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1/39 历年中考函数的图像与性质题精选 一、选择题 1.(北京 4 分)抛物线=26+5 的顶点坐标为 A、(3，4)B、(3，4)C、(3，4)D、(3，4)【答案】A。【考点】二次函数的性质。【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标，或者用顶点坐标公式求解：=26+5=26+99+5=(3)24，抛物线=2+6+5 的顶点坐标是(3，4).故选 A。2.(天津 3 分)一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式 A 以每分 0.1 元的价格按上网所用时间计算;方式 B 除收月基费 20 元外.再以每分 0.05 元的价格按上网所用时间计费。若上网所用时问为 分.计费为 元，如图.2/39 是在同一直角坐标系中.分别描述两种计费方式的函救的图象，有下列结论：图象甲描述的是方式 A：图象乙描述的是方式 B;当上网所用时间为 500 分时，选择方式 B 省钱.其中，正确结论的个数是 (A)3(B)2(C)1(D)0 【答案】A。【考点】一次函数的图象和性质。【分析】方式 A 以每分 0.1 元的价格按上网所用时间计算，函数关系式为=0.1，与图象甲描述的是方式相同，故结论正确;方式 B 除收月基费 20 元外.再以每分0.05 元的价格按上网所用时间计费，函数关系式为=0.05 3/39+20，与图象乙描述的是方式相同，故结论正确;从图象观察可知，当 400 时，乙 甲，所以当上网所用时间为 500 分时，选择方式 B 省钱，故结论正确。综上，选 A。3.(河北省 2 分)一次函数 y=6x+1 的图象不经过 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【答案】D。【考点】一次函数的性质。【分析】由一次函数 y=6x+1 中 k 的符号，根据一次函数的性质，得：一次函数 y=6x+1 中 k=60，b=10，此函数经过一、二、三象限。故选 D。4/39 4.(河北省 3 分)一小球被抛出后，距离地面的高度 h(米)和飞行时间 t(秒)满足下面函数关系式：h=5(t1)2+6，则小球距离地面的最大高度是 A、1 米 B、5 米 C、6 米 D、7 米 【答案】C。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】高度 h 和飞行时间 t 满足函数关系式：h=5(t1)2+6，当 t=1 时，小球距离地面高度最大，h=6米。故选 C。5.(河北省 3 分)如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱.设矩形的长和宽分别为 和，则 与 的函数图象大致是 【答案】A。5/39【考点】一次函数综合题，正比例函数的图象，图形的展开。【分析】由 等于该圆的周长，得列方程式，即。与 的函数关系是正比例函数关系，其图象为过原点的直线。故选 A。6.(河北省 3 分)根据图 1 所示的程序，得到了 与 的函数图象，如图 2.若点 M 是 轴正半轴上任意一点，过点 M 作PQ 轴交图象于点 P，Q，连接 OP，OQ.则以下结论：0 时，OPQ 的面积为定值.0 时，随 的增大而增大.MQ=2PM.POQ 可以等于 90.其中正确结论是 A、B、C、D、【答案】B。6/39 【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积。【分析】由图 1 知，该函数为，据此分析：、0，=，错误;、当 0 时，=，当 0 时，=，设 P(，)，Q(，d)，则=2，=4，OPQ 的面积是 d=3，正确;、0 时，随 的增大而减小，错误;、=2，=4，正确;、因为 POQ=90 也行，正确，正确的有。故选B。7.(山西省 2 分)已知二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线=1，则下列结论正确的是 7/39 A，B.方程 的两根是 C.D.当 0 时，随 的增大而减小.【答案】B。【考点】二次函数图象与系数的关系，抛物线与 轴的交点。【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与 轴、轴的交点，逐一判断：A、抛物线开口向下，与 y 轴交于正半轴，0，0，0，故本选项错误;B、抛物线对称轴是=1，与 轴交于(3，0)，抛物线与 轴另一交点为(-1，0)，即方程 的两根是，故本选项正确;C、抛物线对称轴为，故本选项错误;8/39 D、抛物线对称轴为=1，开口向下，当 1 时，随 的增大而减小，故本选项 错误。故选 B。8.