2015年湖北省高考数学试卷(理科).pdf

1（5 分）（2015湖北）i 为虚数单位，i607的共轭复数为（)Ai Bi C1 D1 2(5 分）(2015湖北）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（)A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石 3(5 分）(2015湖北）已知（1+x）n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（)A212 B211 C210 D29 4（5 分）（2015湖北）设 XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（）AP（Y2）P（Y1）BP（X2）P(X1）C对任意正数 t，P（Xt）P（Yt）D对任意正数 t，P(Xt）P(Yt）5（5 分)(2015湖北）设 a1,a2,，anR，n3若 p：a1，a2,，an成等比数列；q：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a1a2+a2a3+an1an）2，则(）Ap 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 6（5 分)（2015湖北）已知符号函数 sgnx=，f(x）是 R 上的增函数，g(x）=f（x)f(ax）(a1），则（)Asgng(x）=sgnx Bsgng（x）=sgnx Csgng(x)=sgnf(x）Dsgng（x）=sgnf（x）7（5 分）(2015湖北)在区间0，1上随机取两个数 x，y，记 P1为事件“x+y”的概率，P2为事件“|xy”的概率，P3为事件“xy”的概率，则（）AP1P2P3 BP2P3P1 CP3P1P2 DP3P2P1 8（5 分）（2015湖北）将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b（ab）同时增加 m（m0）个单位长度，得到离心率为 e2的双曲线 C2,则（）A对任意的 a，b,e1e2 B当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2 C对任意的 a，b，e1e2 D当 ab 时，e1e2；当 ab 时,e1e2 9（5 分）（2015湖北)已知集合 A=（x，y）x2+y21，x，yZ，B=（x，y）|x2，|y2,x，yZ，定义集合 AB=(x1+x2,y1+y2)(x1，y1）A，（x2，y2）B，则 AB 中元素的个数为（）A77 B49 C45 D30 10(5 分）（2015湖北）设 xR，x表示不超过 x 的最大整数若存在实数 t，使得t=1，t2=2，tn=n 同时成立，则正整数 n 的最大值是（）A3 B4 C5 D6 11（5 分）（2015湖北)已知向量，|=3，则=12（5 分）（2015湖北）函数 f（x）=4cos2cos（x）2sinxln（x+1）|的零点个数为 13（5 分）（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上,仰角为 30，则此山的高度 CD=m 14（5 分）（2015湖北）如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T（1，0）,与 y 轴正半轴交于两点 A，B（B 在 A 的上方),且|AB=2（1）圆 C 的标准方程为;（2）过点 A 任作一条直线与圆 O:x2+y2=1 相交于 M，N 两点,下列三个结论：=;=2;+=2 其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号)15（5 分)(2015湖北）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线,且 BC=3PB，则=17(11 分）（2015湖北)某同学用“五点法”画函数 f（x）=Asin（x+）(0,|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+0 2 x Asin（x+）0 5 5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f（x）的解析式;（2）将 y=f（x）图象上所有点向左平行移动（0）个单位长度，得到 y=g（x）的图象若 y=g(x）图象的一个对称中心为(，0），求 的最小值 18（12 分)（2015湖北)设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为 q,已知 b1=a1，b2=2，q=d,S10=100 （1）求数列an，bn的通项公式(2)当 d1 时,记 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn 19（12 分）（2015湖北）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PD=CD,过棱 PC的中点 E,作 EFPB 交 PB 于点 F，连接 DE，DF，BD,BE（1)证明：PB平面 DEF试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为，求的值 20(12 分）（2015湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A，B 两种奶制品生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1。5 吨,使用设备 1。5 小时，获利 1200 元要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍，设备每天生产 A，B 两种产品时间之和不超过 12 小时假定每天可获取的鲜牛奶数量 W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0。5 0。