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数列数列与反思与反思（第一课时）教学设计（第一课时）教学设计数列数列（第一课时）教学设计与反思（第一课时）教学设计与反思问题是数学的心脏，问题意识是创造性思维能力的核问题是数学的心脏，问题意识是创造性思维能力的核心。心。怎样的问题才叫做“好”，怎样的问题才叫做“好”，罗强老师给出了精湛的描述：罗强老师给出了精湛的描述：初始性、情境性、全息性、结构性。初始性、情境性、全息性、结构性。我想，一个好的问题如同一个生动活泼、引人入胜的故事，我想，一个好的问题如同一个生动活泼、引人入胜的故事，吸引着学生兴趣盎然的步入数学殿堂；吸引着学生兴趣盎然的步入数学殿堂；一个好的问题犹如一一个好的问题犹如一颗优质的种子，让数学知识在此生根发芽，成为枝繁叶茂的颗优质的种子，让数学知识在此生根发芽，成为枝繁叶茂的参天大树；一个好的问题能让学生的思维插上翅膀，在数学参天大树；一个好的问题能让学生的思维插上翅膀，在数学的天空自由翱翔的天空自由翱翔数列数列（第一课时）教学设计（第一课时）教学设计数列整个中学数学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很数列整个中学数学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，尤其是加深了学生对函数概念的认识，尤其是加深了学生对函数概念的认识，并从函数的观点出发并从函数的观点出发来研究数列问题，使对数列的认识更深入一步；而学习数列来研究数列问题，使对数列的认识更深入一步；而学习数列又为后面学习数学归纳法等内容作了铺垫。又为后面学习数学归纳法等内容作了铺垫。同时数列还有着同时数列还有着非常广泛的实际应用，是反映自然规律的基本数学模型。有非常广泛的实际应用，是反映自然规律的基本数学模型。有助于培养学生的建模能力，发展应用意识。数列还是培养学助于培养学生的建模能力，发展应用意识。数列还是培养学生数学思维能力的好题材，自始至终贯穿着观察、分析、归生数学思维能力的好题材，自始至终贯穿着观察、分析、归纳、类比、递推、运算、概括、猜想应用等能力的培养，不纳、类比、递推、运算、概括、猜想应用等能力的培养，不仅如此，数列还是对学生进行计算、推理等基本训练、综合仅如此，数列还是对学生进行计算、推理等基本训练、综合训练的重要题材。因此学好数列有助于学生数学素养的提训练的重要题材。因此学好数列有助于学生数学素养的提第 2 页高。高。方法简述方法简述 本节课是数列第一节，是一章的学习基础。但由于是入本节课是数列第一节，是一章的学习基础。但由于是入门的第一节，概念多，知识点多，学生常感到琐碎。教学中门的第一节，概念多，知识点多，学生常感到琐碎。教学中我主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法：首先创设我主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法：首先创设情景，抓住知识的切入点，学生情感和思维的兴奋点；再通情景，抓住知识的切入点，学生情感和思维的兴奋点；再通过探究性问题的设置来启发学生思考，过探究性问题的设置来启发学生思考，使非本质特征被一一使非本质特征被一一地剥离地剥离,让本质特征更好地被揭示在学生一步步的探索过程让本质特征更好地被揭示在学生一步步的探索过程中中,并在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方并在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法；继而通过层层深入的例题配置，巩固加深学生对知识的法；继而通过层层深入的例题配置，巩固加深学生对知识的理解。理解。高二学生已经具有了一定的观察、高二学生已经具有了一定的观察、归纳能力和一定的学习能归纳能力和一定的学习能力，因此本节课一问题为载体，以学生活动为主线，有意识力，因此本节课一问题为载体，以学生活动为主线，有意识的留给学生适度的思考空间，让学生在观察中分析，在类比的留给学生适度的思考空间，让学生在观察中分析，在类比中发现，在思索中概括，在探究中获取新知，帮助学生逐步中发现，在思索中概括，在探究中获取新知，帮助学生逐步形成积极探索、合作交流的学习方式。