数字信号处理复习总结-最终版.pdf

绪论:本章介绍数字信号处理课程得基本概念。0、1 信号、系统与信号处理 1。信号及其分类 信号就是信息得载体,以某种函数得形式传递信息。这个函数可以就是时间域、频率域或其它域,但最基础得域就是时域。分类:周期信号/非周期信号 确定信号/随机信号 能量信号/功率信号 连续时间信号/离散时间信号/数字信号 按自变量与函数值得取值形式不同分类:2。系统 系统定义为处理(或变换)信号得物理设备,或者说,凡就是能将信号加以变换以达到人们要求得各种设备都称为系统。、信号处理 信号处理即就是用系统对信号进行某种加工。包括:滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等、所谓“数字信号处理”,就就是用数值计算得方法,完成对信号得处理。0、2 数字信号处理系统得基本组成 数字信号处理就就是用数值计算得方法对信号进行变换与处理。不仅应用于数字化信号得处理,而且也可应用于模拟信号得处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图、(1)前置滤波器 将输入信号 xa(t)中高于某一频率(称折叠频率,等于抽样频率得一半)得分量加以滤除。(2)A/变换器 在 A/D 变换器中每隔 T 秒(抽样周期)取出一次 xa(t)得幅度,抽样后得信号称为离散信号。在 AD 变换器中得保持电路中进一步变换为若干位码。()数字信号处理器(DSP)(4)D/A 变换器 按照预定要求,在处理器中将信号序列 x(n)进行加工处理得到输出信号(n)。由一个二进制码流产生一个阶梯波形,就是形成模拟信号得第一步。(5)模拟滤波器 把阶梯波形平滑成预期得模拟信号;以滤除掉不需要得高频分量,生成所需得模拟信号 ya(t)。0、3 数字信号处理得特点(1)灵活性。(2)高精度与高稳定性、(3)便于大规模集成。(4)对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标、0、数字信号处理基本学科分支 数字信号处理(DSP)一般有两层含义,一层就是广义得理解,为数字信号处理技术-igalSignalPcsing,另一层就是狭义得理解,为数字信号处理器gitalSignalPrcessor、0。5 课程内容 该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础得“经典”处理方法,包括:()离散傅里叶变换及其快速算法、(2)滤波理论(线性时不变离散时间系统,用于分离相加性组合得信号,要求信号频谱占据不同得频段)、在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”(AdacdSgnalPocesig)。信号对象主要就是随机信号,主要内容就是自适应滤波(用于分离相加性组合得信号,但频谱占据同一频段)与现代谱估计、简答题:、按自变量与函数值得取值形式就是否连续信号可以分成哪四种类型?、相对模拟信号处理,数字信号处理主要有哪些优点？3。数字信号处理系统得基本组成有哪些？第一章:本章概念较多,需要理解与识记得内容较多,学习时要注意。1。1 离散时间信号 1、离散时间信号得定义 离散时间信号就是指一个实数或复数得数字序列,它就是整数自变量 n 得函数,表示为 x(n)、一般由模拟信号等间隔采样得到:、时域离散信号有三种表示方法:1)用集合符号表示 2)用公式表示 3)用图形表示 。几种基本离散时间信号(记住定义)(1)单位采样序列(2)单位阶跃序列()矩形序列(4)实指数序列(5)正弦序列 就是正弦序列数字域得频率,单位就是弧度、对连续信号中得正弦信号进行采样,可得正弦序列。设连续信号为,它得采样值为,因此(重点)这个式子具有一般性,它反映了由连续信号采样得到得离散序列,其数字频率与模拟频率得一般关系。另外需要说明得就是,得单位为弧度,得单位为弧度/秒。本书中,我们一律以 表示数字域频率,而以 及 f 表示模拟域频率。例:已知采样频率T=1000z,则序列 x(n)cos(0、4n)对应得模拟频率为(40 )弧度/s。说明:本题旨在理解数字频率与模拟频率之间得关系:。()复指数序列 复指数序列就是以余弦序列为实部、正弦序列为虚部所构成得一个复数序列。