2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大，因此每天的最大获利 Z(单位：元）是一个随机变量(1）求 Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率 21（14 分）（2015湖北)一种画椭圆的工具如图 1 所示O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN=ON=1,MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为 C，以 O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系(1）求椭圆 C 的方程；(2）设动直线 l 与两定直线 l1：x2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 P，Q 两点若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 22（14 分）(2015湖北）已知数列an的各项均为正数，bn=n（1+）nan(nN+），e 为自然对数的底数（1）求函数 f（x）=1+xex的单调区间,并比较（1+）n与 e 的大小;（2）计算，由此推测计算的公式，并给出证明;(3）令 cn=（a1a2an)，数列an,cn的前 n 项和分别记为 Sn,Tn,证明:TneSn 2015 年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1（5 分)（2015湖北）i 为虚数单位,i607的共轭复数为（）Ai Bi C1 D1【考点】虚数单位 i 及其性质【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可【解答】解：i607=i604+3=i3=i，它的共轭复数为：i 故选：A【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查 2（5 分）（2015湖北)我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（）A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用 【专题】计算题；概率与统计【分析】根据 254 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即可得出结论【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为 1534169 石，故选：B【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础 3（5 分）（2015湖北）已知（1+x）n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A212 B211 C210 D29【考点】二项式定理；二项式系数的性质【专题】二项式定理【分析】直接利用二项式定理求出 n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可【解答】解：已知（1+x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，可得，可得 n=3+7=10(1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29 故选:D【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力 4（5 分）(2015湖北）设 XN（1，12）,YN（2，22）,这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（）AP(Y2）P（Y1）BP(X2）P（X1）C对任意正数 t，P（Xt)P（Yt)D对任意正数 t，P(Xt）P（Yt）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】概率与统计【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率,直接判断即可【解答】解：正态分布密度曲线图象关于 x=对称,所以 12,从图中容易得到 P(Xt）P（Yt）故选：C 【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数 和标准差 这两个关键量,结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质 5（5 分）(2015湖北）设 a1，a2,，anR,n3若 p：a1，a2,an成等比数列；q：（a12+a22+an12）（a22+a32+an2）=（a1a2+a2a3+an1an）2，则（）Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件【考点】等比数列的性质【专题】等差数列与等比数列；简易逻辑【分析】运用柯西不等式,可得：（a12+a22+an12）(a22+a32+an2）（a1a2+a2a3+an1an)2，讨论等号成立的条件,结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到【解答】解:由 a1，a2，anR,n3 运用柯西不等式，可得：（a12+a22+an12)（a22+a32+an2）(a1a2+a2a3+an1an)2，若 a1，a2，an成等比数列，即有=，则（a12+a22+an12）(a22+a32+an2)=（a1a2+a2a3+an1an）2，即由 p 推得 q，但由 q 推不到 p,比如 a1=a2=a3=an=0，则 a1，a2，,an不成等比数列 故 p 是 q 的充分不必要条件 故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键 6（5 分)（2015湖北）已知符号函数 sgnx=，f（x）是 R 上的增函数，g（x）=f（x)f（ax）(a1)，则（）Asgng(x）=sgnx Bsgng(x)=sgnx Csgng（x）=sgnf(x)Dsgng(x）=sgnf（x）【考点】函数与方程的综合运用【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用特殊法，设出函数 f(x），以及 a 的值，判断选项即可【解答】解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数 sgnx=，f（x）是 R 上的增函数，g（x)=f（x)f（ax）（a1）,不妨令 f（x）=x,a=2,则 g（x)=f（x）f（ax）=x,sgng（x）=sgnx所以 A 不正确，B 正确，sgnf（x）=sgnx，C 不正确；D 正确；对于 D，令 