(内蒙古包头 3 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c 同时满足下列条件：对称轴是 x=1;最值是 15;二次函数的图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的平方和为 15a，则 b的值是 A、4 或30 B、30 C、4 D、6 或20 【答案】C。【考点】抛物线与 x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值，一元二次方程根与系数的关系。【分析】由已知，二次函数图象的顶点为(1，15)，可设解析式为：y=a(x-1)2+15，9/39 即 y=ax2-2x+15+a。二次函数的图象与 x 轴有两个交点，设为 x1，x2，它们是 ax2-2x+15+a=0 的两个根。根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=2，。由已知，即。解得 a=-2 或 15。当 a=-2 时，y=-2x2+4x+13，b=4;当 a=15 时，y=15x2-30 x+30，此时，图象开口向上，顶点为(1，15)，与 x 轴没有交点，与已知不符。b=4。故选 C。10/39 9.(内蒙古呼和浩特 3 分)已知一元二次方程 的一根为，在二次函数 的图象上有三点、，、的大小关系是 A.B.C.D.【答案】A。【考点】二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解。【分析】把=3 代入 中，得 93 3=0，解得=2。二次函数解析式为。抛物线开口向上，对称轴为。，且1()=，(1)=，而，。故选 A。10.(内蒙古呼伦贝尔 3 分)双曲线 经过点，则下列点在双曲线上的是 11/39 A.B.(C.D.【答案】D。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将 代入，求得，从而得到双曲线。将各点代入，易得 在双曲线上，故选 D。11.(内蒙古呼伦贝尔 3 分)抛物线 的顶点坐标 A.(1,1)B.C.D.【答案】A。【考点】抛物线的性质。【分析】由顶点式直接得出抛物线的顶点坐标为(1,1)。故选 A。二、填空题 12/39 1.(天津 3 分)已知一次函数的图象经过点(0.1).且满足 随 的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为 (写出一一个即可).【答案】(答案不唯一)。【考点】一次函数的图象和性质。【分析】根据一次函数的图象和性质，直接得出结果。答案不唯一，形如 都可以。2.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰 3 分)已知点 A(5，a)，B(4，b)在直线 y=3x+2 上，则 a b.(填或=号)【答案】。【考点】一次函数的增减性，一次函数图象上点的坐标特征。【分析】根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再比较出5 与 4 的大小即可解答：13/39 直线 y=3x+2 中，k=30，此函数是减函数。54，ab。3.(内蒙古包头 3 分)如图，点 A(-1，m)和 B(2，m+3)在反比例函数 的图象上，直 线 AB 与 轴的交于点 C，则点 C的坐 标是 .【答案】(1，0)。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】点 A(-1，m)和 B(2，m+3)在反比例函数 的图象上，解得。A(1，2)与 B(2，)。设直线 AB 的解析式为，则，解得。直线 AB 的解析式为。14/39 令=0，解得=。点 C 的坐标是(1，0)。4.(内蒙古呼和浩特 3 分)已知关于 的一次函数 的图象如图所示，则 可化简为 .【答案】。【考点】二次根式的性质与化简，绝对值，一次函数图象与系数的关系。【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定 m、n 的符号，然后由绝对值、二次根式的化简运算法则解得即可：根据图示知，关于 的一次函数 的图象经过第一、二、四象限，m0。又关于 的一次函数 的图象与 轴交与正半轴，n0。15/39 5.(内蒙古乌兰察布 4 分)函数 l=(0),(0)的图象如图所示，则结论：两函数图象的交点 A 的坐标为(3,3)当 3，时，当=1 时，BC=8 当 逐渐增大时，l 随着 的增大而增大，2 随着 的增大而减小.其中正确结论的序号是 .【答案】。【考点】正比例函数和反正比例函数的图象特征。【分析】由(0)解得，从而。即两函数图象的交点A 的坐标为(3,3)。当 3 时，l=(0)的图象在(0)的图象之上，所以。当=1 时，l=1，所以 BC=8。当 逐渐增大时，l 随着 的增大而增大，2 随着 的增大而减小。因此，正确结论的序号是。16/39 三、解答题 1.(北京 5 分)如图，在平面直角坐标系 O 中，一次函数=2 的图象与反比例函数 的图象的一个交点为 A(1，n).