点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用.pdf
.点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用x2y2定理定理在椭圆在椭圆221（ab0 0）中，若直线）中，若直线l与椭圆相交于与椭圆相交于 MM、N N 两点，点两点，点P(x0,y0)aby0b2是弦是弦 MNMN 的中点，弦的中点，弦 MNMN 所在的直线所在的直线l的斜率为的斜率为kMN，则，则kMN 2.x0a证明：设 M、N 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，x12y12221,(1)ab则有22x2y21.(2)b2 a2x xy y(1)(2)，得122122 0.ab2222y2 y1y2 y1b2 2.x2 x1x2 x1a又 kMNy2 y1y1 y22yyyb2,.kMN 2.x2 x1x1 x22xxxax2y2同理可证，同理可证，在椭圆在椭圆221（ab0 0）中，中，若直线若直线l与椭圆相交于与椭圆相交于 MM、N N 两点，两点，点点P(x0,y0)bay0a2是弦是弦 MNMN 的中点，弦的中点，弦 MNMN 所在的直线所在的直线l的斜率为的斜率为kMN，则，则kMN 2.x0b典题妙解典题妙解y21，过点，过点M(0,1)的的例例 1 1 设椭圆方程为设椭圆方程为x 42直线直线l交椭圆于点交椭圆于点 A A、B B，O O 为坐标原点，点为坐标原点，点 P P 满足满足uuu r1uuu ruuu r1 1OP(OAOB)，点，点 N N 的坐标为的坐标为,.当当l绕点绕点22 2MM 旋转时，求：旋转时，求：（1 1）动点）动点 P P 的轨迹方程；的轨迹方程；（2 2）|NP|的最大值和最小值的最大值和最小值.解：（1）设动点 P 的坐标为(x,y).由平行四边形法则可知：点P 是弦 AB 的中点.焦点在 y 上，a 4,b 1.假设直线l的斜率存在.22ya2y 1 y由kAB 2得：4.xbxx整理，得：4x y y 0.当直线l的斜率不存在时，弦 AB 的中点 P 为坐标原点O(0,0)，也满足方程。22所求的轨迹方程为4x2 y2 y 0.1(y)2x21.1 x 1.（2）配方，得：1144164211|NP|2(x)2(y)22211(x)2 x22417 3(x)2612当x 21111.时，|NP|min；当x 时，|NP|max6446x2 y21有两个不同有两个不同例例 2 2 在直角坐标系在直角坐标系xOy中，中，经过点经过点(0,2)且斜率为且斜率为k的直线的直线l与椭圆与椭圆2的交点的交点 P P 和和 Q.Q.（1 1）求）求k的取值围；的取值围；（2 2）设椭圆与设椭圆与x轴正半轴、轴正半轴、B B，是否存在常数是否存在常数k，使得向量使得向量OPOQy轴正半轴的交点分别为轴正半轴的交点分别为A A、与与AB共线？如果存在，求共线？如果存在，求k的取值围；如果不存在，请说明理由的取值围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线l的方程为y kx 2.y kx2,22由x2得：(2k1)x 4 2kx 2 0.2 y 1.2x2 y21有两个不同的交点，直线l与椭圆2.32k28(2k21)0.解之得：k22或k.2222k的取值围是,.22x2 y21中，（2）在椭圆焦点在x轴上，a 2,b 1，A(2,0),B(0,1),AB (2,1).2设弦 PQ 的中点为M(x0,y0)，则OM (x0,y10).由平行四边形法则可知：OPOQ 2OM.OPOQ与AB共线，OM与AB共线.x02y0y2，从而0.1x02y02b221，k.