f（x)=x+1，a=2，则 g（x）=f（x）f（ax）=x，sgnf（x）=sgn（x+1）=；sgng（x)=sgn（x）=，sgnf（x）=sgn（x+1）=；所以 D 不正确；故选：B【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题 7(5 分）(2015湖北）在区间0，1上随机取两个数 x,y，记 P1为事件“x+y”的概率，P2为事件“|xy”的概率，P3为事件“xy 的概率,则（）AP1P2P3 BP2P3P1 CP3P1P2 DP3P2P1【考点】几何概型【专题】概率与统计【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分)：P1：D(0,),F(，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积 S1=11=1=，S2=112=1=，S3=1+dx=+lnx|=ln=+ln2,S2S3S1，即 P2P3P1,故选：B 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小 8(5 分）（2015湖北)将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b（ab)同时增加 m（m0）个单位长度，得到离心率为 e2的双曲线 C2，则(）A对任意的 a，b，e1e2 B当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2 C对任意的 a,b,e1e2 D当 ab 时,e1e2；当 ab 时，e1e2【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】分别求出双曲线的离心率,再平方作差，即可得出结论【解答】解：由题意，双曲线 C1：c2=a2+b2,e1=;双曲线 C2：c2=(a+m）2+（b+m)2，e2=，=，当 ab 时，e1e2;当 ab 时，e1e2，故选:D【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力,比较基础 9（5 分）（2015湖北）已知集合 A=（x，y)|x2+y21,x,yZ，B=(x,y）|x2，y2,x,yZ，定义集合AB=(x1+x2，y1+y2)(x1,y1）A，（x2，y2)B，则 AB 中元素的个数为（）A77 B49 C45 D30【考点】集合中元素个数的最值【专题】新定义；开放型；集合【分析】由题意可得,A=（0，0)，(0，1），（0，1）,（1，0)，(1，0），B=（0，0），（0，1)，（0,2）,（0，1),(0,2），(1，0），（1,1），(1，2)(1，1)，（1，2）（2，0），（2，1）,（2，2）（2,1），(2,2），（1，2），（1，1)，（1，0），（1,1），（1,2），（2,2），（2，1），(2，0），（2，1），（2，2）,根据定义可求【解答】解：解法一:A=（x，y)x2+y21,x，yZ=(0，0），（0,1），(0,1）,（1，0），(1，0），B=（x，y)|x|2，y2，x，yZ=（0，0），(0，1)，（0，2)，（0,1）,（0，2），（1，0），（1，1)，（1，2）（1，1），（1，2)（2，0），（2，1),(2，2)（2，1),（2，2)，（1，2），(1，1),（1，0），（1，1),（1,2），（2，2），(2，1）,(2，0）,（2，1),（2，2)A B=（x1+x2，y1+y2）（x1，y1)A,(x2，y2)B,A B=（0，0）,（0,1），(0，2），（0,1），（0，2）,（1，0），（1,1),（1,2)（1，1），(1,2）（2，0),（2，1），（2，2），(2，1），（2,2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1）,（1,2），（2,2)，(2，1），（2，0），(2，1),（2，2），(2，3)，(2，3)，（0，3），(2，3），（1,3),（1，3），（1,3)，（2，3），（0，3）,(3，1），（3,0）（3，1），（3，2）,(3,2）(3，2）（3，1），（1，3），（3，1)，（3，0），（3，2）共 45 个元素;解法二：因为集合 A=（x，y）|x2+y21，x，yZ,所以集合 A 中有 5 个元素，即图中圆中的整点，B=（x，y)x|2，|y|2，x，yZ，中有 55=25 个元素，即图中正方形 ABCD 中的整点，AB=（x1+x2，y1+y2)（x1,y1）A,(x2,y2）B的元素可看作正方形 A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即 774=45 个 故选:C【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素 10（5 分）（2015湖北）设 xR,x表示不超过 x 的最大整数若存在实数 t,使得t=1，t2=2,，tn=n 同时成立，则正整数 n 的最大值是（）A3 B4 C5 D6【考点】进行简单的演绎推理【专题】创新题型；简易逻辑【分析】由新定义可得 t 的范围，验证可得最大的正整数 n 为 4【解答】解:若t=1,则 t1,2)，若t2=2，则 t，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去),若t3=3,则 t,），若t4=4，则 t，）,若t5=5，则 t，）,其中1。732，1。587，1.495，1。4311。495，通过上述可以发现,当 t=4 时,可以找到实数 t 使其在区间1，2),），），）上，但当 t=5 时，无法找到实数 t 使其在区间1，2)，），)，）,）上，正整数 n 的最大值 4 故选：B【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题 二、填空题：本大题共 4 小题,考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 请将答案填在答题卡对应题号的位置上 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分 11（5 分)（2015湖北）已知向量，=3，则=9 【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案【解答】解：由,得=0，即（）=0,|=3，故答案为:9【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法，是基础的计算题 