(1)求反比例函数 的解析式;(2)若 P 是坐标轴上一点，且满足 PA=OA，直接写出点 P 的坐标.【答案】解：(1)点 A(1，n)在一次函数=2 的图象上，n=2(1)=2。点 A 的坐标为(1，2)。点 A 在反比例函数 的图象上，k=2 反比例函数的解析式是。17/39 (2)点 P 的坐标为(2，0)或(0，4)。【考点】反比例函数与一次函数的交点，待定系数法。【分析】(1)把 A 的坐标代入函数解析式即可求得 k 的值，即可得到函数解析式。(2)以 A 为圆心，以 OA 为半径的圆与坐标轴的交点就是P。2.(北京 7 分)在平面直角坐标系 Oy 中，二次函数 的图象与 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 轴交于点 C.(1)求点 A 的坐标;(2)当 ABC=45 时，求 m 的值;(3)已知一次函数=k+b，点 P(n，0)是 轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点 P 垂直于 轴的直线交这个一次函数的图象于点 M，交二次函数 的图象于 N.若只有当2 18/39【答案】解：(1)点 A、B 是二次函数 的图象与 轴的交点，令=0，即 m 2+(m3)3=0 解得 1=1，。又点 A 在点 B 左侧且 m0，点 A 的坐标为(1，0)。(2)由(1)可知点 B 的坐标为，二次函数的图象与 y 轴交于点 C，点 C 的坐标为(0，3)。ABC=45，。m=1。(3)由(2)得，二次函数解析式为=22 3。依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为2 和 2。由此可得交点坐标为(2，5)和(2，3)，19/39 将交点坐标分别代入一次函数解析式=k+b 中，得，解得：。一次函数解析式为 y=2+1。【考点】二次函数综合题。【分析】(1)令=0 则求得两根，又由点 A 在点 B 左侧且m0，所以求得点 A 的坐标。(2)二次函数的图象与 y 轴交于点 C，即求得点 C，由ABC=45，从而求得。(3)由 m 值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得。3.(天津 8 分)已知一次函数(b 为常数)的图象与反比例函数(为常数.且)的图象相交于点 P(3.1).20/39(I)求这两个函数的解析式;(II)当 3 时，试判断 与 的大小.井说明理由。【答案】解：(I)P(3.1)在一次函数一次函数 上，1=3+b。b=-2。一次函数的解析式为。同理，反比例函数的解析式为。(II).理由如下：当 时，又当 时.一次函数 随 的增大而增大.反比例函数 随 的增大而减小，当 时。【考点】点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的性质。21/39【分析】(I)因为点在曲线上点的坐标满足方程，所以利用点 P 在一次函数和反比例函数的图象上，把 P 的坐标分别代入即可求出。(II)根据一次函数和反比例函数增减性的性质即可作出判断。4.(天津 8 分)注意：为了使同学们更好她解答本题，我们提供了种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答.也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可.某商品现在的售价为每件 35 元.每天可卖出 50 件.市场调查反映：如果调整价格.每降价 1 元，每天可多卖出 2 件.请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?设每件商品降价 元.每天的销售额为 元.(I)分析：根据问题中的数量关系.用含 的式子填表：22/39 ()(由以上分析，用含 的式子表示，并求出问题的解)【答案】解：()()根据题意，每天的销售额 整理配方，得。当=5 时，取得最大值 1800。答：当每件商品降价 5 元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为 l 800 元。【考点】列函数关系式，二次函数的应用。【分析】()根据题意，可分析出结果。()列函数关系式是找出等量关系：每天的销售额=每件售价每天销量 23/39 求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式 的形式即可求出。5.(天津 10 分)在平面直角坐标系中.已知 O 坐标原点.点A(3.0)，B(0，4).以点 A 为旋转中心，把ABO 顺时针旋转，得ACD.记旋转转角为.ABO 为.(I)如图，当旋转后点 D 恰好落在 AB 边上时.求点 D 的坐标;()如图，当旋转后满足 BC 轴时.求与之闻的数量关系;()当旋转后满足 AOD=时.