整式的运算技巧.pdf

注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是1，而不是 1.（3）次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和.例如：多项式2242235x yx yxy中，222x y的次数是 4，43x y的次数是 5，25xy的次数是 3，故此多项式的次数是 5，而不是45312.3整式：单项式和多项式统称做整式.4降幂排列与升幂排列（1）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列.注意：降（升）幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；把一个多项式按降（升）幂重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；在进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列.例如：多项式24423332xyxyx yx y按x的升幂排列为：42233432yxyx yx yx；按y的降幂排列为：42323432yx yxyx yx.二、整式的加减 1同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关.例如：232a b与323b a是同类项；而232a b与325a b却不是同类项，因为相同的字母的指数不同.2合并同类项（1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项.注意：合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如235abab显然不正确；不能合并的项，在每步运算中不要漏掉.（2）法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.注意：合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数相加；合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0.3去括号与填括号 （1）去括号法则：括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号.注意：去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算，切勿漏乘；明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；若不变符号，各项都不变.例如：;abcabc abcabc ；当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号.（2）填括号法则：所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都改变符号.注意：添括号是添上括号和括号前面的“”或“”，它不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的；添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来检验.例如：;.abcabcabcabc 4整式的加减 整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是：（1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项.注意：整式运算的结果仍是整式.类型一：用字母表示数量关系 1填空题：(1)香蕉每千克售价 3 元，m 千克售价_元。(2)温度由 5上升 t后是_。(3)每台电脑售价x 元，降价 10后每台售价为_元。(4)某人完成一项工程需要 a天，此人的工作效率为_。思路点拨：用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表达出来。举一反三：变式 某校学生给“希望小学”邮寄每册元的图书 240 册，若每册图书的邮费为书价的 5，则共需邮费_元。类型二：整式的概念 2指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。(1)x1；(2)a2；(3)；(4)SR2；(5)；(6)总结升华：判断是不是整式，关键是了解整式的概念，注意整式与等式、不等式的区别，等式含有等号，不等式含有不等号，而整式不能含有这些符号。举一反三：变式把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。x2y，ab，xy25，29，2ax9b5，600 xz，axy，xyz1，。分析：本题的实质就是识别单项式、多项式和整式。单项式中数和字母、字母和字母之间必须是相乘的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。类型三：同类项 3若与是同类项，那么 a,b 的值分别是（）（A）a=2,b=1。（B）a=2,b=1。（C）a=2,b=1。（D）a=2,b=1。