(7)周期序列(重点)所有存在一个最小得正整数,满足:,则称序列就是周期序列,周期为、(注意:按此定义,模拟信号就是周期信号,采用后得离散信号未必就是周期得)例:正弦序列得周期性:当,为整数时,即为周期性序列、周期,式中,、限取整数,且得取值要保证就是最小得正整数、可分几种情况讨论如下:()当为整数时,只要,就为最小正整数,即周期为。(2)当不就是整数,而就是一个有理数时,设,式中,、就是互为素数得整数(互为素数就就是两个数没有公约数),取,则,即周期为。(3)当就是无理数时,则任何皆不能使为正整数,这时,正弦序列不就是周期性得、例:X()=cs(0。4n)得基本周期为(5 )。说明基本周期得定义即计算公式:,其中 N 与 k 均为整数,N 为基本周期(使得 N 为最小整数时 k 取值)。本题 =0。4,代入上式得到:、信号运算()加法:两个信号之与 由同序号得序列值逐点对应相加得到。(2)乘法:两个信号之积 由同序号得序列值逐点对应相乘得到。(3)移位:当,序列右移(称为延时);当,序列左移(称为超前)、(4)翻转:()尺度变换:或,其中 M 与 N 都就是正整数。当时,序列就是通过取 x(n)得每第 M 个采样形成,这种运算称为下采样。对于序列,定义如下这种运算称为上采样、4。信号分解(重点)任一信号 x(n)可表示成单位脉冲序列得移位加权与:简记为 1、2 时域离散系统 时域离散系统定义 1 线性系统(重点)判定公式:若,=则 2 时不变系统(重点)判定公式:y(n)=Tx(n)y(-)=T()例:判断下列系统就是否为线性、时不变系统。(重点)(1);(2);解:(1)令:输入为,输出为0000000()()2(1)3(2)()()2(1)3(2)()y nx nnx nnx nny nnx nnx nnx nny n 故该系统就是时不变系统。12121212()()()()()2(1)(1)3(2)(2)y nT ax nbx nax nbx nax nbx nax nbx n 故该系统就是线性系统。(2)令:输入为,输出为,因为 故系统就是时不变系统。又因为 因此系统就是非线性系统、线性时不变系统(LTI 或者 LSI 系统)输入与输出之间关系(重点):(n)=(n)*h(n)重点:线性离不变系统得输出等于输入序列与该系统得单位脉冲响应得卷积【说明】离散时间 LI 系统得单位冲激响应(n)为系统对单位冲激序列()得零状态响应。单位冲激响应得概念非常重要、在时域,LTI 系统可以由其单位冲激响应 h()唯一确定,因此,我们常常用单位冲激响应描述 LI 系统。在这种情况下,LI 系统得输入输出关系可以由卷积运算描述:y(n)=()*h(n)物理意义:卷积与运算具有显式意义,即可以用来确定系统得输出。如果系统确定,则其单位冲激响应就是唯一得。由此,可求系统对任意输入得响应。注意:计算卷积与得关键就是求与区间得确定。因此,常常需要绘制序列 x(m)与(nm)得图形。利用序列(m)与 h(n)得图形可助我们方便地确定求与区间、卷积得求解方法(重点):线性卷积就是一种非常重要得一种运算,对它得求解,一般我们采用作图法。线性卷积满足交换律,设两序列长度分别就是与 M,线性卷积后序列得长度为M1。卷积得计算过程包括翻转、移位、相乘、相加四个过程。1)将与用与表示,画出与这两个序列;2)选择一个序列,并将其按时间翻转形成序列;)将移位,得到;4)将与相同得序列值对应相乘后,再相加、例:设,与如图所示。求与得卷积。(重点)n 0 1 2 3 R4(n)1 0 1 2 3 4 4 n()x n 图 解 方法一:用图解法求卷积与。(1)将与用与表示(图中()、(b)图)。m)(mx40 1 2 3 4)(am)(4mR-3 -2 -1 0)(cm)1(4mR-2 -1 0 1)(d-1 0 1 2n)(ny)(g10 0 1 2 3 4 5 6 7 m)5(4mR0 1 2 3 4 5)(fm)(4mR0 1 2 3 )(bm)2(4mR(e)图 2 图解法求卷积过程(2)将进行反折,形成(图 2 中()图);将移位,得到(图中(d)、(e)、(f)图)。(3)将与相同得序列值相乘,再相加,得到(图 2 中()图)。再讨论解析法求线性卷积。用式 求解上式首先要根据与得非零值区间确定求与得上下限,得非零值区间为,得非零值区间为,或,由两个非零值区间可得得取值区间为,它们得乘积得非零值区间应满足:与 因此 当、时,;当 时,;当 时,、与图解法结果一致。y(n)用公式表示为 方法二:当序列与得长度分别为有限长与时,可采用“不进位乘法”求两序列线卷积。如图 1 所示:,例:两线性时不变系统级联,其单位取样响应分别为与,输入为,求系统得输出。