由kPQ 2得：k 22x0a2由（1）可知k 2时，直线l与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数k.2x2y22例例 3 3 已知椭圆已知椭圆221（ab0 0）的左、右焦点分别为）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，离心率e，右准，右准2ab线方程为线方程为x 2.()求椭圆的标准方程；求椭圆的标准方程；()过点过点F1的直线的直线l与该椭圆相交于与该椭圆相交于 MM、N N 两点，且两点，且|F2M F2N|解：（）根据题意，得2 26，求直线，求直线l的方程的方程.3c2e,2a2a 2,b 1,c 1.所求的椭圆方程为x y21.22x a 2.c（）椭圆的焦点为F1(1,0)、F2(1,0).设直线l被椭圆所截的弦 MN 的中点为P(x,y).由平行四边形法则知：F2M F2N 2F2P.由|F2M F2N|.2 262626得：|F2P|.(x 1)2 y2.339.若直线l的斜率不存在，则l x轴，这时点P 与F1(1,0)重合，|F2M F2N|2F2F1|4，与题设相矛盾，故直线l的斜率存在.由kMNyb2yy11 2得：.y2(x2 x).xax 1 x221226(x x).29代入，得(x 1)2172，或x .331721y由可知，x 不合题意.x ，从而y .k 1.333x 1整理，得：9x2 45x 17 0.解之得：x 所求的直线l方程为y x 1，或y x 1.x2y23例例 4 4已知椭圆已知椭圆C:221（ab0 0）的离心率为）的离心率为，过右焦点，过右焦点 F F 的直线的直线l与与 C C 相交于相交于3abA A、B B 两点两点.当当l的斜率为的斜率为 1 1 时，坐标原点时，坐标原点 O O 到到l的距离为的距离为（1 1）求）求a,b的值；的值；（2 2）C C 上是否存在点上是否存在点 P P，使得当，使得当l绕绕 F F 转到某一位置时，有转到某一位置时，有OP OAOB成立？若存在，求成立？若存在，求出所有点出所有点 P P 的坐标与的坐标与l的方程；若不存在，说明理由的方程；若不存在，说明理由.解：（1）椭圆的右焦点为F(c,0)，直线l的斜率为 1 时，则其方程为y x c，即x y c 0.2.2原点 O 到l的距离：d|00c|22c2，c 1.22又e c3，a 3.从而b 2.a 3，b 2.a3x2y21.设弦 AB 的中点为Q(x,y).由OP OAOB可知，点 Q 是（2）椭圆的方程为324x2 2y21.线段 OP 的中点，点 P 的坐标为(2x,2y).3若直线l的斜率不存在，则l x轴，这时点Q 与F(1,0)重合，OP (2,0)，点P 不在椭圆上，故直线l的斜率存在.yb2yy22由kAB 2得：.y2(x2 x).xax 1 x33.由和解得：x 32,y .44当x 3232y,y)，直线l的方程为时，kAB 2，点 P 的坐标为(,4422x 12x y 2 0；当x 3232y,y )，直线l的方程为时，kAB2，点 P 的坐标为(,4422x 12x y 2 0.金指点睛金指点睛1.1.已知椭圆已知椭圆x 2y 4，则以，则以(1,1)为中点的弦的长度为（为中点的弦的长度为（）22A.A.3 2B.B.2 3C.C.303 6D.D.32x2y22.2.（0606）椭圆椭圆Q:221（ab0 0）的右焦点为的右焦点为F(c,0)，过点过点 F F 的一动直线的一动直线 mm 绕点绕点 F F 转动，转动，ab并且交椭圆于并且交椭圆于 A A、B B 两点，两点，P P 为线段为线段 ABAB 的中点的中点.（1 1）求点）求点 P P 的轨迹的轨迹 H H 的方程；的方程；（2 2）略）略.3 3（0505）（1 1）求右焦点坐标是）求右焦点坐标是(2,0)且过点且过点(2,2)的椭圆的标准方程；的椭圆的标准方程；x2y2（2 2）已知椭圆）已知椭圆C C 的方程为的方程为221（ab0 0）.