思路点拨:解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同，要注意同类项与系数的大小没有关系。解析：由同类项的定义可得：a1=b,且 2a+b=3，解得 a=2,b=1，故选 A。举一反三：变式在下面的语句中，正确的有()a2b3与a3b2是同类项 x2yz 与zx2y是同类项；1 与是同类项；字母相同的项是同类项。A、1个 B、2 个 C、3个 D、4 个 解析：中a2b3与a3b2所含的字母都是 a，b，但 a的次数分别是 2,3，b的次数分别是 3,2，所以它们不是同类项；中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以x2yz 与zx2y是同类项；不含字母的项(常数项)都是同类项，正确，根据可知不正确。故选B。类型四：整式的加减 4化简 mn（m+n）的结果是（）（A）0。（B）2m。（C）2n。（D）2m2n。思路点拨：按去括号的法则进行计算，括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符号。解析：原式=mnmn=2n，故选（C）。举一反三：变式 计算：2xy+3xy=_。分析：按合并同类项的法则进行计算，把系数相加所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。注意不要出现 5x2y2的错误。答案：5xy。5（化简代入求值法）已知 x，y,求代数式(5x2y2xy23xy)(2xy5x2y2xy2)思路点拨：此题直接把 x、y的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。解析：原式5x2y2xy23xy2xy5x2y2xy25xy 当 x，y时，原式5。总结升华：求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果。应注意的问题是：当整式中有同类项时，应先合并同类项化简原式，再代入求值。举一反三：变式 1 当 x0，x，x-2 时，分别求代数式的 2x2x1的值。解：当 x0 时，2x2x1202011；当 x时，2x2x12；当 x-2时，2x2x12（-2）2（-2）124+2111。总结升华：一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；当整式中没有同类项时，直接代入计算，原式中的系数、指数及运算符号都不改变。但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。变式 2 先化简，再求值。3(2x2y3xy2)(xy23x2y)，其中 x，y1。解：3(2x2y3xy2)(xy23x2y)(6x2y9xy2)xy23x2y 6x2y9xy2xy23x2y9x2y10 xy2。当 x，y1 时，原式9(1)10(1)2。总结升华：解题的基本规律是先把原式化简为 9x2y10 xy2，再代入求值，化简降低了运算难度，使计算更加简便，体现了化繁为简，化难为易的转化思想。变式 3 求下列各式的值。(1)(2x2x1)，其中 x(2)2mn(3m)3(2nmn)，其中 mn2，mn3。分析：此题由已知条件无法求出 x 的值，故考虑整体代入。解析：x2x10，x21x，x32x27x(1x)2(1x)7xx222x7-x2-x-5（-x2-x+1）-6=6。变式 2 当 x1 时，代数式 px3qx1的值为 2003，则当 x1时，代数式px3qx1 的值为()A、2001 B、2002 C、2003 D、2001 分析：这是一道求值的选择题，显然 p，q的值都不知道，仔细观察题目，不难发现所求的值与已知值之间的关系。解析：当 x1 时，px3qx1pq12003，而当 x1时，px3qx1pq1，可以把 pq看做一个整体，由 pq12003 得 pq2002，于是pq(pq)2002，所以原式200212001。故选 A。变式 3 已知 A3x32x1，B3x22x1，C2x21，则下列代数式中化简结果为 3x37x22的是()A、AB2C B、AB2C C、AB2C D、AB2C 分析：将 A，B，C 的式子分别代入 A，B，C，D四个选项中检验，如：AB2C3x32x1(3x22x1)2(2x21)3x32x13x22x14x223x37x22。答案：C 变式 4 化简求值。(1)3(abc)8(abc)7(abc)4(abc)，其中 b2(2)已知 ab2，求 2(ab)ab9 的值。分析：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将 abc，abc分别视为一个“整体”，这样化简较为简便；(2)若想先求出 a，b 的值，再代入求值，显然行不通，应视 ab为一个“整体”。解析：(1)原式3(abc)7(abc)8(abc)4(abc)4(abc)4(abc)4a4b4c4a4b4c8b。因为 b2，所以原式8216。(2)原式2(ab)(ab)9 (ab)9 因为 ab2，所以原式2911。类型六：综合应用 7已知多项式 3(ax22x1)(9x26x7)的值与 x 无关，试求 5a22(a23a4)的值。思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为 0 即可.解析：3(ax22x1)(9x26x7)3ax26x39x26x7(3a9)x24。