12（5 分）（2015湖北）函数 f(x)=4cos2cos（x）2sinx|ln（x+1)|的零点个数为 2 【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用 【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域,画出函数的图象，求出交点个数即可【解答】解：函数 f（x）的定义域为:x|x1 f（x）=4cos2cos（x)2sinxln(x+1）=2sinxln（x+1）|=sin2x|ln（x+1）|，分别画出函数 y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象,由函数的图象可知，交点个数为 2 所以函数的零点有 2 个 故答案为：2 【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断,考查数形结合与转化思想的应用 13（5 分）（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=100m 【考点】解三角形的实际应用【专题】计算题;解三角形【分析】设此山高 h（m）,在 BCD 中，利用仰角的正切表示出 BC，进而在 ABC 中利用正弦定理求得 h【解答】解:设此山高 h（m），则 BC=h，在 ABC 中，BAC=30,CBA=105,BCA=45,AB=600 根据正弦定理得=,解得 h=100（m）故答案为：100【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解 14（5 分）（2015湖北）如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T（1，0），与 y 轴正半轴交于两点 A，B（B 在 A 的上方)，且|AB=2（1）圆 C 的标准方程为(x1）2+（y)2=2；(2）过点 A 任作一条直线与圆 O：x2+y2=1 相交于 M，N 两点，下列三个结论：=;=2；+=2 其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号)【考点】命题的真假判断与应用；圆与圆的位置关系及其判定【专题】创新题型；简易逻辑【分析】（1)取 AB 的中点 E，通过圆 C 与 x 轴相切于点 T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可;（2）设 M（cos，sin)，N(cos，sin），计算出、的值即可【解答】解：（1）圆 C 与 x 轴相切于点 T（1，0），圆心的横坐标 x=1，取 AB 的中点 E，|AB=2，BE=1，则BC=,即圆的半径 r=|BC=，圆心 C（1,），则圆的标准方程为（x1)2+（y）2=2,故答案为：（x1)2+（y）2=2(2）圆心 C（1，），E(0，)，又|AB=2，且 E 为 AB 中点,A（0，1）,B（0，+1)，M、N 在圆 O:x2+y2=1 上，可设 M（cos，sin），N（cos，sin），|NA|=，NB=，=，同理可得=，=，成立，=()=2，正确+=+（）=，正确 故答案为：【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题 选修 4-1：几何证明选讲 15(5 分）（2015湖北）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且 BC=3PB，则=【考点】与圆有关的比例线段【专题】推理和证明【分析】利用切割线定理推出 PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可【解答】解：由切割线定理可知：PA2=PBPC，又 BC=3PB，可得 PA=2PB，在 PAB 与 PAC 中，P=P，PAB=PCA(同弧上的圆周角与弦切角相等），可得 PAB PAC,=故答案为:【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力 选修 44：坐标系与参数方程 16(2015湖北)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为（sin3cos）=0,曲线 C 的参数方程为（t 为参数)，l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB=【考点】简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程 【专题】坐标系和参数方程【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案【解答】解：由（sin3cos）=0,得 y3x=0，由 C 的参数方程为（t 为参数），两式平方作差得：x2y2=4 联立，得，即 A（），B（)，|AB|=故答案为：【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题 三、解答题：本大题共 6 小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（11 分）（2015湖北）某同学用“五点法”画函数 f（x）=Asin（x+）（0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据,如表:x+0 2 x Asin（x+）0 5 5 0（1）请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数 f（x）的解析式;(2）将 y=f（x）图象上所有点向左平行移动（0）个单位长度,得到 y=g（x)的图象若 y=g（x)图象的一个对称中心为（，0）,求 的最小值【考点】由 y=Asin（x+)的部分图象确定其解析式；函数 y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】(1）根据表中已知数据，解得 A=5,=2，=从而可补全数据，解得函数表达式为 f（x）=5sin(2x）(2)由()及函数y=Asin(x+）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2)令2x+2=k，解得x=，kZ令=，解得=,kZ由 0 可得解【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得 