形成积极探索、合作交流的学习方式。目标定位目标定位 学习是人对知识的内化过程，只有学生通过自己去发现、思学习是人对知识的内化过程，只有学生通过自己去发现、思考、揭示数学规律，才能更有效的促进素质和能力的提高。考、揭示数学规律，才能更有效的促进素质和能力的提高。在教学中，通过学生的探索，形成并掌握数列的概念、表示在教学中，通过学生的探索，形成并掌握数列的概念、表示法、分类；体会数列是一类特殊的函数，能用函数观点理解法、分类；体会数列是一类特殊的函数，能用函数观点理解数列相关知识；理解数列的通项公式数列相关知识；理解数列的通项公式,会根据数列的前几项会根据数列的前几项第 3 页写出某些简单数列的通项公式；在探究过程中，培养学生的写出某些简单数列的通项公式；在探究过程中，培养学生的观察、类比、归纳、概括能力，提高学生直觉思维能力；渗观察、类比、归纳、概括能力，提高学生直觉思维能力；渗透从特殊到一般、类比与转化的数学思想；培养学生积极参透从特殊到一般、类比与转化的数学思想；培养学生积极参与、大胆探索、敢于创新的思维品质以及合作意识。通过让与、大胆探索、敢于创新的思维品质以及合作意识。通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心和热爱生活的情学生体验成功，培养学生学习数学的信心和热爱生活的情感。感。教学设计教学设计 一、创设情境，引入概念一、创设情境，引入概念法法 1 1：上课伊始，老师借助多媒体讲述故事：有一个叫杰米：上课伊始，老师借助多媒体讲述故事：有一个叫杰米的人，的人，有一天他碰到一件奇怪的事，有一天他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：一个叫韦伯的人对他说：我想和你订个合同，我将在整整一个月内每天给你十万元，我想和你订个合同，我将在整整一个月内每天给你十万元，而你第一天只需给我一分钱，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的以后每天给我的钱是前一天的两倍两倍.杰米说：真的？你说话算术！合同生效了，第一天杰杰米说：真的？你说话算术！合同生效了，第一天杰米支出米支出 1 1 分钱，收入分钱，收入 1010 万元；第二天，杰米支出万元；第二天，杰米支出 2 2 分钱，分钱，收入收入 1010 万元；第三天，杰米支出万元；第三天，杰米支出 4 4 分钱，收入分钱，收入 1010 万元，到万元，到了第十天，杰米共支出了第十天，杰米共支出 1010 元元 2 2 角角 3 3 分，收入分，收入 100100 万元，到万元，到了第二十天，杰米共支出了第二十天，杰米共支出 10485751048575 元（元（1 1 万多）万多），收入，收入 200200万元，杰米想要是合同定两个月，三个月该多好啊！可从第万元，杰米想要是合同定两个月，三个月该多好啊！可从第2121 天开始，情况发生了变化：第天开始，情况发生了变化：第 2121 天杰米支出天杰米支出 1 1 万多，收万多，收入入 1010 万元万元.到第到第 2828 天，杰米支出天，杰米支出 134134 万多，收入万多，收入 1010 万元，万元，结果杰米在结果杰米在 3131 天得到天得到 310310 万元的同时，共付给韦伯万元的同时，共付给韦伯21474836472147483647 分，也就是分，也就是 20192019 多万元，杰米破产了！多万元，杰米破产了！第 4 页为什么杰米会破产？很显然的原因：没有学好数学，尤其没为什么杰米会破产？很显然的原因：没有学好数学，尤其没有学好我们即将学习的在实际生活中有着广泛应用的这一有学好我们即将学习的在实际生活中有着广泛应用的这一章数列章数列法法 2 2：以草花扑克牌引发学生探讨兴趣，草花实际上就是三：以草花扑克牌引发学生探讨兴趣，草花实际上就是三叶草，代表着祈求、希望、爱情，如果你能找到四叶草，相叶草，代表着祈求、希望、爱情，如果你能找到四叶草，相传你就找到了幸福传你就找到了幸福。