因为原式的值与 x 无关，故 3a90，所以 a3。又因为 5a22(a23a4)5a22a26a83a26a8，所以当 a3时，原式33263837。总结升华：解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件和所求，当题目中的条件或所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化。举一反三：变式 1当 a(x0)为何值时，多项式 3(ax22x1)(9x26x7)的值恒等为4。解析：3(ax22x1)(9x26x7)3ax26x39x26x7(3a9)x24。因为(3a9)x244，所以(3a9)x20。又因为 x0，故有 3a90。即 a3，所以当 a3时，多项式 3(ax22x1)(9x26x7)的值恒等于 4。变式 2当 a3 时，多项式 3(ax22x1)(9x26x7)的值为多少 解析：3(ax22x1)(9x26x7)3ax26x39x26x7 (3a9)x24，当 a3时，原式(339)x244。8已知关于 x 的多项式(a1)x5x|b2|2xb是二次三项式，则 a_，b_。分析：由题意可知 a10，即 a1，|b2|2，即 b4或 0，但当 b0时，不符合题意，所以b4。答案：1，4 举一反三：变式若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求m，n 的值 答案：m=5，n=-1 方法技巧篇一 整式的加减技巧 一、根据系数特征分组合并 同类项的合并实际上是系数的加减，因此，如何根据系数的特征进行分组合并是合并同类项时的一种技巧.例 1 计算：122xy+23x2y-（2xy+12x2y-1）+（2-322xy-23x2y）分析：先去括号，得，原式=122xy+23x2y-2xy-12x2y+1+2-322xy-23x2y，注意这个多项式共有三类，第一类是2xy，系数分别是12，-1 和-32，第二类是 x2y，系数分别是23，-12和-23，第三类是常数项，分别是 1 和 2.各类合并时，考虑各类系数的特征，易得解法如下是最简便的.解：原式=122xy+23x2y-2xy-12x2y+1+2-322xy-23x2y=（122xy-322xy）+（23x2y-23x2y）-2xy-12x2y+（1+2）=-2xy+0-2xy+3=-22xy+3.评注：按系数特征合并同类项，一般是将系数为相反数的同类项分为一组，系数能够凑整的同类项分为一组，系数是同分母的同类项分为一组.二、按整体进行合并 如果多项式出现若干部分相同，则可以把相同的这部分视为整体进行合并.例 2 计算：9（12x-1）+7（1-12x）-12x-1.分析：本题中的（1-12x）可化为-（12x-1），-12x+1 可化为-（12x-1）-2，因此，先把（12x-1）作为整体进行合并.解：原式=9（12x-1）-7（12x-1）-（12x-1）-2=（9-7-1）（12x-1）-2=（12x-1）-2=12x-3.评注：运用整体思想进行整式加减运算时，常常需要选择合适的“整体”，然后添括号，再进行合并，然后再去括号，再合并同类项.三、逆向合并 一般情况下，在合并同类项时大多是将系数相加减，但有时反过来，视系数为“类”进行合并可以收到意想不到的效果.例 3 计算：23232323xxyy-6xy；分析：注意到同分母的几组式子，将它们分别相加易于计算，于是 解：原式=（2222xy）+（3333xy）-6xy=12（x-y）-13（x-y）-6xy=111236（x-y）=0.评注：本题从系数入手，无意中构造出（x-y）这个整体，然后于运用整体思想得到了巧妙的解决，真是“无心插柳柳成荫”.由上几例可见，合并同类项与有理数运算一样，如果能够先观察一下题目特征而不急于动笔，然后针对题目特征，打破常规解法，灵活运用一些技巧，则可以起到化繁为简，事半功倍的效果.方法技巧篇二 整式的加减 一、直接代入求值法 例 当0 x、21x、2x时，分别求代数式的122 xx的值 二、化简代入求值法“当3a时，求整式27a4)14(52aaa)12(2aa的值”小亮正确求得结果为 7，而小明在计算时，错把 a=-3 看成了 a=3，但计算的结果却也正确，你相信吗你能说明为什么吗 四、探索规律题的解法 1观察题目中的不变量与变量，不变量照写，变量用序号来表示（序号为n）例 研究下列算式，你会发现什么规律请你把找出的规律用含正整数n 的公式表示 224131，239142，2416153，2525164，2将所给的条件进行适当的变形，再找规律 例 观察等式：142122，1123222，1244322，405422+1，你会发现什么规律请你把发现的规律用含正整数 n 的公式表示 3借助于图形观察找规律 例 1 柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见下图:第一层有 23 听罐头，第二层有 34 听罐头，第三层有 45 听罐头 根据这堆罐头排列的规律，第 n(n 为正整数)层有_听罐头（用含n 的式子表 例 2 图是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n 层，将图倒置后与原图拼成图的形状，这样我们可以算出图中所有圆圈的个数为2)1(.321nnn 如果图中的圆圈12 