已知:,。解:设第一个系统得输出为,则 因而输出为)3()2()1()()()3()2()1()()()()(3212nuanuanuanuanuannnnnhnnynnnnn 4、系统因果性与稳定性得判定(重点)1)稳定系统:有界得输入产生得输出也有界得系统,即:若,则(记住！)线性移不变系统就是稳定系统得充要条件:(系统稳定得充分必要条件就是系统得单位脉冲响应绝对可与)(记住！!)或:其系统函数 H(z)得收敛域包含单位圆|=1(记住!！)2)因果系统:时刻得输出只由时刻之前得输入决定(记住!)线性移不变系统就是因果系统得充要条件:(记住！)因果系统得单位脉冲响应必然就是因果序列、(记住!)或:其系统函数 H()得收敛域在某圆外部:即:|Rx(记住！)3)稳定因果系统:同时满足上述两个条件得系统。线性移不变系统就是因果稳定系统得充要条件:,(记住!)或:()得极点在单位圆内 H()得收敛域满足:(记住!！)例:判断线性时不变系统得因果性、稳定性,并给出依据、(重点)(1);(2);解:()只要,该系统就就是因果系统,因为输出只与 n 时刻得与 n 时刻以前得输入有关。如果,则,因此系统就是稳定系统。(2)如果,因此系统就是稳定得、系统就是非因果得,因为输出还与 x(n)得将来值有关。注意:如果给出得就是 h(n),用上面要求记住得充要条件判断！例:设某线性时不变系统得单位取样响应为(a为实数),分析系统得因果性与稳定性、(重点)解:讨论因果性:因为时,所以该系统就是因果系统。讨论稳定性:当时,系统就是稳定得;否则,系统不稳定。例:设某线性时不变系统得单位取样响应为(a为实数),分析系统得因果性与稳定性。(重点)解:讨论因果性:因为时,所以该系统就是非因果系统。讨论稳定性:当时,系统就是稳定得;否则,系统不稳定。1。3 线性常系数差分方程 1 差分方程定义 卷积与就是一种T 系统得数学模型,一般情况下,我们可以用差分方程描述 L系统得输入输出关系。差分方程给出了系统响应n得内部关系。为得到 yn得显式解,必须求解方程。2 差分方程求解 经典法 错误!递推法 错误!变换域法(参见下章域变换)(重点)例:设系统得差分方程为,输入序列为,求输出序列。解:一阶差分方程需一个初始条件。设初始条件为:则 设初始条件改为:则 该例表明,对于同一个差分方程与同一个输入信号,因为初始条件不同,得到得输出信号就是不相同得。几点结论(重点)(1)对于实际系统,用递推解法求解,总就是由初始条件向0 得方向递推,就是一个因果解。但对于差分方程,其本身也可以向 n0 得方向递推,得到得就是非因果解。因此差分方程本身不能确定该系统就是因果系统还就是非因果系统,还需要用初始条件进行限制。(2)一个线性常系数差分方程描述得系统不一定就是线性非时变系统,这与系统得初始状态有关、如果系统就是因果得,一般在输入(n)=0(nn)时,则输出 y(n)0(nn0),系统就是线性非时变系统、1.4 模拟信号数字处理方法 1 模拟信号数字处理框图 :模拟信号输入 预滤波:目得就是限制带宽(一般使用低通滤波器)错误!采样:将信号在时间上离散化 A/DC:模/数转换 oac(,2)量化:将信号在幅度上离散化(量化中幅度值=采样幅度值)错误!编码:将幅度值表示成二进制位(条件)数字信号处理:对信号进行运算处理 DAC:数/模转换(一般用采样保持电路实现:台阶状连续时间信号在采样时刻幅度发生跳变)平滑滤波:滤除信号中高频成分(低通滤波器),使信号变得平滑:输入信号经过处理后得输出信号 2。连续信号得采样 对连续信号进行理想采样,设采样脉冲,则采样输出 在讨论理想采样后,信号频谱发生得变化时,可遵循下面得思路:1)由;2)由;)根据频域卷积定理,由计算出。计算过程:1)周期信号可以用傅里叶级数展开,因此 其中系数 所以 其傅里叶变换 )因此,采样后信号频谱产生周期延拓,周期为 s,同时幅度为原来得 1T 倍。这就是一个非常重要得性质,应熟练掌握、3 时域抽样定理(重点)一个限带模拟信号,若其频谱得最高频率为,对它进行等间隔抽样而得,抽样周期为 T,或抽样频率为;只有在抽样频率时,才可由准确恢复。例:有一连续信号式中,(1)求出得周期。(2)用采样间隔对进行采样,试写出采样信号得表达式、(3)求出对应得时域离散信号(序列),并求出得周期、解:(1)周期为()05.0)()2cos()()()(sTnTtfnTnTttxtxnn(3)x(n)得数字频率=、8,故,因而周期 N=5,所以 x()=cos(、8+/2)简答题:(重点)1 就是不就是任意连续信号离散后,都可从离散化后得信号恢复出原来得信号？