从而引出斐波那契数列，让学生再找出生活中常见的数列。从而引出斐波那契数列，让学生再找出生活中常见的数列。设计意图：通过多媒体动态演示故事，使学生注意力迅速集设计意图：通过多媒体动态演示故事，使学生注意力迅速集中到所学内容上来，中到所学内容上来，并设置悬念，并设置悬念，激发学生学习数列的愿望。激发学生学习数列的愿望。二、观察归纳，形成概念二、观察归纳，形成概念教师提出问题教师提出问题 1 1：什么是数列？：什么是数列？为了方便学生的理解，再借助多媒体进行几项活动：为了方便学生的理解，再借助多媒体进行几项活动：切一刀可将一个比萨饼分成切一刀可将一个比萨饼分成 2 2 部分；部分；切两刀最多可将比萨饼切两刀最多可将比萨饼分成分成 4 4 部分；切三刀最多可将比萨饼分成部分；切三刀最多可将比萨饼分成 7 7 部分；继续切部分；继续切下去，比萨饼最多被分成的部分可得到一列数下去，比萨饼最多被分成的部分可得到一列数2，2，4 4，7 7，1111，从从 19841984 年到年到 20192019 年我国体育健儿参加年我国体育健儿参加 6 6 次按奥运会获得次按奥运会获得的金牌数：的金牌数：1515，5 5，1616，1616，2828，32.32.场地上堆放了一批钢管，场地上堆放了一批钢管，从下往上数有从下往上数有 4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1010场地上堆放了一批钢管，从上往下数有场地上堆放了一批钢管，从上往下数有 1010，9 9，8 8，7 7，6 6，5 5，4.4.第 5 页写出精确到写出精确到 1 1，0.10.1，0.010.01，0.001,的不足近似值排成一0.001,的不足近似值排成一列数：列数：3 3，3.13.1，3.143.14，3.1413.141，设计意图：培养学生观察、思考的能力。借助多媒体增强学设计意图：培养学生观察、思考的能力。借助多媒体增强学生感性认识生感性认识.教师提出：以上教师提出：以上 7 7 列数有些什么特征？学生会很快发现：有列数有些什么特征？学生会很快发现：有一定的规律。紧接着教师提出：是有一定规律，这些规律具一定的规律。紧接着教师提出：是有一定规律，这些规律具体的应该怎么说？引导学生发现：次序！体的应该怎么说？引导学生发现：次序！教师指出：为研究方便，我们把数列中的每一个数叫做这个教师指出：为研究方便，我们把数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的项，各项依次叫做第各项依次叫做第 1 1 项项（首项）（首项），第第 2 2 项，项，第第 3 3 项，项，（总之，这一项拍在数列中第几位就叫做数列的第几项）（总之，这一项拍在数列中第几位就叫做数列的第几项）再让学生每一个人举出一个数列的例子，写在草稿纸上，同再让学生每一个人举出一个数列的例子，写在草稿纸上，同桌交流。桌交流。设计意图：概念是逻辑分析的对象，具有丰富意义和内涵，设计意图：概念是逻辑分析的对象，具有丰富意义和内涵，同时又具有直观生动的背景，同时又具有直观生动的背景，因此概念课应让学生从概念的因此概念课应让学生从概念的原型或实例出发，经历概念的抽象过程，领悟直观和严谨的原型或实例出发，经历概念的抽象过程，领悟直观和严谨的关系。让学生的学习由感性升华到理性。关系。让学生的学习由感性升华到理性。二、问题导引，深化概念二、问题导引，深化概念问题问题 2 2：数列和是否为同一个数列？：数列和是否为同一个数列？在问题在问题 2 2 的解决过程中，强调了“次序”，即只有项和次序的解决过程中，强调了“次序”，即只有项和次序完全相同的数列才是同一数列。让学生发现：数列和数集的完全相同的数列才是同一数列。让学生发现：数列和数集的不同：数列中的数有序，而数集中的数无序；数列中的数可不同：数列中的数有序，而数集中的数无序；数列中的数可以相同，而集合数的数具备互异性。以相同，而集合数的数具备互异性。