层：共有(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按圈的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，则最底层最左边这个圆圈中的数是_；(2)我们自上往下，在每个圆圈中都按圈的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和4借助于表格进行观察 例 用正方形的普通水泥砖（图中白色小正方形）和彩色水泥砖（图中灰色小正方形）按如图的方式铺人行道，像这样，第 n 个图形需要彩色水泥砖多少块 五、用字母表示数的思想 用字母表示数是代数的一个重要特点，是整个中学数学最基本的知识，是从算术过渡到代数的桥梁用字母表示数能够把数量关系一般地、简明地表示出来，它是列代数式的基础深刻理解用字母表示数的意义，掌握它的方法及规律，是学好代数的关键 图 图 图 图 例 l 如图是某个月份的日历，像图中那样，用一个十字框在图中任意圈住五个数，如果中间的数用 a表示，则圈住的五个数字的和可用含 a的代数式表示为_.例 2 如图是 2002 年 6 月份的日历，现有一长方形在日历任意框 4 个数，请用一个等式表示 a、b、c、d之间的关系：例 3 小红对小丽说：“有一种游戏，其规则是；你任想一个数，把这个数乘2，加上 6再把结果乘 2，再减去 8，再把结果除以 2，最后再减去你所想的数的 2 倍你不用告诉我你所想的数是什么，我就能知道结果”请你说明小红为什么知道结果 六、观察、比较、归纳、猜想的数学思想 例 1 观察按下列顺序排列的等式：1109，11219，21329，31439，41549，猜想：第 n 个等式（n 为正整数）可以表示成 _ 例 2 衢州市是中国历史文化名城，衢州市烂柯山是中国围棋文化的重要发样地，如图是用棋子摆成的“巨”字，那么第 4 个“巨”字的棋子数是_；按以上规律继续下去，第 n 个“巨”字所需要棋子数是 _例 3 观察图中的四个点阵，s 表示每个点阵中的点个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数 s 为()A23 n B13 n C14 n D34 n 例 4 按一定的规律排列的一列数依次为：21，31，101，151，261，351，按此规律排列下去，这列数中的第7 个数是_，用整数n 表示第 n 个数是_ 七、整体思想 所谓整体思想，就是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体，加以确定、解决，这样往往能使问题的解答简洁、明快，在求代数式的值时，有时问题中的量或字母没有直接给出，往往考虑使用“整体思想”来解答 (1)整体化简 例 已知：3ba，5 cb，求222)()()(cacbba的值(2)整体变形求解 对于某些比较复杂的条件，如果对其进行整体变形，则可收到事半功倍的效果 例 1 若02 aa，则2007222 aa的值为_ 例 2 当4baba时，求代数式)(3)(4)(2babababa的值 八、方程思想 例 1 若3221bax与643ba是同类项，求yxyyxy33332443的值例 2 若两个单项式mba232与13nnba的和仍是一个单项式，则 m=_，n=_ 九、分类讨论思想 所谓分类讨论思想，是对事物分情况加以讨论的思想，它是根据事物的特点按照某一标准不重复、不遗漏地对事物分别归类，分类讨论思想既是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，对于同学们良好的思想品质的形成具有重要意义 例 1 若2,3ba，则ba_ 例 2 化简：3b+b4 十、数形结合思想 在列代数式时，常常能遇到另外一种类型题：给你提供一定的图形，通过对图形的观察探索，搜集图形透露的信息，并根据相关的知识去列出相应的代数式 例 如图，已知小正方形的边长、圆弧的半径均为 a，计算图中阴影部分的面积 练习题：一、填空题 1在校举行的运动会上，小勇和小刚都进入了一百米决赛，小勇用了 x 秒，小刚用了 15 秒，小勇获得了冠军，小勇比小刚快_秒 2计算：（2xyy）（y+xy）=_ 3在代数式（1）ab；（2）1a；（3）2232;(4);(5);(6)21;(7);(8)323xyyabbpqx 中单项式有_；多项式有_；整式有_ 4根据去括号法则，在下面各式中方框里填“”或“”号 （1）a（b+c）=abc；（2）a（bcd）=ab+c+d 5当 x=2 时，代数式x2+2x1 的值是_ 6把多项式 2x23x+x3+2按 x 的降幂排列是_ 7有理数 a，b，c在数轴上的位置如图测所示，则abac=_ 8已知（a3）3与b1互为相反数，那么 a+b=_ 9如图测，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加 1 的规律拼成一列图案 （1）第 4 个图案中有白色纸片_张；（2）第 n 个图案中有白色纸片_张 10如果代数式 2y2+3y+7的值是 8，那么代数式 4y2+6y9的值为_ 二、化简下列各题：（1）5a4+3a2b103a2b+a41；（2）2（2x2+9y）3（5x24y）；（3）（a2ab）+（2abb2）2（a2+b2）三、化简求值（1）2x4x2y（3x2y+1），其中 x=3，y=2007；（2）xy2y224xy（3y2x2y）+5（3y2+25x2y），其中 