为什么？2 一个连续时间信号经过理想采样以后,其频谱会产生怎样得变化？在什么条件下,频谱不会产生失真？3 说明时域采样定理得要点?4 离散信号频谱函数得一般特点就是什么？5 画出模拟信号数字处理框图。并说明各部分得作用。名词解释:(重点)1.时域采样定理 2.线性系统、时不变系统、稳定系统、因果系统 第二章:本章涉及信号及系统得频域分析方法,概念较多,但很基础,学习时要注意。、1 序列得傅里叶变换得定义及性质、定义 T 就是一个用来确定离散时间序列频谱得重要数学工具。物理意义:傅里叶变换就是将对信号得时域分析转换为对其在频域得分析,便于研究问题。若序列满足绝对可与条件 则其离散时间傅里叶变换(DireteTieFourerTrsfom-DTFT:非周期序列得傅里叶变换)定义为 -(记住!)反变换定义为:-傅里叶变换对 例:设,求其序列傅里叶变换。(重点)解 jjjjj/2j/2j/21jjj/2j/2j/201j2(e)DTFT()()e()e1eeeee1eeeesin2esin2nnNnnNNNNNnnNXx nx nRnN 当时 (25)得幅度与相位随变化曲线如图 2。1 所示、1n0 1 2 3)(nx2)(jeX0420)(argjeX 图。1 R4(n)得幅度与相位曲线 例:试求如下序列得傅里叶变换:(重点)()(2)(3)(4)解:(1)(2)(3),()=2、性质)周期性(重点):DTT 就是关于 得周期为 2 得周期函数。2)线性(重点):设,那么 3)时移特性(重点)4)频移特性 5)时域卷积定理(重点)6)频域卷积定理 )帕斯瓦尔定理 时域总能量等于频域一周期内总能量、7)幅度频谱为 得偶函数,相位频谱为 得奇函数。8)(ej)得实部为 得偶函数,X()得虚部为 得奇函数。对称关系得总结(重点):如果 xn为复数序列,其TFT 为 X(),()xn实部得 DTFT 为(e)得共轭对称部分-()n虚部得 DFT 为 X(ej)得反共轭对称部分-(c)xn得共轭对称部分得 DF为 X(j)得实部-(d)n 得反共轭对称部分得 DTFT 为 X(j)得虚部-如果实序列 xn 得 DT 为(ej),(e)xn得偶对称部分得TFT 为 X(ej)得实部,-(f)xn得奇对称部分得 DFT 为 X()得虚部,-例:设系统得单位取样响应,输入序列为,完成下面各题:(1)求出系统输出序列;(2)分别求出、与得傅里叶变换。(重点)解:(1)(2)2、2 时域离散信号得傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间得关系:式中 。3 序列得变换 1 变换定义(重点)变换为离散时间信号与 LT系统分析得重要数学工具。给定一离散时间序列 x(n),其 z 变换定义为:-(记住!)其中,。z 变换存在情况下得 Z 变量取值范围称为收敛域(ROC)。注意:Z 变换不同收敛域对应不同收敛域得不同序列 序列(Z 变换+收敛域)(重点)例:求以下序列得变换及收敛域:(重点)();();()解:(1)110112()2()2,122nnnnnnnZTu nu n zzzz(2)1111 2(1)2(1)22211 ,1 21 22nnnnnnnnnnZTununzzzzzzz (3)说明上题也可以改为求序列得傅立叶变换。可以利用。2 变换与T之间得关系(重点)DTF 为单位圆上得 z 变换、数学表达为:-记住并理解!3、序列特性与(z)得收敛域 ROC 得关系。(重点)收敛区域要依据序列得性质而定、同时,也只有变换得收敛区域确定之后,才能由变换唯一地确定序列、一般来来说,序列得 Z 变换得收敛域在平面上得一环状区域:总结:a。O不包含任何极点。b、有理 z 变换得收敛域O由其极点界定。、对于有限长序列 xn,其变换得收敛域 RO 为整个 z-平面,可能在 z=0 或 z 除外。只有序列为时,收敛域就是整个 Z 平面。d。对于右边序列 xn,其 z 变换得收敛域 ROC 由其离原点最远得极点确定,其形式为、e、对于左边序列 xn,其 z 变换得收敛域 ROC 由其离原点最近得极点确定,其形式为、f。对于双边序列 xn,其 z 变换得收敛域 ROC 环状收敛域,其形式为公共收敛域。4、Z 反变换(重点)常用序列得变换(重点-记住！!):逆变换 x,C:收敛域内绕原点逆时针得一条闭合曲线 留数定理:留数辅助定理:利用部分分式展开:,然后利用定义域及常用序列得变换求解。