第 6 页设计意图：在形成概念时，也许会有学生认为数列是有一定设计意图：在形成概念时，也许会有学生认为数列是有一定规律的数的集合，通过问题规律的数的集合，通过问题 2 2 的分析，加深对概念理解，为的分析，加深对概念理解，为下面学习排除障碍。下面学习排除障碍。设计意图：数列与函数的关系是本节课的重点，在问题的导设计意图：数列与函数的关系是本节课的重点，在问题的导引下，让学生在思考交流中领悟知识，突出重点，并让学生引下，让学生在思考交流中领悟知识，突出重点，并让学生注意到数列与函数的特殊与一般的关系。注意到数列与函数的特殊与一般的关系。教师强调：用函数的观点看数列，其内容会更加丰富多彩。教师强调：用函数的观点看数列，其内容会更加丰富多彩。请一位学生回忆函数的研究内容函数的定义及性质，请一位学生回忆函数的研究内容函数的定义及性质，而而后学习了几个特殊的函数，以及函数的应用，后学习了几个特殊的函数，以及函数的应用，类比函数，你能说出数列的研究历程？数列也是这样：在掌类比函数，你能说出数列的研究历程？数列也是这样：在掌握了数列的概念之后，我们会去研究两个特殊数列，而后应握了数列的概念之后，我们会去研究两个特殊数列，而后应用所学习的数列知识解决问题。用所学习的数列知识解决问题。设计意图：尝试着让学生运用类比，自己发现将要研究的内设计意图：尝试着让学生运用类比，自己发现将要研究的内容，提高学生的问题意识。容，提高学生的问题意识。问题问题 5 5：类比函数的表示方法，你认为数列常见的表示方法：类比函数的表示方法，你认为数列常见的表示方法有哪些？有哪些？让学生思考、讨论后回答：让学生思考、讨论后回答：1.1.列表法（有时也称为列举法）列表法（有时也称为列举法）：函数：函数是两行，数列一行即可是两行，数列一行即可.前面的数列，数列的一般形式给出前面的数列，数列的一般形式给出的都是列举法；的都是列举法；2.2.图象法；图象法；3.3.解析法。解析法。问题问题 6 6：数列的图象是什么样子？：数列的图象是什么样子？让学生先在笔记本上画出数列的图象，让学生先在笔记本上画出数列的图象，并在投影仪展并在投影仪展第 7 页示，让学生观察得出：示，让学生观察得出：怎样分类？即根据项数是有限的还是无限的分为：怎样分类？即根据项数是有限的还是无限的分为：有穷数列有穷数列和无穷数列，再对这和无穷数列，再对这 7 7 个数列进行判断。个数列进行判断。设计意图：自己画图，使学生对数列图象迅速理解，而且所设计意图：自己画图，使学生对数列图象迅速理解，而且所选的三个图象恰好引出数列分类知识，使课堂前后连贯，知选的三个图象恰好引出数列分类知识，使课堂前后连贯，知识过渡自然。识过渡自然。）数列是特殊的函数，而函数最常见的表示方法是解析法，本数列是特殊的函数，而函数最常见的表示方法是解析法，本节课先研究节课先研究列的通项公式。需注意的是：通项公式是解析法表示数列中列的通项公式。需注意的是：通项公式是解析法表示数列中的一种，下节课还要学习其他的解析法。的一种，下节课还要学习其他的解析法。设计意图：通过设置问题设计意图：通过设置问题 2-62-6，使学生在思考、讨论、交流，使学生在思考、讨论、交流中深化了数列概念。中深化了数列概念。四、典例剖析，应用概念四、典例剖析，应用概念在研究函数的时候，在研究函数的时候，函数的很多性质常常是通过解析式来研函数的很多性质常常是通过解析式来研究，那么数列的很多问题自然是通过通项公式来研究，也就究，那么数列的很多问题自然是通过通项公式来研究，也就是说通项公式在数列中有着非常重要的作用。是说通项公式在数列中有着非常重要的作用。有的题还要借助分子和分母之间的关系有的题还要借助分子和分母之间的关系教师提出：已知数列的前几项，用观察法写出数列的一个通教师提出：已知数列的前几项，用观察法写出数列的一个通项公式应该怎样思考？让学生讨论回答：概括一下主要有项公式应该怎样思考？让学生讨论回答：概括一下主要有 2 2个方面：个方面：1.1.要注意观察数列中项与序号的关系；要注意观察数列中项与序号的关系；2.2.要注意观要注意观察数列中项的几大特征如：符号特征；相邻项之间的关系；察数列中项的几大特征如：符号特征；相邻项之间的关系；分子分母的独立特征以及相互关系，分子分母的独立特征以及相互关系，然后在此基础上化归一然后在此基础上化归一第 8 页下，下，联想一下转化为我们已知的，联想一下转化为我们已知的，熟悉的数列，熟悉的数列，而后写出来。