《空间向量在立体几何中的应用》教学设计.pdf
空间向量在立体几何中的应用教学设计一。教学目标（一）知识与技能1.理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；2.理解并会用空间向量解决平行与垂直问题。(二）过程与方法1。体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；2.体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程（三）情感态度与价值观1。通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想;2.培养学生向量的代数运算推理能力；3.培养学生理解、运用知识的能力二。教学重、难点重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题难点：用空间向量求二面角的余弦值三.教学方法:情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法四.教学用具：电脑、投影仪五。教学设计（一)新课导入1。提问学生：（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？（2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？（二）新课学习1.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值。（1)设l1,l2是两条异面直线，A,B是l1上的任意两点，C,D是直线l2上的任意ABCDAB CD两点,则l1,l2所成的角的余弦值为.(2）设AB是平面的斜线,且B,BC是斜线AB在平面内的射影，则斜AB BCAB BC线AB与平面所成的角的余弦值为。设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线,则AB与平面所成的角的余弦值为AB nAB n。1（3）设n1,n2是二面角l 的面,的法向量，则平面角或补角的余弦值。n1n2n1 n2就是二面角的例 1：在棱长为a的正方体ABCD ABCD中，EF分别是BC,AD的中点，（1）求直线AC与DE所成角的余弦值。（2）求直线AD与平面BEDF所成的角的余弦值.zABFDC（3）求平面BEDF与平面ABCD所成的角的余弦值。ABEGDCyx分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 AB，AD,AA，建立空间直角坐标系 A-xyz，根据已知找出相关点的坐标,然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果.a解：（1）如图建立坐标系,则A(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a,0)。2aAC (a,a,a),DE (a,0).2cos AC,DE AC DEAC DE15.1515。15与DE所成的角的余弦值为故AC（2）ADE ADF,所以AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上，又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB，建立,如图所示坐标系，则,A(0,0,0),B(a,0,a),D(0,a,0)DA(0,a,0),DB(a,a,a)cos DA,DB DADBDA DB3.33.32故AD与平面BEDF所成角的余弦值为a（3）由A(0,0,0),A(0,0,a),B(a,0,a),D(0,a,0),E(a,0)，所以平面ABCD的2法向量为m AA(0,0,a),下面求平面BEDF的法向量，设n (1,y,z)，由aanED 0y 2，n (1,2,1).ED (a,0),EB (0,a)，z 122nEB 0cos n,m mnm n6.66.6所以，平面BEDF与平面ABCD所成的角的余弦值为课堂练习：1。如图,PA 平面ABC，AC BC,PA AC 1,BC 2,求二面角APBC的余弦值.参考答案：PzExADCBy解：建立如图所示空间直角坐标系C xyz，取PB的中点D，连DC,可证DC PB，作AE PB于E，则向量DC与EA的夹角的大小为二面角APBC的大小。A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),P(1,0,1)，D为PB的中点，12 1PEAP21(,)，在Rt PAB中,。2222EBAB332 31231,)EA (,)E分PB的比为，E(,444444312113DC (,),EADC,EA，22222313.DC 1,cos EA,DC 23312二面角APCC的余弦值为3.3引导学生归纳：用空间向量求二面角的余弦值时,是将求二面角的余弦值问题转化为求两平面的法向量的夹角的余弦值问题,这里要明确：（1）当法向量n1与n2的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量n1与n2的夹角的大小；(2)当法向量n1与n2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角的大小等于法向量n1与n2的夹角的补角 n1,n2。2.利用向量向量解决平行与垂直问题.例 2：如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14,AB 5，点 D是 AB 的中点,(I）求证：ACBC1；（II)求证：A1C/平面 CDB1.分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 CA,CB，CC1，建立空间直角坐标系Cxyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到两条直线垂直或平行。解：直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长 AC3,BC4，AB5，AC、BC、C1C 两两垂直，如图，以 C 为坐标原点，直线 CA、CB、C1C 分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（0,0，0），A（3，0，0)，C1(0，0，4）,B(0，4，0）,B1(0,4，34），D（,2，0)2（1）AC（3,0,0）,BC1（0，4,0）,ACBC10，ACBC1.4（2）设 CB1与 C1B 的交战为 E，则 E（0，2，2）.DE（3,0，4)，DE 3，0，2），AC121AC1，DEAC1。DE平面 CDB1,AC1平面 CDB1.2 AC1/平面 CDB1。引导学生归纳：(1）垂直问题转化为:判定空间向量的数量积是否为零；（2)平行问题转化为:面面平行线面平行线线平行。课堂练习:2.在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC 3,BC 4,AB 5,AA1 4，（1)求证AC BC1;（2）在AB上是否存在点D使得AC1 CD?（3）在AB上是否存在点D使得A1C/平面CDB1.参考答案:A1CAxDByC1ZB1解：直三棱柱ABC A1B1C1,AC 3,BC 4,AB 5,AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点，直线CA,CB,CC1分别为x轴y轴，z轴,建立空间直角坐标系，则C(0,0,4),A(3,0,0),C1(0,0,4)，B(0,4,0),B1(0,4,4).（1)AC (3,0,0),BC1(0,4,4),ACBC1 0,AC BC1AC BC.（2）假设在AB上存在点D，使得AC1 CD，则AD AB (3,4,0)其中0 1，则D(33,4,0)，于是CD (33,4,0)由于AC1(3,0,4)，且AC1 CD。所以99 0得1,所以在AB上存在点D使得AC1 CD，且这时点D与点B重合.（3)假设在AB上存在点D使得AC1/平面CDB1,则AD AB (3,4,0)5其中0 1则D(33,4,0)，B1D (33,44,4)又B1C (0,4,4).由于AC1(3,0,4)，AC1/平面CDB1，所以存在实数m,n,使AC1 mB1DnBC1成立，m(33)3,m(44)4n 0,4m4n 4,所以1，所以在AB上存在点D使得AC1/平面CDB1，且D使AB的中点.2引导学生感悟：空间向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算,实现了数与形的结合，在解决立体几何的夹角、平行与垂直等问题中体现出巨大的优越性.（二）课外作业1。如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ACB=90，CB=1，CA=3，AA1=6，M 为侧棱 CC1上一点,AM BA1（1）求证：AM平面A1BC；ACB（2）求二面角 BAMC 的大小；MCAB2。如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1AC2AB。CB2(1)证明:BC1平面A1CD；(2）求二面角DA1CE的正弦值6