x=1，y=2 四、某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价 200 元，领带每条定价 40元厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：买一套西装送一条领带；西装和领带都按定价的 90%付款现某客户要到该服装厂购买西装20 套，领带 x条（x20）：（1）若该客户按方案购买，需付款_元（用含 x 的代数式表示）；若该客户按方案购买，需付款_元（用含 x 的代数式表示）（2）若 x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算（3）当 x=30 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗试写出你的购买方法 整式的加减提高测试题 姓名 班级 学号 一、填空题（本题 20 分，每小题 4 分）：仅当a ，b ，c 时，等式a x2bxc x22x3 成立；仅当b ，c 时，5x 3y 2与 23 x by c是同类项；煤矿十月份生产a 吨煤，比九月份增产 45%，煤矿九月份生产煤 吨；当 3a 4 时，化简|a 3|a 6|得的结果是 ，它是一个 数；n张长为acm 的纸片，一张接一张的贴成一个长纸条，每张贴合部分的长度都是bcm，这个纸条的总长应是 cm 二、计算下列各题（本题 30 分，每小题 10 分）：5a na n（7a n）（3a n）；解：（2x33x26x5）（x36x9）；解：9x1594x（11y2x）10y2x.解：三 先化简再求代数式的值：5a 2a 2（5a 22a）2（a 23a），其中a 21；解：、a 43a b6a 2b23a b24a b6a 2b7a 2b22a 4，其中a2，b1.解：四（本题 10 分）已知a215x，且x为小于 10 的自然数，求正整数a的值 解：五（本题 10 分）代数式 15（ab）2的最大值是多少 当（ab）2 3 取最小值时，a 与b 有什么关系 解：六（本题 10 分）当a0，b0 时，化简|5b|b2a|1a|.解：整式的乘法（一）幂的乘法运算 一、知识点讲解：1、同底数幂相乘：nmaa 推广：nnnnnnnnnnaaaaa3213211（nnnnn,321都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：235()()()ababab 注意：正确处理运算中的“符号”，避免以下错误，如：等；例 1、计算：（1）52xx （2）389)2()2()2(（3）mmaa11 （4）523)()()(xyxyyx 变式练习：1、a16可以写成（）Aa8+a8 Ba8a2 Ca8a8 Da4a4 2、已知,32 x那么32x的值是 。3、计算：(1)a a3a5 （2）52)(xx （3）2233xxxx （4）(x+y)n(x+y)m+1 （5）（nm）（mn）2（nm）4 2、幂的乘方：nma 推广：321321)(nnnnnnaa（321,nnn都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(如：23326)4()4(4 例 2、计算：（1）（103）5 （2）23)(ma （3）522yx (4)532)()(mnnm 变式练习：1、计算（x5）7+（x7）5的结果是（）A2x12 B2x35 C2x70 D0 2、在下列各式的括号内，应填入 b4的是（）Ab12=（）8 Bb12=（）6 Cb12=（）3 Db12=（）2 3、计算：（1）43)(m （2）3224aa （3）5342)()(ppp (4)（m3）4+m10m2+mm3m8 3、积的乘方：nab 推广：nmnnnnmaaaaaaaa321321)(积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx 注意：正确处理运算中的“符号”，避免以下错误，如：等；二、典型例题：例 3、计算：（1）（ab）2 （2）（3x）2 （3）332)3(cba （4）32)(3yx （5）20082009)3()31(变式练习：1、如果（ambn）3=a9b12，那么 m，n 的值等于（）Am=9，n=4 Bm=3，n=4 Cm=4，n=3 Dm=9，n=6 2、下列运算正确的是（）(A)22xxx (B)22)(xyxy (C)632)(xx (D)422xxx 3、已知xn=5，yn=3，则（xy）3n=。4、计算：（1）（a）3 （2）（2x4）3 （3）24104(4)3233yx （5）32222)2()2(baba (6)1054125.0(7)333)31()32()9(8)4244aaa 243x 4、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,0都是正整数，且)nm 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab 练习（1）.计算：26aa=，25)()(aa=.（2）.计算：89)1()1(aa=.（3）.计算：23)()(mnnm_（4）.下列计算正确的是（）A（y）7（y）4=y3；B（x+y）5（x+y）=x4+y4；C（a1）6（a1）2=（a1）3；Dx5（x3）=x2.