(重点)基本要求:用部分分式展开法求 z 反变换。(重点)例:假设,收敛域 ROC 为,则 得 z 反变换为()、(重点)说明:本题要求掌握序列得时域特性域 z 变换收敛域之间得对应关系。具体说,有限长序列得 z 变换得 ROC 就是怎样得,右边序列得 z 变换得OC 就是怎样得,因果序列得 z 变换得C 就是怎样得,左边序列得 z 变换得OC 就是怎样得,反因果序列得变换得 RO就是怎样得、典型序列得 z 变换表达式就是否记住了?这两个典型 z 变换对,对求变换或逆 z 变换非常重要。例:已知,试求与对应得所有可能得序列。(重点)解:同一个 Z 变换函数,收敛域不同,对应得序列也不同。本题没有给定收敛域,所以必须先确定收敛域、有两个极点:,因为收敛域总就是以极点为边界,所以收敛域有以下三种情况:,三种收敛域对应三种不同得原序列,分别讨论如下:(1)对应左边序列 (2)对应双边序列 ()对应右边序列 例:设 ,用部分分式展开法求逆 Z 变换。(重点)解:先去掉 z 得负幂次,以便于求解,将得分子分母同乘以,得:将等式两端同时除以 z,得:34)5.0)(2()2()()2(2,)(Re221zzzzzzzzXzzzXsA 31)5.0)(2()5.0()()5.0(5.0,)(Re25.02zzzzzzzzXzzzXsA 因而得:由收敛域知,为右边序列,得:主要应用于单阶极点得序列。5 Z 变换得性质 1 线性性质(重点)错误!序列得移位性质(重点)错误!序列乘以指数序列得性质(重点)错误!序列乘以得 ZT 错误!复共轭序列得 Z 初值定理 错误!终值定理 错误!时域卷积定理(重点)设 则 错误!复卷积定理 错误!帕斯维尔定理,那么、4 离散时间系统得系统函数及频率响应 1 系统函数定义(重点)一个线性时不变离散时间系统在时域中可以用它得单位取样响应来表征,即:对等式两边取变换并根据时域卷积定理,有:则:一般称为系统得系统函数(系统零状态响应得变换与输入得 Z 变换之比),它表征了系统得复频域特性。2 系统函数与差分方程得关系(给定差分方程,能计算其系统函数,或给定系统函数,能计算得到差分方程。)(重点)频率响应(重点)频率响应就是一个重要得概念,根据频率响应,可理解滤波。频率响应定义为系统单位冲激响应得 DTFT:(重点)其中,H(ej)|称为幅频响应,称为相频响应、系统得频率响应就是以 2 为周期得 得连续函数,这一点与连续系统得频率响应就是不同得,学习时应加以注意。若 h(n)为实数,则系统得幅度响应在区间内就是偶对称得,而相位响应就是奇对称得。注意:仅当稳定系统才有频率响应、频率响应 H(ej)可根据TFT 与变换之间得关系简单得到:稳态响应得求解 结论:对于 LI 系统,如果输入为正弦序列(n)=c(0t+),则输出响应 y(n)必为相同形式得正弦序列,但需在 得幅频响应|H(ej)|进行加权,并通过相频响应在 0得值进行移位,即:|H(ej0)cos(0+0+)例:假设实序列n得 DTT 记为,则其幅值 就是关于 得(偶函数)。说明:还记得反复强调得一句话,实序列得 DTT 得幅度、实部就是关于频率 偶函数,而相位与虚部则就是关于频率 奇函数。例:对于一TI 离散时间系统其频率响应,如果系统输 x(n),响应得稳态输出响应 y()=()。说明:将系统得频率响应写成幅度相位表达式:,则输出信号为:。这里由于给出了得具体表达式,所以需要分别计算出与之值。4 用系统函数极点分布分析系统得因果性与稳定性(重点)系统函数:(传输函数(z)为系统得单位冲激响应()得变换。)稳定系统:有界得输入产生得输出也有界得系统,即:若,则 线性移不变系统就是稳定系统得充要条件:或:其系统函数 H()得收敛域包含单位圆|z|=1(牢记此结论！)2)因果系统:时刻得输出只由时刻之前得输入决定 线性移不变系统就是因果系统得充要条件:或:其系统函数 H(z)得收敛域在某圆外部:即:(牢记此结论！)3)稳定因果系统:同时满足上述两个条件得系统。线性移不变系统就是因果稳定系统得充要条件:,或:(z)得极点在单位圆内(z)得收敛域满足:(牢记此结论!)例:。一因果 LTI 离散时间系统得传输函数,则系统得单位冲激响应为(0、5nu(n)。说明:根据传递函数求系统得单位冲激响应,其实就就是将传递函数进行逆z变换,但要注意系统得因果性如何、例:因果 IR 离散时间 LTI 系统,其传输函数,则系统(稳定)、例:一IR 离散时间 LTI 系统总就是(稳定)、说明:系统得稳定性如何判断？