2020高考数学(文科)历年高考题汇总专题复习：第四章平面向量(含两年高考一年模拟).pdf

第四章 平面向量 考点 14 平面向量的概念与运算 两年高考真题演练 1(2019新课标全国)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量AC(4，3)，则向量BC()A(7，4)B(7，4)C(1，4)D(1，4)2(2019四川)设向量 a(2，4)与向量 b(x，6)共线，则实数 x()A2 B3 C4 D6 3(2019新课标全国)已知 a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a()A1 B0 C1 D2 4(2019重庆)已知非零向量 a，b 满足|b|4|a|，且 a(2ab)，则 a 与 b 的夹角为()A.3 B.2 C.23 D.56 5(2019广东)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB(1，2)，AD(2，1)，则ADAC()A5 B4 C3 D2 6(2019北京)设 a，b 是非零向量，“ab|a|b|”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7(2019陕西)对任意平面向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2 8(2019江苏)已知向量 a(2，1)，b(1，2)，若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_ 9(2019湖北)已知向量OAAB，|OA|3，则OA OB_ 10(2019天津)在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上，且BE23BC，DF16DC，则AEAF的值为_ 11(2019浙江)已知 e1，e2是平面单位向量，且 e1e212.若平面向量 b 满足 be1be21，则|b|_ 12(2019安徽)ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足AB2a，AC2ab，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)a 为单位向量；b 为单位向量；ab；bBC；(4ab)BC.13(2018陕西)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点 P(x，y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上(1)若PAPBPC0，求|OP|；(2)设OPmABnAC(m，nR)，用 x，y 表示 mn，并求 mn的最大值 考点 14 平面向量的概念与运算 一年模拟试题精练 1(2019惠州市二调)已知向量AB(3，7)，BC(2，3)，则12AC()A.12，5 B.12，5 C.12，5 D.12，5 2(2019山西省三诊)若菱形 ABCD 的边长为 2，则|ABCBCD|等于()A2 B1 C2 2 D.2 3(2019山西四校联考)如图，正六边形 ABCDEF 中，BACDEF等于()A0 B.BE C.AD D.CF 4(2019衡水二调)平面向量 a 与 b 的夹角为 60，a(2，0)，|b|1，则|a2b|等于()A2 2 B2 3 C4 D.10 5(2019乐山市调研)在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 为对角线，若AB(2，4)，AC(1，3)，则BD()A(2，4)B(3，5)C(2，4)D(3，5)6(2019烟台市检测)已知向量 a(2，1)，ab10，|ab|5 2，则|b|()A.5 B.10 C5 D25 7(2019山东省实验中学三诊)已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量 a 与 b 的夹角为()A.2 B.3 C.4 D.6 8(2019洛阳市高三统考)设等边三角形 ABC 边长为 6，若BC3BE，ADDC，则BDAE等于()A6 21 B6 21 C18 D18 9(2019西安八校联考)若向量 a、b 满足：ab12，|a|b|1，则|2ab|_ 10(2019成都市一诊)若非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则 a，b 的夹角的大小为_ 11(2019大同市调研)设非零向量 a、b、c 满足|a|b|c|，abc，则 a，b_ 12(2019天津六校联考)在直角三角形 ABC 中，ACB90，ACBC2，点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点，则CP CBCP CA_ 13(2019 重庆市一诊)已知向量 m cos x2，1，n3sin x2，cos2x2，设函数 f(x)mn1.(1)求函数 f(x)的单调增区间；(2)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且满足 a2b26abcos C，sin2C2sin Asin B，求 f(C)的值 考点 15 平面向量的应用 两年高考真题演练 1(2019福建)设 a(1，2)，b(1，1)，cakb.若 bc，则实数 k 的值等于()A32 B53 C.53 D.32 2(2019湖南)已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为(2，0)，则|PAPBPC|的最大值为()A6 B7 C8 D9 3(2018重庆，理)已知向量 a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数 k()A92 B0 C3 D.152 4(2018天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点E，F 分别在边 BC，DC 上，BEBC，DFDC.