A=5,=2，=数据补全如下表:x+0 2 x Asin（x+）0 5 0 5 0 且函数表达式为 f（x)=5sin（2x）（2）由（)知 f（x）=5sin（2x），得 g（x）=5sin（2x+2)因为 y=sinx 的对称中心为（k,0）,kZ 令 2x+2=k，解得 x=,kZ 由于函数 y=g(x）的图象关于点（,0）成中心对称，令=,解得=,kZ由 0 可知，当 K=1 时，取得最小值【点评】本题主要考查了由 y=Asin（x+)的部分图象确定其解析式，函数 y=Asin（x+)的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查 18（12 分）（2015湖北）设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为 q，已知 b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（1）求数列an，bn的通项公式（2）当 d1 时，记 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当 d1 时，由（1）知 cn=，写出 Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解:(1）设 a1=a,由题意可得，解得，或，当时，an=2n1，bn=2n1;当时，an=（2n+79），bn=9；（2）当 d1 时，由（1）知 an=2n1，bn=2n1，cn=，Tn=1+3+5+7+9+（2n1)，Tn=1+3+5+7+（2n3）+（2n1),Tn=2+（2n1)=3，Tn=6【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累,属于中档题 19（12 分）(2015湖北）九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PD=CD，过棱 PC的中点 E，作 EFPB 交 PB 于点 F，连接 DE，DF，BD，BE （1）证明：PB平面 DEF试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是,写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；(2）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为，求的值 【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用【分析】解法 1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出 PBEF，DEFE=E,所以 PB平面 DEF，即可判断 DE平面 PBC，PB平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，确定直角(2）根据公理 2 得出 DG 是平面 DEF 与平面 ACBD 的交线利用直线平面的垂直判断出 DGDF，DGDB，根据平面角的定义得出 BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可 解法 2）(1）以 D 为原点,射线 DA，DC，DP 分别为 x，y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系,运用向量的数量积判断即可 2）由 PD底面 ABCD，所以=（0，0，1）是平面 ACDB 的一个法向量;由（）知，PB平面 DEF，所以=（，1，1)是平面 DEF 的一个法向量根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案【解答】解法 1）(1）因为 PD底面 ABCD，所以 PDBC，由底面 ABCD 为长方形，有 BCCD,而 PDCD=D，所以 BC平面 PCD而 DE平面 PDC,所以 BCDE 又因为 PD=CD，点 E 是 PC 的中点，所以 DEPC 而 PCCB=C，所以 DE平面 PBC而 PB平面 PBC，所以 PBDE 又 PBEF，DEFE=E，所以 PB平面 DEF 由 DE平面 PBC，PB平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 DEB，DEF，EFB，DFB（2）如图 1，在面 BPC 内,延长 BC 与 FE 交于点 G，则 DG 是平面 DEF 与平面 ACBD 的交线 由（）知，PB平面 DEF，所以 PBDG 又因为 PD底面 ABCD，所以 PDDG而 PDPB=P，所以 DG平面 PBD 所以 DGDF，DGDB 故 BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角，设 PD=DC=1，BC=，有 BD=，在 Rt PDB 中,由 DFPB,得 DGF=FDB=，则 tan=tan DPF=，解得 所以=故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时，=（解法 2）(1）以 D 为原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x,y,z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系设 PD=DC=1，BC=，则 D(0，0，0),P（0，0，1），B（，1，0）,C(0,1，0)，=（1，1）,点 E 是 PC 的中点，所以 E（0，)，=(0,），于是=0,即 PBDE 又已知 EFPB，而 EDEF=E,所以 PB平面 DEF 因=（0，1，1),=0，则 DEPC，所以 DE平面 PBC 由 DE平面 PBC，PB平面 DEF,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 DEB，DEF，EFB，DFB(2）由 PD底面 ABCD，所以=（0，0，1）是平面 ACDB 的一个法向量;由（）知,PB平面 DEF,所以=(，1，1）是平面 DEF 的一个法向量 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出 cos=，解得所以所以=故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时，=【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化,空间角的求解，属于难题 20（12 分)(2015湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A，B 两种奶制品生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1。