按照教材中得说法,就就是系统传递函数得收敛域如果包括“单位圆”,则系统就是稳定得。如果您熟悉了序列得 z 变换得 ROC 得性质,则此题不难回答。对于因果系统来说,其单位冲激响应为因果序列,故其 z 变换得 ROC 一定就是某圆外部得整个区域。而这个圆就位于离原点最远得极点上,所以,对于因果系统,如果系统传递函数得全部极点都位于单位圆以内得话,则系统就是稳定得、对于IR 系统,其单位冲激响应就是一个有限长序列,其 z 变换得OC 为除了无穷远与原点之外得整个 z 平面,自然包括单位圆,所以 FIR 系统始终就是稳定得、系统得频率特性可由系统函数零点及极点确定 (式中,zk就是极点,i就是零点;在极点处,序列 x()得 Z 变换就是不收敛得,因此收敛区域内不应包括极点。)系统函数 H()得极点位置主要影响频响得峰值位置及尖锐程度,零点位置主要影响频响得谷点位置及形状。例:设一阶系统得差分方程为,用几何法分析其幅频特性。(重点)解:对差分方程两边取 Z 变换,得:系统函数为:,极点为,零点为,如下图左所示:当时,由于极点矢量长度最短,幅频特性出现峰值,随着得增加,幅度逐渐减小,当时,由于极点矢量长度最长,幅频特性出现谷值,随着得增加,幅度逐渐增大,直到时,幅频特性出现峰值,如上图右所示。简答题:(重点)1.说明有限长序列、左边序列、右边序列、双边序列得概念与收敛域各就是什么?2.说明系统频率响应得概念?系统得频率响应与系统函数就是什么关系？(单位圆上()得系统函数就就是系统得频率响应)3.说明 FIR 系统为什么始终就是稳定得？4.怎样在 z 域表示离散时间 LTI 系统？答案:传输函数(z)表示离散时间 LI 系统。第三章:DFT 就是为适应计算机分析傅里叶变换规定得一种专门运算,本章就是数字信号处理课程得重点章节、前言 信号处理中会遇到几种信号形式:(1)连续周期信号()连续非周期信号(3)离散非周期信号()离散周期信号(重点)各种信号在时域与频域之间总得来说都就是傅里叶变换,但具体形式及应用就是不同得。、连续周期信号-傅里叶级数(FS)连续周期信号可展开成傅里叶级数:(*)式中,为得周期。傅里叶级数得系数为:幅度频谱就是指各次谐波得振幅随频率得变化关系,即:2、连续非周期信号 傅里叶变换(F)连续非周期信号得傅里叶变换为:因为非周期可视为,则离散频谱间距,则变成得连续函数。3、离散非周期信号-序列得傅里叶变换(DTFT)如果把序列瞧成连续时间信号得采样,采样间隔为,则数字频率与模拟角频率得关系为,且,代入上式,得:4、离散周期信号 离散傅里叶级数(F)设就是周期为得周期序列,即:为任意整数 表、1 四种傅里叶变换形式得归纳 一般规律:一个域得离散对应另一个域得周期延拓,一个域得连续必定对应另一个域得非周期、(重点)3。1 离散傅里叶级数 1。周期序列得离散傅里叶级数(FS)说明:离散傅里叶级数系数,用 DFS(Discrete Fouier eries)表示。连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示,离散周期序列也可以表示成傅里叶级数形式。周期为 N 得复指数序列得基频序列为 k 次谐波序列为 由于,即,因而,离散傅里叶级数得所有谐波成分中只有 N 个就是独立得。因此在展开成离散傅里叶级数时,我们只能取 N 个独立得谐波分量,通常取 k=0 到(N-1),即(*)式中,1/N 就是习惯上采用得常数,就是次谐波得系数。利用 将()式两端同乘以,并对一个周期求与 即 由于 所以也就是一个以为周期得周期序列、因此,时域离散周期序列得离散傅里叶级数在频域上仍然就是一个周期序列。称为离散傅里叶级数系数,用S(Discrete Fie Sries)表示、令,则 其中,符号 DFS。表示离散傅里叶级数正变换,IDFS、表示离散傅里叶级数反变换。例:设,将以为周期进行周期延拓,得到周期序列,求得 DS。解:kkeeeeeeeeeeeeenxkXkjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkjnknjknjn8sin2sin)()(1111)()(8388822244443048270 其幅度特性为:、周期序列得傅里叶变换 思路:由 利用与 DTFT 得频移特性,可得 傅里叶变换时域、频域对应关系:根据序列得傅里叶变换与离散傅里叶级数频域特性,再结合连续时间信号得傅里叶变换频域特性,我们可以得出傅里叶变换时、频域得一般对应关系:连续非周期,离散周期。