若AE AF1，CE CF23，则()A.12 B.23 C.56 D.712 5(2018安徽)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a，b，|a|b|1，ab0，点 Q 满足OQ 2(ab)曲线 CP|OPacos bcos，02，区域 P|0r|PQ|R，rR若 C为两段分离的曲线，则()A1rR3 B1r3R Cr1R3 D1r3c.已知BABC2，cos B13，b3.求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值 考点 15 平面向量的应用 一年模拟试题精练 1(2019江西省质检三)在ABC 中，ABc，ACb，若点 D满足BD4DC，则AD等于()A.23b13c B.53c23b C.45b15c D.45b15c 2(2019云南师大附中检测)设 xR，向量 a(1，x)，b(2，4)，且 ab，则 ab()A6 B.10 C.5 D10 3(2019济南一中高三期中)已知向量 a(1，2)，b(x，2)，若 ab，则|b|()A.5 B2 5 C5 D20 4(2019昆明三中，玉溪一中高三统考)已知向量 a，b，其中|a|2，|b|2，且(ab)a，则向量 a 与 b 的夹角是()A.6 B.4 C.2 D.3 5(2019晋冀豫三省二调)已知向量 a(1，k)，b(2，2)，且 ab 与 a 共线，那么 ab 的值为()A1 B2 C3 D4 6(2019北京东城区高三期末)已知向量 a(1，3)，b(m，2m3)，平面上任意向量 c 都可以唯一地表示为 cab(，R)，则实数 m 的取值范围是()A(，0)(0，)B(，3)C(，3)(3，)D3，3)7(2019济南一中高三期中)在ABC 中，若AB2ABACBABCCACB，则ABC 是()A等边三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D直角三角形 8(2019杭州七校联考)已知平面向量 m，n 的夹角为6，且|m|3，|n|2，在ABC 中，AB2m2n，AC2m6n，D 为 BC的中点，则|AD|()A2 B4 C6 D8 9(2019惠州市三调)已知向量 a(x1，2)，b(2，1)，且 ab，则实数 x_ 10(2019衡水中学二调)设平面向量 a(1，2)，b(2，y)，若 ab，则 y_ 11(2019南昌市调研)已知直线 xym0 与圆 x2y22 交于不同的两点 A，B，O 是坐标原点，|OAOB|AB|，那么实数 m 的取值范围是_ 12(2019四川省统考)已知锐角ABC 中的三个内角分别为 A，B，C.(1)设BCCACAAB，求证ABC 是等腰三角形；(2)设向量 s(2sin C，3)，tcos 2C，2cos2C21，且 st，若 sin A13，求 sin3B 的值 参考答案 第四章 平面向量 考点 14 平面向量的概念与运算【两年高考真题演练】1A AB(3，1)，AC(4，3)，BCACAB(4，3)(3，1)(7，4)2B a(2，4)，b(x，6)，ab，4x260，x3.3C 因为 a(1，1)，b(1，2)，所以 2ab2(1，1)(1，2)(1，0)，得(2ab)a(1，0)(1，1)1，选 C.4C 因为 a(2ab)，所以 a(2ab)2a2ab0，即 2|a|2|a|b|cosa，b0，又|b|4|a|，则上式可化为 2|a|2|a|4|a|cosa，b0 即 24cosa，b0，所以 cosa，b12，即 a，b 夹角为23.5A 四边形 ABCD 为平行四边形，ACABAD(1，2)(2，1)(3，1)ADAC23(1)15.6 A 由数量积定义 ab|a|b|cos|a|b|，(为 a，b 夹角)，cos 1，0，180，0，ab；反之，当 ab 时，a，b 的夹角 0或 180，ab|a|b|.7B 对于 A，由|ab|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；对于 B，当 a，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于 C、D 容易判断恒成立故选 B.83 a(2，1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即2mn9，m2n8，解得m2，n5，故 mn253.9 9 因为OAAB，所以OAAB0.所以OAOBOA(OAAB)OA2OAAB|OA|20329.10.2918 在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，AB2，BC1，ABC60，CD1，AEABBEAB23BC，AFADDFAD16DC，AEAFAB23BCAD16DCABADAB16DC23BCAD23BC16DC21cos 60216231cos 602316cos 1202918.11.2 33 因为|e1|e2|1 且 e1e212.所以 e1与 e2的夹角为 60.又因为be1be21，所以be1be20，即b(e1e2)0，所以b(e1e2)所以 b 与 e1的夹角为 30，所以 be1|b|e1|cos 301.|b|2 33.12 ABC 为边长是 2 的等边三角形，|AB|2a|2|a|2，从而|a|1，故正确；又BCACAB2ab2ab，bBC，故正确；又(ABAC)(ABAC)AB2AC20，(ABAC)BC，即(4ab)BC，故正确 13解(1)法一 PAPBPC0，又PAPBPC(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)，63x0，63y0，解得x2，y2 即OP(2，2)，故|OP|2 2.法二 PAPBPC0，则(OAOP)(OBOP)(OCOP)0，OP13(OAOBOC)(2，2)，|OP|2 2.