而后写出来。设计意图：为了使学生能熟练应用刚学知识，达到巩固提高设计意图：为了使学生能熟练应用刚学知识，达到巩固提高的效果，设计以上两道例题，用议一议、试一试、做一做、的效果，设计以上两道例题，用议一议、试一试、做一做、变式训练的形式，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引变式训练的形式，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知识。并通过及时总结，使学生从会做一个题到导来巩固新知识。并通过及时总结，使学生从会做一个题到会做一类题。会做一类题。五、归纳反思，提高认识五、归纳反思，提高认识让学生从知识和方法上总结一下本节课的收获：让学生从知识和方法上总结一下本节课的收获：1 1、知识要点：数列的定义；数列的项；数列的通项公式；、知识要点：数列的定义；数列的项；数列的通项公式；数列的三种表示方法；数列的分类。数列的三种表示方法；数列的分类。2 2、数学思想：从特殊到一般以及分类、转化的思想。、数学思想：从特殊到一般以及分类、转化的思想。3 3、写出一个通项公式的常用技巧：、写出一个通项公式的常用技巧：设计意图：对教学内容归纳、疏理，小结本节课渗透的数学设计意图：对教学内容归纳、疏理，小结本节课渗透的数学思想方法，便于学生课后复习。使学生更深刻地理解数学思思想方法，便于学生课后复习。使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的并且逐渐培养学生的良好的个性品质。个性品质。六、布置作业，延伸课堂六、布置作业，延伸课堂设计意图；学生已经初步掌握了探究数列规律的一般方法，设计意图；学生已经初步掌握了探究数列规律的一般方法，有待进一步提高认知水平，有待进一步提高认知水平，针对学生素质的差异设计了有层针对学生素质的差异设计了有层次的训练题，留给学生课后自主探究，这样既使学生掌握基次的训练题，留给学生课后自主探究，这样既使学生掌握基础知识，又使学有佘力的学生有所提高。础知识，又使学有佘力的学生有所提高。第 9 页 教学反思教学反思 本堂课的教学，在提出问题与解决问题、独立思考与合作交本堂课的教学，在提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等的有机结合中，有序和谐、民主平等地展开。在教学设流等的有机结合中，有序和谐、民主平等地展开。在教学设计中通过丰富的实例引入概念，计中通过丰富的实例引入概念，鼓励学生动脑、鼓励学生动脑、动手、动手、动口，动口，经历观察归纳、探索交流、分析问题解决问题的过程，收获经历观察归纳、探索交流、分析问题解决问题的过程，收获新知和方法，提高数学素养。教学过程中通过环环相扣、设新知和方法，提高数学素养。教学过程中通过环环相扣、设置得当的问题链，激活学生的思维、唤起学生的热情、完善置得当的问题链，激活学生的思维、唤起学生的热情、完善学生的知识结构，学生的知识结构，使学生整堂课始终处在一种积极的学习状使学生整堂课始终处在一种积极的学习状态中：看得专心、听得认真、做得投入、说得流畅、合作得态中：看得专心、听得认真、做得投入、说得流畅、合作得愉快。愉快。另外，本节课在指导学生进行反思上也做了一定工作，反思另外，本节课在指导学生进行反思上也做了一定工作，反思可以说是学生认知水平从低级到高级发展的一个主要环节，可以说是学生认知水平从低级到高级发展的一个主要环节，所谓反思也是解决问题后自问几个为什么，所谓反思也是解决问题后自问几个为什么，为下次解决问题为下次解决问题获得有用的经验和教训，从而引导学生不断总结经验教训，获得有用的经验和教训，从而引导学生不断总结经验教训，真正领悟到数学思想方法，以达到优化学生认知结构，促使真正领悟到数学思想方法，以达到优化学生认知结构，促使学生思维升华，由此达到提高学生学习数学能力之目的。学生思维升华，由此达到提高学生学习数学能力之目的。第 10 页