这种对应关系很重要,要求熟记(重点)。、有限长序列得离散傅立叶变换(DF)说明:(Discree oure Trnsfor,DT 离散傅里叶变换)1 定义(重点),0-(记住！),0n-记住！其中,应当注意,虽然与都就是长度为得有限长序列,但她们分别就是由周期序列与截取其主周期得到得,周期为得周期序列可以瞧成长度为得有限长序列周期延拓得结果、本质上就是做 DS 或FS,所以不能忘记它们得隐含周期性。尤其就是涉及其位移特性时更要注意、(重点)T 得隐含周期性:(重点)例:设,求得点 DFT。(重点)解:得 4 点离散傅里叶变换为:以为周期将延拓成周期序列,得:其离散傅里叶级数为:例:设,求得 8 点 DT。(重点)解:得 8 点离散傅里叶变换为:以为周期将延拓成周期序列,得:其离散傅里叶级数为:由例可见,离散傅里叶变换得结果与变换区间长度得取值有关。2 离散傅立叶变换与 DTFT、变换得关系(重点)DF得物理意义:()为 x(n)得傅里叶变换在区间上得等间隔采样、为在 Z 平面单位圆上得点等间隔采样。时域分析 记住结论:时域抽样对应频域得周期拓展,频率抽样对应时域得以周期 N 得周期拓展。这可以表述为如下公式:3、3 离散傅里叶变换得基本性质 1 线性性质 若则 2 循环移位性质 设就是长度为得有限长序列,则得点循环移位定义为():循环移位得实现步骤:序列点数M不够时补零，补到所需点数N(补充N-M个零点)将x(n)以N为周期延拓为周期序列移位取主值序列)(nxNnxnx)()(Nmnxmnx)()()()()(nRmnxnyNN 循环卷积定理(重点)设序列(n)与 x()得长度分别为 N 与。h(n)与 x(n)得 L 点循环卷积定义为 式中,L 称为循环卷积区间长度,LmN,M。2)循环卷积矩阵 特点:(1)第 1 行就是序列x(0),x(1),x(L1)得循环倒相序列。注意,如果()得长度 M乘加移位:y(n)x()h(n)h(k)(n-k)循环卷积:补零周期延拓-翻折-循环移位对应值相加 例:计算下面给出得两个长度为得序列 h(n)与 x(n)得 4 点与点循环卷积。(重点)解:按照循环卷积矩阵写出 h(n)与 x(n)得 4 点循环卷积矩阵形式为 h(n)与(n)得 8 点循环卷积矩阵形式为【补充】计算 h(n)与()得线性卷积？哪一种情况下计算得循环卷积结果就等于线性卷积?【说明】当循环卷积区间长度 L 大于等于 y(n)=h()x(n)得长度时,循环卷积结果就等于线性卷积。假设(n)与 x(n)都就是有限长序列,长度分别就是 N 与 M。循环卷积等于线性卷积得条件就是LNM-。(重点)3)时域循环卷积定理 设()与(n)得长度分别为 N 与,其 L 点循环卷积为 错误!且 则由 DT 得循环卷积定理有 4 复共轭序列得FT 性质:设就是(n)得复共轭序列,长度为 N,则 例:给定一1点实序列x(n),其 16点 DFT 记为(),已知X(13)2 j,则X(3)=(+)。说明:FT 得性质。实序列得 DFT 得共轭对称性:X()(Nk),或 X(Nk)X()、5 DFT 得共轭对称性(重点)可总结出 DFT 得共轭对称性质:如果序列(n)得FT 为 X(k),则(n)得实部与虚部(包括 j)得 DF分别为 X(k)得共轭对称分量与共轭反对称分量;而(n)得共轭对称分量与共轭反对称分量得FT 分别为 X()得实部与虚部乘以 j。3、4 频域采样定理 离散傅里叶变换相当于信号傅里叶变换得等间隔采样,也就就是说实现了频域得采样,便于计算机计算。那么就是否任一序列都能用频域采样得方法去逼近呢?这就是一个很吸引人得问题。我们考虑一个任意得绝对可与得序列 x(n),它得 z 变换为 如果对 X()单位圆上进行等距离采样 现在要问,这样采样以后,信息有没有损失？或者说,采样后所获得得有限长序列 xN(n)能不能代表原序列 x()。为了弄清这个问题,我们从周期序列开始 由于 所以 也即就是原非周期序列 x(n)得周期延拓序列,其时域周期为频域采样点数。在第一章我们瞧到,时域得采样造成频域得周期延拓,这里又对称得瞧到,频域采样同样造成时域得周期延拓、因此,如果序列(n)不就是有限长得,则时域周期延拓时,必然造成混叠现象,因而一定会产生误差。对于长度为 M 得有限长序列,只有当频域采样点数 N 大于或等于序列长度 M 时,才有 即可由频域采样值(k)恢复出原序列 x(n),否则产生时域混叠现象,这就就是所谓得频域采样定理。