(2)解 OPmABnAC，(x，y)(m2n，2mn)，xm2n，y2mn，两式相减得，mnyx.令 yxt，由图知，当直线 yxt 过点 B(2，3)时，t 取得最大值 1，故 mn 的最大值为 1.【一年模拟试题精练】1C 12AC12(ABBC)12(3，7)(2，3)12，5.2A|ABCBCD|ABBCCD|AD|2.3 D 因为 ABCDEF 是正六边形，故BACDEFDECDEFCEEFCF.4B 由已知得|a|2，|a2b|2a4ab4b24421cos 60412，|a2b|2 3，故选 B.5D 由题可知BDBCCD(ACAB)BAAC2BA(1，3)2(2，4)(3，5)，故选 D.6C(ab)2a22abb25210|b|250，|b|5.7B a(ba)aba2|a|b|cos|a|22，故 cos 12，3.8C 令ABc，ACb，则BDBAADc12b，AEABBE13b23c，BDAEc12b 13b23c 12b218.9.7 ab12，|a|b|1，|2ab|（2ab）2 7.1090|ab|ab|，(ab)2(ab)2，即 a22abb2a22abb2，ab0，故 ab.11.23 非零向量 a、b、c 满足|a|b|c|，abc，(ab)2c2，即 a2b22abc2，|a|22|a|2cosa，b0，cosa，b12，a，b23.故答案为：23.124 设CBa，CAb，ABACCBab，CPCAAP CA13AB13a23b，CPCBCPCA CP(CBCA)13a2ab23b24.13解(1)f(x)3sin x2cos x2cos2x21 32sin x12cos x12 sinx612.令 2k2x62k2，2k3x2k23(kZ)所以所求增区间为2k3，2k23(kZ)(2)由 a2b26abcos C，sin2C2sin Asin B，得 c22ab，因为cos Ca2b2c22ab6abcos C2ab2ab3cos C1 得 cos C12，又0C，C3，f(C)f31.考点 15 平面向量的应用【两年高考真题演练】1A cakb(1，2)k(1，1)(1k，2k)，bc，bc0，bc(1，1)(1k，2k)1k2k32k0，k32，故选 A.2B 由 A，B，C 在圆 x2y21 上，且 ABBC，线段 AC为圆的直径，故PAPC2PO(4，0)，设 B(x，y)，则 x2y21 且 x1，1，PB(x2，y)，所以PAPBPC(x6，y)，|PAPBPC|12x37，当 x1时，此式有最大值 497，故选 B.3C 因为 a(k，3)，b(1，4)，所以 2a3b2(k，3)3(1，4)(2k3，6)因为(2a3b)c，所以(2a3b)c(2k3，6)(2，1)2(2k3)60，解得 k3，故选 C.4C AEABBC，AFADDC，AEAF(ABBC)(ADDC)ABADABDCBCADBCDC 2212442212 24()21.2()32.CECF(1)CB(1)CD(1)CBCD 2212(1)2()123，()113，即()23.由解得 56.5A 由已知可设OAa(1，0)，OBb(0，1)，P(x，y)，则OQ(2，2)，曲线 CP|OP(cos，sin)，02，即 C：x2y21，区域 P|0r|PQ|R，rR表示圆 P1：(x 2)2(y 2)2r2与圆 P2：(x 2)2(y 2)2R2所形成的圆环，如图所示，要使 C 为两段分离的曲线，只有 1rRc，所以 a3，c2.(2)在ABC 中，sin B 1cos2B1（13）22 23，由正弦定理，得 sin Ccbsin B232 234 29.因 abc，所以 C 为锐角，因此 cos C 1sin2C1（4 29）279.于是 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C 13792 234 292327.【一年模拟试题精练】1D BD4DC，ADABBD4DC4(ACAD)，5AD4ACAB，AD45AC15AB45b15c.2D a(1，x)，b(2，4)，且 ab，42x0，x2，a(1，2)，ab10.3 B ab，abx40，即 x4，故|b|42222 5.4B 因为(ab)a，所以(ab)a0，即 a2ab|a|22，所以 cosa，bab|a|b|22222，所以向量 a 与 b 的夹角为4.5D a(1，k)，b(2，2)，ab(3，k2)，又ab与 a 共线，32(k2)20，即 k1，故 ab(1，1)(2，2)224.6C 由题意可得，a，b是平面的一组基底，所以 a 与 b 不共线，所以 2m33m，所以 m3.7 D AB2ABACBABCCACB，AB2ABACABCBBC(BACA)BC2，BC(BCBA)0，即BCAC0，故ABC是直角三角形 8A AD12(ABAC)12(2m2n2m6n)2m2n，故|AD|2|mn|2（mn）22m22mnn2 2m22|m|n|cosm，nn22.90 a(x1，2)，b(2，1)，且 ab，ab2(x1)20，解之可得 x0.104 a(1，2)，b(2，y)，ab，1y2(2)，y4.11(2，2 2，2)圆心 O 到直线 xym0 的距离d|m|2.由|OAOB|AB|得，|OAOB|OBOA|，所以|OA|2|OB|22OAOB|OA|2|OB|22OAOB，所以OAOB0，所以 0AOB2，22cos12AOB1，又|m|2 2cos12AOB，所以 222|m|2，解得2m 2或 2m2.12(1)证明 因为BCCACAAB，所以CA(BCAB)0，又ABBCCA0，所以CA(ABBC)，所以(ABBC)(BCAB)0，所以AB2BC20，所以|AB|2|BC|2，即|AB|BC|，故ABC 为等腰三角形(2)解 st，2sin C2cos2C21 3cos 2C，sin 2C 3cos 2C，即 tan 2C 3，C 为锐角，2C(0，)，2C23，C3，A23B，sin3B sin23B 3sinA3，又 sin A13，且 A 为锐角，cos A2 23，sin 3B sinA3sin Acos 3cos Asin 312 66