设斜率为设斜率为k的直线的直线l，交椭圆，交椭圆C C 于于 A A、B B 两两ab点，点，ABAB 的中点为的中点为 M.M.证明：当直线证明：当直线l平行移动时，动点平行移动时，动点 MM 在一条过原点的定直线上；在一条过原点的定直线上；（3 3）略）略.4.(05)4.(05)设设 A A、B B 是椭圆是椭圆3x y上的两点，上的两点，点点N(1,3)是线段是线段 ABAB 的中点，的中点，线段线段 ABAB 的垂直平分线的垂直平分线与椭圆相交于与椭圆相交于 C C、D D 两点两点.（1 1）确定）确定的取值围，并求直线的取值围，并求直线 ABAB 的方程；的方程；（2 2）略）略.22y2x21的焦点为焦点，以抛物线的焦点为焦点，以抛物线x2 6 6y的准线为的准线为5.5.椭圆椭圆 C C 的中心在原点，并以双曲线的中心在原点，并以双曲线42.其中一条准线其中一条准线.（1 1）求椭圆）求椭圆 C C 的方程；的方程；（2 2）设直线）设直线l:y kx 2(k 0)与椭圆与椭圆 C C 相交于相交于 A A、B B 两点，使两点，使 A A、B B 两点关于直线两点关于直线l:y mx 1(m 0)对称，求对称，求k的值的值.参考答案参考答案x2y21，a2 4,b2 2.1.1.解：由x 2y 4得4222弦 MN 的中点(1,1)，由kMN即x 2y 3.k .yb211 2得kMN，直线 MN 的方程为y 1(x 1).xa2212x2 2y2 42由得：6y 12y 5 0.x 2y 3设M(x1,y1),N(x2,y2)，则y1 y2 2,y1y25.6|MN|(15(43031)(y1 y2)24y1y22k10)3故答案选 C.yb2yyb2 2，2.2.解：（1）设点 P 的坐标为(x,y)，由kAB 2得：xx cxaa整理，得：b x a y b cx 0.22222点 P 的轨迹 H 的方程为b2x2 a2y2b2cx 0.3 3解：（1）右焦点坐标是(2,0)，左焦点坐标是(2,0).c 2.由椭圆的第一定义知，2a 222b a c 4.a 2 2.(22)2(2)2(2 2)2(2)2 4 2，x2y21.所求椭圆的标准方程为84.yb2yb222（2）设点 M 的坐标为(x,y)，由kAB 2得：k 2，整理得：b x a ky 0.xxaaa、b、k 为定值，当直线l平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线b2x a2ky 0上.4.4.解：（1）点N(1,3)在椭圆3x y，31232，即12.22的取值围是(12,).由3x y得22y2x231，a2,b23，焦点在 y 轴上.若直线 AB 的斜率不存在，则直线 AB x轴，根据椭圆的对称性，线段 AB 的中点 N 在 x 轴上，不合题意，故直线 AB 的斜率存在.3ya2由kAB 2得：kAB，kAB 1.1xb3所求直线 AB 的方程为y 3 1(x 1)，即x y 4 0.从而线段 AB 的垂直平分线 CD 的方程为y 3 1(x 1)，即x y 2 0.y2x21中，a 2,b 2,c a2b26，5.解：（1）在双曲线42焦点为F1(0,6),F2(,6).2在抛物线x 2 6y中，p 6，准线为y 6.2a26在椭圆中，.从而a 3,b 3.c2y2x21.所求椭圆 C 的方程为93（2）设弦 AB 的中点为P(x0,y0)，则点 P 是直线l与直线l的交点，且直线l l.m 1.kyy0a2由kAB 2得：k 0 3，ky0 3x0.x0 x0b.1 x01得：ky0 x0 k.kk3由、得：x0,y0.22由y0 又y0 kx0 2，3k k 2，即k21.22k 1.在y kx 2中，当x 0时，y 2，即直线l经过定点M(0,2).而定点M(0,2)在椭圆的部，故直线l与椭圆一定相交于两个不同的交点.k的值为1.
