的底面半径为 r，由题意得13r2 4r2 813524228，解得 r 7.10.14 由题意，知 VDABEVABDEV1，VPABCVAPBCV2.因为 D，E 分别为 PB，PC 中点，所以SBDESPBC14.设点 A 到平面 PBC 的距离为 d，则V1V213SBDEd13SPBCdSBDESPBC14.【一年模拟试题精练】1D 第 1 题解析图 根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V131222x3x3.故选 D.2D 由三视图可知，几何体为正方体内挖去一个圆锥，所以该几何体的体积为 V正方体V锥2313(122)823.3C 由三视图可知，原几何体是底面边长为 2 的正方形，高为 3 的棱柱，里面挖去一个半径为 1 的球，所以所求几何体的体积为12，故选 C.第 4 题解析图 4C 该几何体是个半圆柱与长方体的组合体，直观图如右图，表面积为 S5424424525229214.5B 由题意可以得到 n6m2，q4p2，所以nq6m24p23246，故选 B.6D 根据三视图可以得到原几何体为底面的等腰直角三角形且斜边为 2 的三棱锥，所以一侧面上的斜高为72，所以侧面积为 3 7，底面积为 1，则全面积为 3 71，故选 D.7B 有三视图可以得到原几何体是以 1 为半径，母线长为 2的半圆锥，故侧视图的面积是32，故选 B.833 由三视图，该组合体上部是一个三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知 V圆柱121三棱锥垂直于底面的侧面是边长为 2 的等边三角形，且边长是 2，故其高即为三棱锥的高，高为3，故棱锥高为 3由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为 2，故两直角边长都是 2，底面三角形的面积是12 2 21,故 V棱锥131 333，故该几何体的体积是33.考点 23 点、线、平面之间的位置关系【两年高考真题演练】1D 对于 A，垂直于同一平面，关系不确定，A 错；对于 B，m，n 平行于同一平面，m，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故 B 错；对于 C，不平行，但 内能找出平行于 的直线，如 中平行于，交线的直线平行于，故 C 错；对于 D，若假设 m，n 垂直于同一平面，则 mn，其逆否命题即为 D 选项，故 D正确 2B m 垂直于平面，当 l时，也满足 lm，但直线 l 与平面 不平行，充分性不成立，反之，l，一定有 lm，必要性成立故选 B.3B 极限思想：若，则ACB，排除 D；若 0，如图，则ADB，ACB 都可以大于 0，排除 A，C.故选 B.4C 当 n3 时显然成立，故排除 A，B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得 n4 时成立，故选 C.5B 对 A：m，n 还可能异面、相交，故 A 不正确对 C：n还可能在平面 内，故 C 不正确对 D：n 还可能在 内，故 D 不正确对 B：由线面垂直的定义可知正确 6C 当 mn，n时，可能有 m，但也有可能 m 或 m，故 A 选项错误；当 m，时，可能有 m，但也有可能 m或 m，故选项 B 错误；当 m，n，n时，必有，从而 m，故选项 C 正确；在如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1中，取 m 为 B1C1，n 为 CC1，为平面 ABCD，为平面 ADD1A1，这时满足 mn，n，但 m 不成立，故选项 D 错误 7D 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，取 l1为 BC，l2为 CC1，l3为 C1D1.满足 l1l2，l2l3.若取 l4为 A1D1，则有 l1l4；若取 l4为 DD1，则有 l1l4.因此 l1与 l4的位置关系不确定，故选 D.8C 9.78 连接 DN，作 DN 的中点 O，连接 MO，OC.在AND 中 M为 AD 的中点，则 OM 綉12AN.所以异面直线 AN，CM 所成角为CMO，在ABC 中，ABAC3，BC2，则 AN2 2，OM 2.在ACD中，同理可知 CM2 2，在BCD 中，DN2 2，在 RtONC 中，ON 2，CN1OC 3.在CMO 中，由余弦定理 cosCMO|MC|2|MO|2|OC|22|MC|MO|82322 2 278.10.25 建立空间直角坐标系如图所示，设 AB1，则AF1，12，0，E12，0，0，设 M(0，y，1)(0y1)，则EM12，y，1，cos 1212y11414y21 1y524y25.设异面直线所成的角为，则 cos|cos|1y524y252 551y4y25，令 t1y，则 y1t，0y1，0t1，那么 cos|cos|2 55t4t28t92 55t24t28t9 2 55148t9t2，令 x1t，0t1，x1，那么 cos 2 55148x9x2，又z9x28x4 在1，)上单增，x1，zmin5，此时 cos 的最大值2 55152 555525.【一年模拟试题精练】1D A.