5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍，设备每天生产 A，B 两种产品时间之和不超过 12 小时假定每天可获取的鲜牛奶数量 W（单位:吨）是一个随机变量,其分布列为 W 12 15 18 P 0。3 0.5 0。2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 Z(单位:元）是一个随机变量（1）求 Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率【考点】简单线性规划的应用;离散型随机变量的期望与方差【专题】不等式的解法及应用;概率与统计【分析】（1）设每天 A，B 两种产品的生产数量分别为 x，y，相应的获利为 z，列出可行域，目标函数，通过当W=12 时，当 W=15 时，当 W=18 时,分别求出目标函数的最大获利,然后得到 Z 的分布列求出期望即可（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可【解答】（12 分)解：（1）设每天 A,B 两种产品的生产数量分别为 x，y，相应的获利为 z，则有，如图 1,目标函数为:z=1000 x+1200y 当 W=12 时，表示的平面区域如图 1，三个顶点分别为 A（0，0）,B（2.4，4。8)，C(6，0）将 z=1000 x+1200y 变形为，当 x=2。4，y=4.8 时，直线 l：在 y 轴上的截距最大，最大获利 Z=Zmax=2。41000+4。81200=8160 当 W=15 时,表示的平面区域如图 2，三个顶点分别为 A（0,0),B（3，6），C（7.5，0）将 z=1000 x+1200y 变形为，当 x=3，y=6 时，直线 l：在 y 轴上的截距最大，最大获利 Z=Zmax=31000+61200=10200 当 W=18 时，表示的平面区域如图 3，四个顶点分别为 A（0，0），B(3，6)，C（6，4），D（9，0）将 z=1000 x+1200y 变形为：，当 x=6，y=4 时,直线 l:y=56x+z1200 在 y 轴上的截距最大，最大获利 Z=Zmax=61000+41200=10800 故最大获利 Z 的分布列为：Z 8160 10200 10800 P 0.3 0。5 0.2 因此,E（Z）=81600。3+102000。5+108000.2=9708（2）由（）知，一天最大获利超过 10000 元的概率 P1=P（Z10000）=0。5+0。2=0。7,由二项分布，3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为:【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,线性规划的应用,二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力 21(14 分）（2015湖北）一种画椭圆的工具如图 1 所示O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN=ON=1，MN=3，当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为 C，以 O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系（1)求椭圆 C 的方程；（2)设动直线 l 与两定直线 l1：x2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 P,Q 两点 若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值?若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】创新题型；开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】(1）根据条件求出 a，b 即可求椭圆 C 的方程；(2）联立直线方程和椭圆方程,求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：（1）设 D（t，0），t2，N(x0，y0)，M（x，y),由题意得=2，且=|=1,（tx，y）=2(x0t，y0），且，即，且 t（t2x0)=0，由于当点 D 不动时,点 N 也不动,t 不恒等于 0，于是 t=2x0，故 x0=，y0=，代入 x02+y02=1，得方程为 （2）当直线 l 的斜率 k 不存在时，直线 l 为：x=4 或 x=4，都有 S OPQ=，直线 l 的斜率 k 存在时，直线 l 为：y=kx+m，(k),由消去 y,可得（1+4k2）x2+8kmx+4m216=0，直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，=64k2m24（1+4k2)（4m216）=0，即 m2=16k2+4，由,可得 P（，），同理得 Q（，),原点 O 到直线 PQ 的距离 d=和PQ=xPxQ，可得 S OPQ=PQ|d=m|xPxQ=m|=|,将代入得 S OPQ=|=8，当 k2 时,S OPQ=8（)=8（1+）8，当 0k2 时，S OPQ=8|=8（)=8（1+），0k2 时，014k21，2，S OPQ=8(1+）8，当且仅当 k=0 时取等号，当 k=0 时,S OPQ的最小值为 8，综上可知当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时，三角形 OPQ 的面积存在最小值为 8【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键综合性较强,运算量较大 22(14 分)（2015湖北）已知数列an的各项均为正数，bn=n(1+）nan(nN+），e 为自然对数的底数(1）求函数 f（x)=1+xex的单调区间,并比较（1+）n与 e 的大小；(2）计算，由此推测计算的公式,并给出证明；（3）令 cn=（a1a2an),数列an，cn的前 n 项和分别记为 Sn，Tn，证明：TneSn【考点】数列与不等式