（5）计算：4325aaa的结果，正确的是（）A.7a；B.6a；C.7a；D.6a.（6）.若53 x，43 y,则yx23等于()A.254；.5、零指数 10a（0a），即任何不等于零的数的零次方等于 1。（二）整式的乘法 一、知识点讲解：1、单项式单项式（1）系数相乘作为积的系数（2）相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为一个因式（3）单独出现的字母，连同它的指数，作为一个因式 注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：xyzyx3232 二、典型例题：（1）下列计算的结果正确的是（）A（-x2）（-x）2=x4 Bx2y3x4y3z=x8y9z C（-4103）（8105）=109 D（-a-b）4（a+b）3=-（a+b）7（2）计算（-5ax）（3x2y）2的结果是（）A-45ax5y2 B-15ax5y2 C-45x5y2 D45ax5y2（3）（2xy2）（13x2y）=_；（-5a3bc）（3ac2）=_（-5ab2x）（-310a2bx3y）=_；（-3a3bc）3（-2ab2）2=_；（4）已知 am=2，an=3，则 a3m+n=_；a2m+3n=_（5）若单项式-3a2m-nb2与 4a3m+nb5m+8n同类项，那么这两个单项式的积是多少 2、单项式多项式 单项式分别乘以多项式的各项；将所得的积相加 注意：单项式与多项式相乘，积仍是一个多项式，项数与多项式的项数相同 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：)(3)32(2yxyyxx=二、典型例题：（1）（4ab2）（2b）（3x2y2x+1）（2xy）（2）（3a2b4ab25ab1）（2ab2）（3）（4a3+12a2b7a3b3）（4a2）（4）3x（2x2x+4）（5）先化简，再求值 3a（2a24a+3）2a2（3a+4），其中 a=2（6）先化简，再求值：2（a2b+ab2）2（a2b1）ab22，其中 a=2，b=2 3、多项式多项式 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。注意：运算的结果一般按某一字母的降幂或升幂排列。二、典型例题：（1）(2x3y)(3x2y)(2)(x2)(x3)(x6)(x1)（3）5x（x2+2x+1）（2x3）（x5）(4)(3x2y)(2x3y)(x3y)(3x4y)（5）2()(6)xa xxb的展开式中，2x项的系数是_（6）要使多项式（x2+px+2）（x q）不含关于 x 的二次项，则 p与 q 的关系是（）A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.乘积为1（7）.若(xa)(x2)x25xb，则 a_，b_（8）.若 a2a12，则(5a)(6a)_（9）.当 k_时，多项式 x1 与 2kx的乘积不含一次项（10）已知22322363xxaxxx中不含 3 次项，试确定a的值.（11）(2x1)(2x1)5x(x3y)4x(4x252y)，其中 x1，y2（三）乘法公式 一、知识点讲解：1、平方差公式：baba ；变式：（1）)(abba ；（2）)(baba ；（3）)(baba=；（4）)(baba=。2、完全平方公式：2)(ba=。公式变形：（1）abbaabbaba2)(2)(2222（2）abbaba4)()(22；（3）abbaba4)()(22 （4）abbaba4)()(22；（5）)(2)()(2222bababa 二、典型例题：例 2、计算：（1）(x2)(x2)（2）(5a)(-5a)（3）)52)(52(yxyx（4）222233xyyx (5)20021998 （6）4222xxx 变式练习：1、直接写出结果：（1）(xab)(xab)=；（2）(2x5y)(2x5y)=；（3）(xy)(xy)=；（4）(12b2)(b212)_ ；(5)(-2x+3)(3+2x)=；（6）（a5-b2）（a5+b2）=。2、在括号中填上适当的整式：（1）（mn）（）n2m2；（2）（13x）（）19x2 3、如图，边长为 a 的正方形中有一个边长为 b 的小正方形，若将图 1 的阴影部分拼成一个长方形，如图 2，比较图 1 和图 2 的阴影部分的面积，你能得到的公式是 。4、计算：（1）baba5252 （2）).23)(23(22baba（3）7697110 （4）(m2n2)(m2n2)（5）22225252baba （6）（abc）（abc）5、已知02,622yxyx，求5 yx的值。例 3、填空：(1)x210 x_(5)2；(2)x2_ 16(_4)2；(3)x2x_(x_)2；(4)4x2_ 9(_3)2 例 4、计算：（1）222)2(yxyx （2）(x+)2 （3）22)121(x （4）2999 例 5、已知xx13，求()1122xx；()()212xx 例 6、化简求值 2232323232babababa，其中：31,2ba。变式练习：1、设pnmnm22)23()23(，则 P 的值是（）A、mn12 B、mn24 C、mn6 D、mn48 2、若kxx6-2是完全平方式，则 k=3、若 a+b=5，ab=3，则22ba=.4、若2)1(2x，则代数式522 xx的值为 。