1.4定积分和微积分基本定理练习题集与答案解析.pdf

1.4 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011一中月考)求曲线 yx2 与 yx 所围成图形的面积，其中正确的是()AS01(x2x)dx BS01(xx2)dx CS01(y2y)dy DS01(yy)dy 答案 B 分析 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数 解析 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是 1，下限是 0，由于在0,1上，xx2，故函数 yx2 与 yx 所围成图形的面积 S01(xx2)dx.2(2010日照模考)a02xdx，b02exdx，c02sinxdx，则 a、b、c 的大小关系是()Aacb Babc Ccba Dca2，c02sinxdxcosx|021cos2(1,2)，cab.3(2010理，7)由曲线 yx2，yx3 围成的封闭图形面积为()A.112 B.14 C.13 D.712 答案 A 解析 由 yx2yx3得交点为(0,0)，(1,1)S01(x2x3)dx 13x314x401112.点评 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010师大附中)设点 P 在曲线 yx2 上从原点到 A(2,4)移动，如果把由直线 OP，直线yx2及直线 x2所围成的面积分别记作 S1，S2.如图所示，当S1S2时，点P的坐标是()A.43，169 B.45，169 C.43，157 D.45，137 答案 A 解析 设 P(t，t2)(0t2)，则直线 OP：ytx，S10t(txx2)dxt36；S2t2(x2tx)dx832tt36，若 S1S2，则 t43，P43，169.4由三条直线 x0、x2、y0 和曲线 yx3 所围成的图形的面积为()A4 B.43 C.185 D6 答案 A 解析 S02x3dx x44024.5(2010省考试院调研)11(sinx1)dx 的值为()A0 B2 C22cos1 D22cos1 答案 B 解析 11(sinx1)dx(cosxx)|11(cos11)(cos(1)1)2.6曲线 ycosx(0 x2)与直线 y1 所围成的图形面积是()A2 B3 C.32 D 答案 A 解析 如右图，S02(1cosx)dx(xsinx)|022.点评 此题可利用余弦函数的对称性面积相等解决，但若把积分区间改为6，则对称性就无能为力了 7函数 F(x)0 xt(t4)dt 在1,5上()A有最大值 0，无最小值 B有最大值 0 和最小值323 C有最小值323，无最大值 D既无最大值也无最小值 答案 B 解析 F(x)x(x4)，令 F(x)0，得 x10，x24，F(1)73，F(0)0，F(4)323，F(5)253.最大值为 0，最小值为323.点评 一般地，F(x)0 x(t)dt 的导数 F(x)(x)8已知等差数列an的前 n 项和 Sn2n2n，函数 f(x)1x1tdt，若 f(x)a3，则 x 的取值围是()A.36，B(0，e21)C(e11，e)D(0，e11)答案 D 解析 f(x)1x1tdtlnt|1xlnx，a3S3S2211011，由 lnx11 得，0 xe11.9(2010一中)如图所示，在一个长为，宽为 2 的矩形 OABC，曲线 ysinx(0 x)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 随机投一点(该点落在矩形 OABC 任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 解析 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积由题意得 S0sinxdxcosx|0(coscos0)2，再根据几何概型的算法易知所求概率 PSS矩形OABC221.10(2010质检)函数 f(x)x22x02cosx0 x2的图象与 x 轴所围成的图形面积 S为()A.32 B1 C4 D.12 答案 C 解析 面积 S22f(x)dx02(x2)dx202cosxdx224.11(2010二十中)设函数 f(x)xx，其中x表示不超过 x 的最大整数，如1.22，1.21，11.又函数 g(x)x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m，f(x)与 g(x)的图象交点的个数记为 n，则mn g(x)dx 的值是()A52 B43 C54 D76 答案 A 解析 由题意可得，当 0 x1 时，x0，f(x)x，当 1x2 时，x1，f(x)x1，所以当 x(0,2)时，函数 f(x)有一个零点，由函数 f(x)与 g(x)的图象可知两个函数有 4 个交点，所以 m1，n4，则mn g(x)dx14x3dx x261452.11(2010调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间0,1上随机等可能地抽取一个实数记为 b，乙从区间0,1上随机等可能地抽取一个实数记为 c(b、c 可以相等)，若关于 x 的方程 x22bxc0 有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为()A.13 B.23 C.12 D.34 答案 A 解析 方程 x22bxc0 有实根的充要条件为 4b24c0，即 b2c，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为 p01b2db1113.12(2010省调研)已知正方形四个顶点分别为 O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线 yx2(x0)与 x 轴，直线 x1 构成区域 M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域 M 的概率是()A.12 B.14 C.13 D.25 答案 C 解析 如图，正方形面积 1，区域 M 的面积为 S01x2dx13x3|0113，故所求概率 p13.2如图，阴影部分面积等于()A23 B23 C.323 D.353 答案 C 解析 图中阴影部分面积为 S-31 (3x22x)dx(3x13x3x2)|1 3323.3.024x2dx()A4 B2 C D.2 答案 C 解析 令 y4x2，则 x2y24(y0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，S1422.