因为 m，nmn或 n，所以不正确；B.m，nm 不能确定 n 与 关系，所以不正确；C.m，n，nm若两平面相交且 m，n 都平行于交线，也可以满足，所以不正确；D.直线垂直于平面，则过该直线的所有的面都与此面垂直，所以正确 故选 D.2B 平面、都垂直于平面，平面与平面可能平行，也可能相交，故错误；正确；当平面与平面相交时，在平面的两侧也存在三点到平面的距离相等，故错误；由面面平行的判定定理可知，当 l、m 移成相交直线时确定的平面与、都垂直，所以，故正确，故选 B.3C 根据直线与平面垂直的性质，可以得到 C 正确，故选 C.4A 中平面，可能相交；平面，可能相交，故选A.5C 6.C 7C A 选项中直线 a 还可能在平面 内，所以错误，B 选项直线 a 与 b 可能平行还可能异面，所以错误，C 选项由直线与平面垂直的性质可知正确，因为正确的选项只有一个，所以选 C.8B A 选项正确，因为两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条必垂直于这个平面；B 选项不正确，因为由线面平行的性质定理知，线平行于面，过线的面与已知面相交，则交线与已知线平行，由于 m 与 的位置关系不确定，故不能得出线线平行；C 选项正确，两个平面垂直于同一条直线，则此两平面必平行；D 选项正确，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 综上，B 选项不正确，故选 B.9B 如右图所示，SABC12 3 3sin 603 34，VABCA1B1C1SABCOP3 34OP94，OP 3，又 OA32 3231，tanOAPOPOA 3，由OAP0，2，得OAP3.10 以 DA，DA1，DD1分别为 x，y，z 轴建立坐标系，设正方体的棱长为 1，则 A(0，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，设 P(x，y，z)，则BD1(1，1，1)，BP(1，1，1)(x1，y1，z)，中利用PAPC0 可以得，则 xy1，z，则 P(1，1，)，是错误的，然后可以计算出正确 11 设图(1)水的高度 h2，几何体的高为 h1，底面边长为b,图(1)中水的体积为23b2h2，图(2)中水的体积为 b2h1b2h2b2(h1h2)，所以23b2h2b2(h1h2)，所以 h1 53h2，故错误；又水占容器内空间的一半，所以正确；当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，所以正确；假设正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为2536b2h223b2h2，矛盾，故不正确故答案为：.考点 24 平行关系、垂直关系【两年高考真题演练】1解(1)交线围成的正方形 EHGF 如图：(2)作 EMAB，垂足为 M，则 AMA1E4，EB112，EMAA18.因为 EHGF 为正方形，所以 EHEFBC10.于是 MH EH2EM26，AH10，HB6.因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确)2(1)证明 ABC 为正三角形，E 为 BC 中点，AEBC，又 B1B平面 ABC，AE平面 ABC，B1BAE，由 B1BBCB 知，AE平面 B1BCC1，又由 AE平面 AEF，平面 AEF平面 B1BCC1.(2)解 设 AB 中点为 M，连接 CM，则 CMAB，由平面 A1ABB1平面 ABC 且平面 A1ABB1平面 ABCAB 知，CM面 A1ABB1，CA1M 即为直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角 CA1M45，易知 CM322 3，在等腰 RtCMA 中，AMCM 3，在 RtA1AM 中，A1A A1M2AM2 2.FC12A1A22，又 SAEC1234432，V三棱锥FAEC133222612.3.证明(1)由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1的中点，因此 DEAC.又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC，所以 ACCC1.又因为 ACBC，CC1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1，BCCC1C，所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 BC1AC.因为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1是正方形，因此 BC1B1C.因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB1CC，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB1.4(1)证明 因为四边形 ABB1A1和 ACC1A1都是矩形，所以 AA1AB，AA1AC.因为 AB，AC 为平面 ABC 内两条相交直线，所以 AA1平面 ABC.