5、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：2222)(bababa,你根据图乙能得到的数学公式是 。6、已知：_1,5122aaaa 7、计算：（1）（3a+b）2 （2）(3x25y)2 （3）(5x-3y)2 （4）(4x37y2)2 （5）（3mn5ab）2 （6）(abc)2(7)28.79 （8）22)()(yxyx 8、化简求值：22)2()2()2)(12(xxxx，其中211x 9、已知49)(2 yx，1)(2 yx，求下列各式的值：（1）22yx；（2）xy。整式的除法 整式的除法分为单项式除以单项式和多项式除以单项式，主要进行公式计算。单项式的除法 相除，把它们的系数相除，同底数的幂相减，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个。多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。单项式除以多项式，用多项式先除以单项式的每一项，再将所得的商相加，后取倒数。注意：是整个多项式取，而不是每一项分别取倒数后合并。二、典型例题：【例题】下列计算，正确的是（C）A.x4x3=x B x6x3=x2 C xx3=x4 D（xy3）2=xy6 练习：1、下列计算正确的是（D）A2a2+a2=3a4 Ba6a2=a3 Ca6a2=a12 D（-a6）2=a12 2、若 3x4，9y7，则 3x2y的值为(A)A.47 B.74 C3 D.27 例：先化简，再求值。222222xyxyx yxy，其中110,25xy 练习：14x4y2(-2xy)2=_ 32(-a2)3a3=_ 4_5x2y=5xy2 5ym+2n+6=ym+2_ 6_(-5my2z)=-m2y3z4 7(16a3-24a2)(-8a2)=_ 8(m+n)2(m-n)(m+n)2=_ 10计算：(-8x4y+12x3y2-4x2y3)(4x2y)(a+b)(a-b)(a4+a2b2+b4)(b6-a6)-3(ab)2(3a)2(-ab)3(12a3b2)(2mn)2(m2+n2)-(m2n2)3m3n4+3m2n4 162m82n4m43(n-m+1)(4xn-1yn+2)2(-xn-2yn+1)因式分解 定义：把一个在一个范围(如范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。1 意义：是中学数学中最重要的之一，它被广泛地应用于之中，在数学求根作图、解方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。特性：因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的，又为学习打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。基本结论：分解因式与整式乘法为相反。高级结论：在上因式分解有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。1、因式分解与解有密切的关系。对于和，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于和，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的，五次以上的一元方程也没有固定解法。2、所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如 x4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于 3，所以一定可以因式分解。如果有兴趣，你也可以用将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。(这是因为，由可知 n 次一元多项式总是有 n 个根，也就是说，n 次一元多项式总是可以分解为 n 个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。)3、因式分解虽然没有固定方法，但是求两个的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。4、因式分解是很困难的，但初中所接触的只是因式分解很简单的一部分，真正的因式分解需要研究生的水准，在因式分解上有重要的应用，大家可以尝试因式分解 xn-1，这道经典的考题曾经在 1978 年全国奥数竞赛中出现。各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的。公因式可以是，也可以是。具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。当各项都是时，公因式的系数应取各项系数的字母取各项的相同的字母，而且各字母的取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的。如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出负号时，多项式的各项都要变号。基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式：找公因式可按照确定公因式的