求直线 CD 的解析式(直接写出即如果即可)，【答案】解：(I)点 A(3，0)，B(0，4)，0A=3，OB=4。在 RtABO 中.由勾股定理.得 AB=。根据题意，有 DA=OA=3。24/39 如图.过点 D 作 DM 轴于点 M，则 MDOB。ADMABO。有，得，。又 OM=OA-AM，得 OM=。点 D 的坐标为()。()如图.由己知，得 CAB=，AC=AB，ABC=ACB。在ABC 中，由 ABC+ACB+CAB=180，得=1802ABC。又BC 轴，得 OBC=90，有 ABC=90ABO=90。=1802(90)=2。()直线 CD 的解析式为，或。25/39【考点】旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行的性质。【分析】(I)作辅助线 DM 轴，由勾股定理求出 AB 的长，由相似三角形对应边成比例的性质即可求出。()由旋转的性质，知 ABC=ACB，由三角形三内角和 1800的定理可得=1802ABC。又由于 BC 轴，可得 ABC=90，从而=2 从而的关系。图 1 图 2 ()如图 1，连接 BD，作 DF 轴于 F。由 AOD=ABO 可证AOBADB，ADB=AOB=900。又ADC=900，B 在直线 CD 上。可设直线 CD 方程式为=k+4。由AOEABO 得。设 D 点坐标为，则有 26/39 ，解之得。代入直线 CD 方程=k+4，得 k=。直线 CD 的解析式为。同样考虑 AOD 在 轴下方的情况，如图 2，可得直线 CD 的解析式。6.(河北省 9 分)已知 A、B 两地的路程为 240 千米.某经销商每天都要用汽车或火车将 吨保鲜品一次 性由 A 地运往B 地.受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订.现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程 s(千米)与行驶时间 t(时)的函数图象(如图 1)、上周货运量折线统计图(如图 2)等信息如下：货运收费项目及收费标准表 运输工具运输费单价：元/(吨千米)冷藏费单价：元/(吨时)固定费用：元/次 27/39 汽车 25200 火车 1.652280 (1)汽车的速度为 60 千米/时，火车的速度为 100 千米/时：(2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为 汽(元)和 火(元)，分别求 汽、火与 的函数关系式(不必写出 的取值范围)，及 为何值时 汽 火(总费用=运输费+冷藏费+固定费用)(3)请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省?【答案】解：(1)根据图表上点的坐标为：(2，120)，(2，200)，汽车的速度为 60 千米/时，火车的速度为 100 千米/时，(2)依据题意得出：28/39 汽=2402+5+200=500+200;火=2401.6+5+2280=396+2280。若 汽 火，得 500+201896+2280，20。当 20 时，汽 火。(3)上周货运量=(17+20+19+22+22+23+24)7=2120，从平均数分析，建议预定火车费用较省。又从折线图走势分析，上周货运量周四(含周四)后大于 20且呈上升趋势，建议预订火车费用较省。【考点】一次函数的应用，折线统计图，算术平均数。【分析】(1)根据点的坐标为：(2，120)，(2，200)，直接得出两车的速度即可。29/39(2)根据图表得出货运收费项目及收费标准表、行驶路程s(千米)与行驶时间 t(时)的函数图象，得出关系时即可。(3)根据平均数的求法以及折线图走势两个角度分析得出运输总费用较省方案。7.(山西省 7 分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交 轴、轴于 A、B 两点，与反比例函数 的图象交于 C、D 两点，DE 轴于点 E。已知 C 点的坐标是(6，)，DE=3.(1)求反比例函数与一次函数的解析式。(2)根据图象直接回答：当 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?【答案】解：(1)点 C(6，-1)在反比例函数 的图象上，=-6，反比例函数的解析式。30/39 点 D 在反比例函数 上，且 DE=3，=-2。点 D 的坐标为(-2，3)。C、D 两点在直线 上，解得。一次函数的解析式为。(2)由图象，得当 x-2 或 0 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】(1)根据题意，可得出 A、B 两点的坐标，再将A、B 两点的坐标代入 与，即可得出解析式。(2)求当 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值，即求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，的取值范围即可。