因为直线 BC平面 ABC，所以 AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC 为平面 ACC1A1内两条相交直线，所以 BC平面 ACC1A1.(2)解 取线段 AB 的中点 M，连接 A1M，MC，A1C，AC1，设 O为 A1C，AC1的交点 由已知，O 为 AC1的中点 连接 MD，OE，则 MD，OE 分别为ABC，ACC1的中位线 所以，MD 綉12AC，OE 綉12AC，因此 MD 綉 OE.连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 DEMO.因为直线 DE平面 A1MC，MO平面 A1MC，所以直线 DE平面 A1MC.即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点)，使直线 DE平面A1MC.【一年模拟试题精练】1(1)解 设 G 是 AA1的中点，连接 GE，BG.E 为 DD1的中点，ABCDA1B1C1D1为正方体，GEAD，又AD平面 ABB1A1，GE平面 ABB1A1，且斜线 BE 在平面 ABB1A1内的射影为 BG，RtBEG中的EBG 是直线 BE 和平面 ABB1A1所成角，即EBG.设正方体的棱长为 a，GEa，BG52a，BE BG2GE232a，直线 BE 和平面 ABB1A1所成角 的正弦值为：sin GEBE23；(2)证明 连接 EF、AB1、C1D，记 AB1与 A1B 的交点为 H，连接EH.H 为 AB1的中点，且 B1H12C1D，B1HC1D，而 EF12C1D，EFC1D，B1HEF 且 B1HEF，四边形 B1FEH 为平行四边形，即 B1FEH，又B1F平面 A1BE 且 EH平面 A1BE，B1F平面 A1BE.2(1)证明 平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，CD平面 ABCD，CDAD，CD平面 PAD，又PCD 中，E、F 分别是 PD、PC 的中点，EFCD，可得 EF平面 PAD，EF平面 EFG，平面 EFG平面 PAD;(2)解 EFCD，EF平面 EFG，CD平面 EFG，CD平面 EFG，因此 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离，VMEFGVDEFG，取 AD 的中点 H，连接 GH、EH，则 EFGH，EF平面 PAD，EH平面 PAD，EFEH.于是 SEFH12EFEH2SEFG，平面 EFG平面 PAD，平面 EFG平面 PADEH，EHD是正三角形，点 D 到平面 EFG 的距离等于正EHD 的高，即为 3，因此，三棱锥 MEFG 的体积 VMEFGVDEFG13SEFG 32 33.3(1)证明 连接 BC，在正方体 ABCDABCD中，ABCD，ABCD.所以，四边形 ABCD是平行四边形，所以，ADBC.因为 F，G 分别是 BB，BC的中点，所以 FGBC，所以，FGAD.因为 EF，AD是异面直线，所以 AD平面 EFG.因为 FG平面 EFG，所以 AD平面 EFG.(2)证明 连接 BC，在正方体 ABCDABCD中，AB平面 BCCB，BC平面 BCCB，所以，ABBC.在正方形 BCCB中，BCBC，因为 AB平面 ABC，BC平面 ABC，ABBCB，所以，BC平面 ABC.因为 AC平面 ABC，所以，BCAC.因为 FGBC，所以，ACFG，同理可证：ACEF.因为 EF平面 EFG，FG平面 EFG，EFFGF，所以，AC平面 EFG.(3)解 点 A，D，H，F 不共面理由如下：假设 A，D，H，F 共面连接 CF，AF，HF.由(1)知，ADBC，因为 BC平面BCCB，AD平面 BCCB，所以，AD平面 BCCB.因为 CDH，所以，平面 ADHF平面 BCCBCF.因为 AD平面 ADHF，所以 ADCF.所以 CFBC，而 CF 与 BC相交，矛盾所以点 A，D，H，F 不共面 4(1)证明 由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，且截面 APQB上底面 A1B1C1PQ，截面 APQB下底面 ABCAB，由两个平面平行的性质定理可得，PQAB，又 ABA1B1，PQA1B1.(2)解 假设存在这样的 满足题设，分别取 AB 的中点 D，PQ的中点 E，连接 DE，由(1)及正三棱柱的性质可知CPQ 为等腰三角形，APQB 为等腰梯形，CEPQ，DEPQ.CED 为二面角 APQC 的平面角，连接 C1E 并延长交 A1B1于 F，由(1)得，C1PC1A1C1EC1F，C1A12，C1F 3，C1E 3，EF 3(1)，在 RtCC1E 中求得 CE23432，在 RtDFE 中求得 DE2343(1)2，若平面 CPQ截面 APQB，则CED90，CE2DE2CD2，将以上数据代入整理，得 323340，解得 12.考点 25 空间向量与立体几何【两年高考真题演练】1.如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，2，2)，又因为 M，N 分别为 B1C 和 D1D的中点，得 M1，12，1，N(1，2，1)(1)证明 依题意，可得 n(0，0，1)为平面 ABCD 的一个法向量，MN0，52，0，由此可得MNn0，又因为直线 MN平面ABCD，所以 MN平面 ABCD.