(重点)内插公式:3。5 D得应用举例。用 DT 计算线性卷积(重点)用循环(周期)卷积计算有限长序列得线性卷积(重点)对周期要求:(N1、N2 分别为两个序列得长度)(记住！)2。用 DFT 进行谱分析得误差问题(重点)(1)混叠现象 利用 DFT 逼近连续时间信号得傅里叶变换,为避免混叠失真,按照抽样定理得要求,采样频率至少就是信号最高频率得两倍。解决混叠问题得唯一方法就是保证采样频率足够高。()截断效应 任何带限信号都就是非时限得,任何时限信号都就是非带限得。实际问题中遇到得离散时间序列可能就是非时限得、无限长序列,在对该序列利用F进行处理时,由于作 DFT 得点数总就是有限得,因此就有一个必须将该序列截断得问题。序列截断得过程相当于给该序列乘上一个矩形窗口函数N(n)、如果原来序列得频谱为,矩形窗函数得频谱为,则截断后有限长序列得频谱为 截断后序列得频谱与原序列频谱必然有差别,这种差别对谱分析得影响主要表现在如下两个方面:频谱泄露:由于矩形窗函数频谱得引入,使卷积后得频谱被展宽了,即得频谱“泄露”到其它频率处,称为频谱泄露。在进行 DF时,由于取无限个数据就是不可能得,所以序列得时域截断就是必然得,泄露就是难以避免得、为了尽量减少泄露得影响,截断时要根据具体得情况,选择适当形状得窗函数,如汉宁窗或汉明窗等。谱间干扰。在主谱线两边形成很多旁瓣,引起不同频率分量间得干扰(简称谱间干扰),特别就是强信号谱得旁瓣可能湮没弱信号得主谱线,或者把强信号谱得旁瓣误认为就是另一频率得信号得谱线,从而造成假信号,这样就会使谱分析产生较大偏差。(3)栅栏效应 由于 DF就是有限长序列得频谱等间隔采样所得到得样本值,这就相当于透过一个栅栏去观察原来信号得频谱,因此必然有一些地方被栅栏所遮挡,这些被遮挡得部分就就是未被采样到得部分,这种现象称为栅栏效应。由于栅栏效应总就是存在得,因而可能会使信号频率中某些较大得频率分量由于被“遮挡”而无法得到反映。此时,通常在有限长序列得尾部增补若干个零值,借以改变原序列得长度。这样对加长得序列作FT 时,由于点数增加就相当于调整了原来栅栏得间隙,可以使原来得不到反映得那些较大得频率分量落在采样点上而得到反映、产生原因说明:由傅里叶变换理论知道,若信号持续时间有限长,则其频谱无限宽;若信号得频谱有限宽,则其持续时间必然为无限长。(重点)如果用 DFT 分析连续信号得频谱,在对连续信号采样时,无法满足采样定理,那么就会出现频谱混叠现象。解决混叠问题得唯一方法就是保证采样频率足够高、当连续信号无限长或很长时,在对连续信号采样时,采样点数太多以致无法存储与计算,需要将信号截断,这样将导致频谱得泄漏现象。为了尽量减少泄露得影响,截断时要根据具体得情况,选择适当形状得窗函数,如汉宁窗或汉明窗等。用DFT 计算连续信号得频谱只能得到采样点上得频谱,而不能瞧到整个频谱,这种现象称为栅栏效应。可以通过增加点数,因为点数增加就相当于调整了原来栅栏得间隙,可以使原来得不到反映得那些较大得频率分量落在采样点上而得到反映。、用FT 进行谱分析得参数选择问题(重点)对模拟信号频谱得采样间隔,称之为频率分辨率。(1)在已知信号得最高频率 fc(即谱分析范围)时,为了避免频率混叠现象,要求采样频率s 满足:s2fc。()采样频率,采样点数 N,谱分辨率 FF/,如果保持采样点数不变,要提高频谱分辨率(减小 F),就必须降低采样频率,采样频率得降低会引起谱分析范围变窄与频谱混叠失真。如维持 F不变,为提高频率分辨率可以增加采样点数、因为 NT=T,T=Fs,只有增加对信号得观察时间Tp,才能增加 N、(3)采样点数 Nf/F()最小记录时间1/F 例:用 D对实信号进行谱分析,要求频率分辨率,信号最高频率为,试确定以下参数:()最小记录时间;(2)最大取样间隔;(3)最少采样点数;(4)若要求频率分辨率提高一倍,求最少采样点数。(重点)解 ()(2)()(4)简答题:(重点)1.一个序列得与序列得傅里叶变换之间得关系就是什么?2.序列得 DTFT 与序列得 z 变换间得关系就是什么？序列得FT 与序列得 Z 变换间得关系就是什么？3.有限长序列得长度为 M,对其进行频域采样,不失真得条件就是什么?两个有限长序列,对它们进行线性卷积,结果用表示,得长度就是多少？如果进行循环卷积,那么什么时候线性卷积与循环卷积得结果相等？4.用 DFT 进行谱分析带来哪些误差问题？采取什么措施可以减少这些误差？5.时域采样定理得要点就是什么?频域采样定理得要