第2课时二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系.pdf

第2课时 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 第 1 页 课题 第 2 课时 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 授课人 教 学 目 标 知识技能 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.2.理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解、一元二次不等式的解集 数学思考 通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程以及一元二次不等式之间的关系 问题解决 能够从函数表达式的角度分析二次函数与一元二次方程和一元二次不等式之间的关系，同时也能够从函数图象的角度分析函数与方程、不等式之间的关系 情感态度 通过观察二次函数的图象与 x轴的交点个数，讨论一元二次方程根的情况，进一步体会数形结合思想.第 2 页 教学 重点 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集 教学 难点 理解二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，渗透数形结合思想是教学的难点 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾(展示问题)1.一元二次方程的一般形式是_，其根的判别式是通过回顾一元二次 第 3 页 _，求 根 公 式 是_.2.二 次 函 数 的 一 般 形 式 是_，其图象的顶点坐标是_.3.抛物线 yx22x4 的对称轴 是_，开 口方 向_，顶 点 坐 标 是_.4.抛物线 y2(x2)(x3)与 x轴的交点坐标为_.5.已知抛物线与 x 轴的交点为点(1，0)，(1，0)，并经过点(0，1)，则抛物线的函数表达式为_.师生活动：学生自主解答上述问题，教师进行个别指导，然后进行点评和总结 方程和二次函数的相关知识，巩固以前所学，为本节课学好新知做好铺垫.活动 一：创【课堂引入】图 26355 问题：如图 26355 所示，以小球飞行问题寻 第 4 页 设 情境 导入 新课 以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，小球 的 飞 行 路 线 是 一 条 抛 物线如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有关系：h20t5t2.考虑以下问题(1)球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要飞行多少时间？(2)球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要飞行多少时间？(3)球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？(4)球从飞出到落地要用多少时间？师生活动：教师进行引导，飞行高度h与飞行时间t的函数表达式为 h20t5t2，所以将 h的值代入函数表达式，得到关于 t 的一元二次方程即可求解.找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动投入到探索活动中创设情境，激发学生的学习热情.第 5 页 让学生以小组为单位自学、讨论、合作、交流，尝试解决问题，教师巡视指导(续表)活动 二：实践 探究 交流 新知【探究 1】二次函数与一元二次方程的关系 教师活动：针对课堂引入的问题进行探究，教师总结解题过程：(1)解方程 1520t5t2，t24t30，得 t11，t23.所以当球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m.(2)解方程 2020t5t2，t24t40，得 t1t22.当球飞行 2 s 时，它的高度为20 m.(3)解方程 20.520t5t2，t24t4.10.因为 1644.10关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0 有两个不相等的实数根；(2)抛物线 yax2bxc 与 x轴有一个交点b24ac0关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0 有两个相等的实数根；(3)抛物线 yax2bxc 与 x轴没有交点b24ac0关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0没有实数根 【探究 2】二次函数与一元二次方程的近似根的情况 思考：第 8 页 已知yx2x2；yx26x9；yx2x1.(1)以上二次函数的图象与 x 图 26356(2)轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？(2)当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？第 9 页(续表)活动 二：实践 探究 交流 新知 师生活动：教师展示二次函数的图象，学生观察图象，展开讨论，回答问题(1)抛物线 yx2x2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标是2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是x2x20的根是x12，x21.(2)抛物线 yx26x9 与 x 轴有一个公共点，x3 时，x26x90 有两个相等的实数根 x1x23.(3)抛物线 yx2x1 与 x 轴没有公共点，由此可知，方程 x2x10 没有实数根 教师总结：一般地，如果二次函数 yax2bxc 的图象与 x 轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程 ax2bxc0 的根 归纳总结：通过以上学生间、师生间的观察、交流、讨论，进行总结：一般地，从二次函数 yax2bxc 的图象可知，(1)如果抛物线 yax2bxc与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当 xx0时，函数的值是 0，因此 xx0就是方程 ax2bxc0的一个根(2)二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根 由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根 由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的 【探究 3】二次函数与一元二次不等式的关系 试一试：根据教材第 28 页“问题 3”回答下列问题：(1)当 x 取何值时，y0?(2)试用含有 x 的不等式来描述问题(1)想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？