第2章2.2直线和圆的参数方程.pdf
第 2 章 2.2 直线和圆的参数方程 第 2 页 2.2 直线和圆的参数方程 2.2.1 直线的参数方程 2.2.2 圆的参数方程 1.理解直线的参数方程.难点2.掌握圆的参数方程.重点 基础初探 1.直线的参数方程(1)经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为(2)的直线 l 的参数方程为 xx0tcos yy0tsin(t 为参数)，其中参数 t 的几何意义是：|t|是直线 l 上任一点 M(x，y)到点 M0(x0，y0)的距离，即|t|M0M|.(2)设直线过点 M0(x0，y0)，且与平面向量 a(l，m)平行(或称直线与 a 共线，其中 l，m 都不为 0)，直线的参数方程的一般形式为 xx0ltyy0mt tR.2.圆的参数方程 若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程为 xx0Rcos yy0Rsin 02.特别地，若圆心在原点，半径为 R，则圆的参数方程为 xRcos yRsin.思考探究 l 的倾斜角 0，则直线 l 的参数方程是什么？【提示】参数方程为 xx0t，yy0.2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】过定点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 第 3 页 xx0tcos，yy0tsin，(t 为参数)，其中 t 表示直线 l 上以定点 M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的向量M0M的长度，即|t|M0M|.当 t0 时，M0M的方向向上；当 t0 时，M0M的方向向下；当 t0 时，点 M 与点 M0重合.自主测评 x1tcos y2tsin(为参数，0)必过点()A.(1，2)B.(1,2)C.(2,1)D.(2，1)【解析】直线表示过点(1，2)的直线.【答案】A l 的参数方程为 x122ty222t(t 为参数)，则直线 l 的斜率为()B.1 C.22 D.22【解析】消去参数 t，得方程 xy10，直线 l 的斜率 k1.【答案】B xcos y1sin(为参数)化成普通方程为_.【解析】xcos y1sin(为参数)，第 4 页 xcos y1sin (为参数).22得 x2(y1)21，此即为所求普通方程.【答案】x2(y1)21 x12ty23t(t 为参数)与直线 4xky1 垂直，则常数 k_.【解析】将 x12ty23t化为 y32x72，斜率 k132，显然 k0 时，直线 4xky1 与上述直线不垂直.k0，从而直线 4xky1 的斜率 k24k.依题意 k1k21，即4k(32)1，k6.【答案】6 质疑手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：类型一 直线的参数方程 已知直线 l：x 332ty212t(t 为参数).(1)求直线 l 的倾斜角；(2)若点 M(3 3，0)在直线 l 上，求 t，并说明 t 的几何意义.【精彩点拨】将直线 l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数 第 5 页 的几何意义，求得 t.【尝试解答】(1)由于直线 l：x 3tcos6y2tsin6(t 为参数)表示过点 M0(3，2)且倾斜角为6的直线，故直线 l 的倾斜角 6.(2)由(1)知，直线 l 的单位方向向量 e(cos6，sin6)(32，12).M0(3，2)，M(3 3，0)，M0M(2 3，2)4(32，12)4e，点 M 对应的参数 t4，几何意义为|M0M|4，且M0M与 e 方向相反(即点 M 在直线 l 上点 M0的左下方).1.一条直线可以由定点 M0(x0，y0)，倾斜角(0)惟一确定，直线上的动点 M(x，y)的参数方程为 xx0tcos yy0tsin(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式.2.直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定点 M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是 xx0atyy0bt(a、b 为常数，t 为参数).再练一题 l 过点 P(3,3)，且倾斜角为56.【导学号：62790011】(1)写出直线 l 的参数方程；第 6 页(2)设此直线与曲线 C：x2cos y4sin(为参数)交于 A，B 两点，求|PA|PB|.【解】(1)直线 l 的参数方程为 x3tcos56332ty3tsin563t2(t 为参数).(2)把曲线 C 的参数方程中参数 消去，得 4x2y2160.把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中，得 4332t2(312t)2160.即 13t24(312 3)t1160.由 t 的几何意义，知|PA|PB|t1t2|，故|PA|PB|t1t2|11613.类型二 圆的参数方程及应用 设曲线 C 的参数方程为 x23cos y13sin(为参数)，直线 l 的方程为 x3y20，则曲线 C 上到直线 l 距离为7 1010的点的个数为()【精彩点拨】求曲线 C 的几何特征，化参数方程为普通方程(x2)2(y1)29，根据圆心到直线 l 的距离与半径大小作出判定.【尝试解答】由 x23cos，y13sin.得(x2)2(y1)29.第 7 页 曲线 C 表示以(2，1)为圆心，以 3 为半径的圆，则圆心 C(2，1)到直线 l 的距离 d7107 10103，所以直线与圆相交.所以过圆心(2，1)与 l 平行的直线与圆的2 个交点满足题意，又 3d0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos.(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan 02，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a.【命题立意】知识：曲线的参数方程与极坐标方程.能力：通过参数方程与极坐标方程的互化，考查转化与化归的数学思想方法.试题难度：中.第 10 页【解】(1)消去参数 t 得到 C1的普通方程为 x2(y1)2a2，则 C1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.将 xcos，ysin 代入 C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为 22sin 1a20.(2)曲线 C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 22sin 1a20，4cos.若 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a20，由已知 tan 2，可得 16cos28sin cos 0，从而 1a20，解得 a1(舍去)或 a1.当 a1 时，极点也为 C1，C2的公共点，且在 C3上.所以 a1.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)