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶甲车、乙车的速度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如图所示)那么对于图中给定的 t0 和 t1，下列判断中一定正确的是()A在 t1 时刻，甲车在乙车前面 B在 t1 时刻，甲车在乙车后面 C在 t0 时刻，两车的位置相同 Dt0 时刻后，乙车在甲车前面 答案 A 解析 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在 t0，t1 时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题 根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数 v(t)的图象与 t 轴以及时间段围成区域的面积从图象知：在 t0 时刻，v 甲的图象与 t 轴和 t0，tt0 围成区域的面积大于 v 乙的图象与 t 轴和 t0，tt0 围成区域的面积，因此，在 t0 时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项 C，D 错误；同样，在 t1 时刻，v 甲的图象与 t 轴和 tt1 围成区域的面积，仍然大于 v 乙的图象与 t 轴和 tt1 围成区域的面积，所以，可以断定：在 t1 时刻，甲车还是在乙车的前面所以选 A.5(2012日照模拟)向平面区域(x，y)|4x4，0y1随机投掷一点，该点落在曲线 ycos2x 下方的概率是()A.4 B.12 C.21 D.2 答案 D 解 析 平 面 区 域是 矩 形 区 域，其 面 积 是2，在 这 个 区 6(sinxcosx)dx 的值是()A0 B.4 C2 D2 答案 D 解析 (sinxcosx)dx(cosxsinx)2.7(2010模拟)02(2|1x|)dx_.答案 3 解析 y 1x 0 x13x 1x2，02(2|1x|)dx01(1x)dx12(3x)dx(x12x2)|1 0(3x12x2)|2 132323.8(2010十二中)已知函数 f(x)3x22x1，若11f(x)dx2f(a)成立，则 a_.答案 1 或13 解析 11f(x)dx11(3x22x1)dx(x3x2x)|1 14，11f(x)dx2f(a)，6a24a24，a1 或13.9已知 a20(sinxcosx)dx，则二项式(ax1x)6 的展开式中含 x2 项的系数是_ 答案 192 解析 由已知得 a20(sinxcosx)dx(cosxsinx)|20(sin2cos2)(sin0cos0)2，(2x1x)6 的展开式中第 r1 项是 Tr1(1)rCr 626rx3r，令 3r2 得，r1，故其系数为(1)1C1 625192.10有一条直线与抛物线 yx2 相交于 A、B 两点，线段 AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程 解析 设直线与抛物线的两个交点分别为 A(a，a2)，B(b，b2)，不妨设 ab，则直线 AB 的方程为 ya2b2a2ba(xa)，即 y(ab)xab.则直线AB与抛物线围成图形的面积为Sab(ab)xabx2dx(ab2x2abxx33)|b a16(ba)3，16(ba)343，解得 ba2.设线段 AB 的中点坐标为 P(x，y)，其中 xab2，ya2b22.将 ba2 代入得 xa1，ya22a2.消去 a 得 yx21.线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为 yx21.能力拓展提升 11.(2012二测)等比数列an中，a36，前三项和 S3034xdx，则公比 q 的值为()A1 B12 C1 或12 D1 或12 答案 C 解析 因为 S3034xdx2x2|3 018，所以6q6q2618，化简得 2q2q10，解得 q1 或 q12，故选 C.12(2012模拟)已知(xlnx)lnx1，则1elnxdx()A1 Be Ce1 De1 答案 A 解析 由(xlnx)lnx1，联想到(xlnxx)(lnx1)1lnx，于是1elnxdx(xlnxx)|e 1(elnee)(1ln11)1.13抛物线 y22x 与直线 y4x 围成的平面图形的面积为_ 答案 18 解析 由方程组 y22x，y4x，解得两交点 A(2,2)、B(8，4)，选 y 作为积分变量 xy22、x4y，S-42 (4y)y22dy(4yy22y36)|2 418.14.已知函数 f(x)ex1，直线 l1：x1，l2：yet1(t 为常数，且 0t1)直线 l1，l2与函数 f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域所示，其面积用 S2 表示直线 l2，y 轴与函数 f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域所示，其面积用 S1 表示当 t 变化时，阴影部分的面积的最小值为_ 答案(e1)2 解析 由题意得 S1S20t(et1ex1)dxt1(ex1et1)dx0t(etex)dxt1(exet)dx(xetex)|t 0(exxet)|1 t(2t3)ete1，令 g(t)(2t3)ete1(0t1)，则 g(t)2et(2t3)et(2t1)et，令 g(t)0，得 t12，当 t0，12)时，g(t)0，g(t)是增函数，因此 g(t)的最小值为 g(12)e12e12(e1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e1)2.15求下列定积分(1)11|x|dx;(2)0cos2x2dx；(3)e121x1dx.解析(1)11|x|dx201xdx212x2|1 01.(2)0cos2x2dx01cosx2dx12x|012sinx|02.(3)e121x1dxln(x1)|e121.16已知函数 f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与 x 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求 a 的值 解析 f(x)3x22axb，f(0)0，b0，f(x)x3ax2，令 f(x)0，得 x0 或 xa(a0)S 阴影a00(x3ax2)dx(14x413ax3)|0 a112a4112，a0，a1.1(2011质检)已知函数 f(x)sin5x1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求 f(x)dx 的值，结果是()A.162 B C1 D0 答案 B 解析 f(x)dxsin5xdx1dx，由于函数 ysin5x 是奇函数，所以 sin5xdx0，而 1dxx|22，故选 B.2若函数 f(x)x1 1x0，cosx 0 x2，20sinxdx2 221222.4设函数 f(x)ax2c(a0)，若01f(x)dxf(x0)，0 x01，则 x0 的值为_ 答案 33 解析 01f(x)dx01(ax2c)dx(ax33cx)|1 0a3c，故a3cax2 0c，即 ax2 0a3，又a0，所以 x2 013，又 0 x01，所以 x033.故填33.5设 n12(3x22)dx，则(x2x)n 展开式中含 x2 项的系数是_ 答案 40 解析(x32x)3x22，n12(3x22)dx(x32x)|2 1(2322)(12)5.(x2x)5 的通项公式为 Tr1Cr 5x5r(2x)r(2)rCr 5x53r2，令 53r22，得 r2，x2 项的系数是(2)2C2 540.