教师引导学生分析二次函数学习中的有关问题，并和学生一起获得正确答案，由此得出规律如下：二次函数 yax2bxc 的图象在 x 轴上方的点的横坐标就是关于 x的不等式 ax2bxc0 的解集；二次函数 yax2bxc 的图象在 x轴下方的点的横坐标就是不等式 ax2bxc0 的解集 使学生掌握通过函数图象判断方程的根的情况，并把方程与函数建立联系，促使学生能够积极主动地投入到探索活动中 得出一元二次不等式与二次函数的关系，让学生学会利用图象法解一元二次不等式.活动 三：开放 训练 体现 应用【应用举例】例 1 利用函数图象求方程 x22x20 的实数根(精确到 0.1)师生活动：教师引导学生作出函数图象，或求出抛物线与 x 轴的交点坐标，学生进行计算 图 26357 第 10 页(续表)活动 三：开放 训练 体现 应用 解：作 yx22x2 的图象，它与 x 轴的公共点的横坐标大约是xx2.7.所以方程x22x20的实数根为x1，x22.7.播放课件：函数的图象与求一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图象估计出方程 x22x20 的实数根的近似解，后一个课件可以准确地求出方程的解，体会其中的差异 例 2 同学们在一起探讨研究下面的题目：函数 yx2xm(m 为常数)的图象如图 26358 所示，如果 xa应用举例使学生深刻体会数学知识的应用价值，由此提高学生学习数学的兴趣和应用数学的 第 11 页 时，y0；那么 xa1 时，函数值为()图 26358 甲同学说：我注意到当 x0 时，ym0.乙同学说：我发现函数图象的对称轴为直线 x12.丙同学说：我判断出 x1a0，b24ac0 Ba0 Ca0，b24ac0 Da0，b24ac0 3 孝感中考 抛物线 yax2bxc 的顶点为 D(1，2)，与 x 轴的一个交点 A 在点(3，0)和(2，0)之间，其部分图象如图 26362，则以下结论：针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.第 18 页 b24ac0；abc0；ca2；方程 ax2bxc20 有两个相等的实数根，其中正确的结论有(C)A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 图 26362 图 26363 图 26364 4.如图 26363，直线 yx与抛物线 yx2x3 交于 A，B两点，点 P 是抛物线上的一个动点，过点 P 作直线 PQx 轴，交直线 yx 于点 Q，设点 P 的横坐标为 m，则线段 PQ 的长度随 m的增大而减小时 m 的取值范围是(B)第 19 页 Ax1 或 x12 Bx1或12x3 Cx1 或 x3 Dx1或 1x3 5如图 26364，已知二次函数 yax2bx3 的图象过点A(1，0)，对称轴为过点(1，0)且与 y 轴平行的直线(1)求点 B 的坐标；(2)求该二次函数的表达式；(3)结合图象，解答下列问题：当 x 取什么值时，该函数的图象在 x 轴上方？当1x2 时，求函数 y 的取值范围 答案：(1)B(3.0)(2)yx22x3(3)1x3 0y4 学生进行当堂检测，完成后，教 第 20 页 师进行批阅，点评、讲解 第 21 页(续表)活动 四：课堂 总结 反思【课堂小结】谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？还有哪些困惑？教师总结：抛物线与 x 轴的交点问题有三种情况：两个交点、一个交点、没有交点，主要判定方法是通过计算根的判别式进行确定，借助二次函数图象求一元二次不等式的解集 布置作业：教材P30 第 3，4 题 让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.【知识网络】提纲挈领，重点突出.第 22 页【教学反思】授课流程反思 在探究新知的环节中，教师做好问题的求解和“数形结合”的对比演示，使学生能够理解“数”与“形”之间的关系；课堂训练环节中，教师给予学生自主解答问题的时间，教师做好点评 讲授效果反思 教师引导学生注意以下几点：(1)抛物线与坐标轴交点的求法，即求 y0 时 x 的值；(2)抛物线与x 轴交点个数可通过计算“”的值进行判断；(3)运用图象法求一元二次不等式的解集 师生互动反思 教学过程中，以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程和一元二次不等式之间的关系 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.第 23 页 习题反思 好题题号_ 错题题号_ 典案二 导学设计 【学习目标】掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法【学习重难点】一元二次方程及二元二次方程组的图象解法，一元二次方程及二元二次方程组的图象解法【课标要求】掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法 一、情景创设 画图求方程22xx的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法 甲：将方程22xx化为022 xx，画出22xxy的图象，观察它与 x轴的交点，得出方程的解 乙：分别画出函数2xy 和2xy的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解 你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流 二、实践与探索 例 1利用函数的图象，求下列方程的解：（1）0322 xx；（2）02522 xx 分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线2xy 的图象，再根据 第 24 页 待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解 例 2利用函数的图象，求下列方程组的解：(1)22321xyxy；（2）xxyxy2632 二、作业 1利用函数的图象，求下列方程的解：（1）01232xx （2）031322 xx 2利用函数的图象，求下列方程组的解：（1）5)1(2xyxy；（2）xxyxy262 三、问题 4 育才中学初三（3）班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程3212xx的解时，几乎所有学生都是将方程化为03212xx，画出函数3212xxy的图象，观察它与 x 轴的交点，得出方程的解惟独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数 yx2和的图象321xy，如图 26.3.3，认为它们交点 A、B 的横坐标23和 2 就是原方程的解 对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论 做一做 利用图 26.3.4，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理（1）x2x10（精确到 0.1）；（2）2x23x20