(2)解 AD1(1，2，2)，AC(2，0，0)，设 n1(x，y，z)为平面 ACD1的法向量，则 n1AD10，n1AC0，即x2y2z0，2x0.不妨设 z1，可得 n1(0，1，1)设 n2(x，y，z)为平面 ACB1的法向量，则 n2AB10，n2AC0，又AB1(0，1，2)，得y2z0，2x0，不妨设 z1，可得 n2(0，2，1)因此有 cosn1，n2n1n2|n1|n2|1010，于是 sinn1，n23 1010.所以，二面角 D1ACB1的正弦值为3 1010.(3)依题意，可设A1EA1B1，其中 0，1，则 E(0，2)，从而NE(1，2，1)，又 n(0，0，1)为平面 ABCD 的一个法向量，由已知，得 cosNE，nNEn|NE|n|1（1）2（2）21213，整理得 2430，又因为 0，1，解得 72，所以，线段 A1E 的长为 72.2解 法一(1)因为 PD底面 ABCD，所以 PDBC，由底面 ABCD 为长方形，有 BCCD，而 PDCDD，所以 BC平面 PCD.而 DE平面 PCD，所以 BCDE.又因为 PDCD，点 E 是 PC 的中点，所以 DEPC.而 PCBCC，所以 DE平面 PBC.而 PB平面 PBC，所以 PBDE.又 PBEF，DEEFE，所以 PB平面 DEF.由 DE平面 PBC，PB平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)如图，在面 PBC 内，延长 BC 与 FE 交于点 G，则 DG 是平面DEF 与平面 ABCD 的交线由(1)知，PB平面 DEF，所以 PBDG.又因为 PD底面 ABCD，所以 PDDG，而 PDPBP，所以DG平面 PBD.故BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角，设 PDDC1，BC，有 BD 12，在 RtPDB 中，由 DFPB，得DPFFDB3，则 tan 3tanDPFBDPD 12 3，解得 2.所以DCBC122.故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为3时，DCBC22.法二 (1)如图，以 D 为原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x，y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系设 PDDC1，BC，则 D(0，0，0)，P(0，0，1)，B(，1，0)，C(0，1，0)，PB(，1，1)，点 E是 PC 的中点，所以 E0，12，12，DE0，12，12，于是PBDE0，即 PBDE.又已知 EFPB，而 DEEFE，所以 PB平面 DEF.因PC(0，1，1)，DEPC0，则 DEPC，所以 DE平面 PBC.由 DE平面 PBC，PB平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)由 PD平面 ABCD，所以DP(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量；由(1)知，PB平面 DEF，所以BP(，1，1)是平面 DEF的一个法向量 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为3，则 cos 3BPDP|BP|DP|12212，解得 2.所以DCBC122.故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为3时，DCBC22.3(1)证明 ABCD 为矩形，故 ABAD；又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 AB平面 PAD，故 ABPD.(2)解 过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O，过 O 作 BC 的垂线，垂足为 G，连接 PG.故 PO平面 ABCD，BC平面 POG，BCPG，在 RtBPC 中，PG2 33，GC2 63，BG63，设 ABm，则 OP PG2OG243m2，故四棱锥 PABCD的体积为 V13 6m43m2m386m2.因为 m 86m2 8m26m46m223283，故当 m63，即 AB63时，四棱锥 PABCD 的体积最大 此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为 O(0，0，0)，B63，63，0，C63，2 63，0，D0，2 63，0，P0，0，63.故PC63，2 63，63，BC(0，6，0)，CD63，0，0，设平面 BPC 的法向量 n1(x，y，1)，则由 n1PC，n1BC得 63x2 63y630，6y0，解得 x1，y0，n1(1，0，1)同理可求出平面 DPC 的法向量 n20，12，1，从而平面 BPC 与平面 DPC 夹角 的余弦值为 cos|n1n2|n1|n2|12141105.【一年模拟