8.(内蒙古呼和浩特 8 分)在同一直角坐标系中反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交，且其中一个交点 A 的坐标为(2，3)，若一次函数的图象又与 x 轴相交于点 B，且 31/39 AOB 的面积为 6(点 O 为坐标原点).求一次函数与反比例函数的解析式.【答案】解：将点 A(-2，3)代入 中得：，。K 反比例函数的解析式为。又AOB 的面积为 6，。|OB|=4。B 点坐标为(4，0)或(-4，0)。当 B(4，0)时，又点 A(-2，3)是两函数图象的交点，代入 中得，解得。当 B(-4，0)时，又点 A(2，3)是两函数图象的交点，代入 中得，解得。综上所述，一次函数的解析式为 或。32/39【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】将点 A(2，3)代入 中得，得到=23=6，即得到反比例函数的解析式;由AOB 的面积为 6，求出 OB，得到 B 点坐标为(4，0)或(4，0)，然后分类讨论：一次函数 过(2，3)和(4，0)或一次函数 过(2，3)和(4，0)，利用待定系数法求出一次函数的解析式。9.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰 10 分)如图，点 D 双曲线上，AD 垂直 轴，垂足为 A，点 C 在 AD 上，CB 平行于 x 轴交曲线于点 B，直线 AB 与 y 轴交于点 F，已知 AC：AD=1：3，点 C 的坐标为(2，2).(1)求该双曲线的解析式;(2)求OFA 的面积.【答案】解：(1)点 C 的坐标为(2，2)，AD 垂直 x 轴，AC=2。33/39 又AC：AD=1：3，AD=6。D 点坐标为(2，6)。设双曲线的解析式为，把 D(2，6)代入 得，=26=12。双曲线解析式为。(2)设直线 AB 的解析式为，得 把 A(2，0)和 B(6，2)代入 得，解得。直线 AB 的解析式为。令=0，得=1，F 点的坐标为(0，1)。SOFC=OAOF=21=1。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。34/39 【分析】(1)由点 C 的坐标为(2，2)得 AC=2，而 AC：AD=1：3，得到 AD=6，则 D 点坐标为(2，6)，然后利用待定系数法确定双曲线的解析式。(2)已知 A(2，0)和 B(6，2)，利用待定系数法确定直线 AB的解析式，得到 F 点的坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可。10.(内蒙古巴彦淖、赤峰尔 12 分)如图，直线 y=x+3 与坐标轴分别交于 A，B 两点，抛物线 y=ax2+bx3a 经过点A，B，顶点为 C，连接 CB 并延长交 x 轴于点 E，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴 MN 对称.(1)求抛物线的解析式及顶点 C 的坐标;(2)求证：四边形 ABCD 是直角梯形.【答案】解：(1)y=x+3 与坐标轴分别交与 A、B 两点，A 点坐标(3，0)、B 点坐标(0，3)。35/39 抛物线 y=ax2+bx3a 经过 A、B 两点，解得。抛物线解析式为：y=x22x+3。y=x22x+3=(x+1)2+4，顶点 C 的坐标为(1，4)。(2)B、D 关于 MN 对称，C(1，4)，B(0，3)，D(2，3)。B(3，0)，A(3，0)，OA=OB。又 AOB=90，ABO=BAO=45。B、D 关于 MN 对称，BDMN。又MNX 轴，BDX 轴。DBA=BAO=45。DBO=DBA+ABO=45+45=90。ABC=180DBO=90。CBD=ABCABD=45。36/39 CMBD，MCB=45。B，D 关于 MN 对称，CDM=CBD=45，CDAB。又AD 与 BC 不平行，四边形 ABCD 是梯形。ABC=90，四边形 ABCD 是直角梯形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的顶点和对称轴，轴对称的性质，平行的判定和性质，直角梯形的判定。【分析】(1)先根据直线 y=x+3 求得点 A 与点 B 的坐标，然后代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得其顶点坐标即可。(2)根据 B、D 关于 MN 对称，C(1，4)，B(0，3)求得点 D的坐标，然后得到 AD 与 BC 不平行，四边形 ABCD 是梯形，再根据 ABC=90 得到四边形 ABCD 是直角梯形。11.(内蒙古呼伦贝尔 6 分)根据题意，解答问题：37/39 (1)如图，已知直线 与 轴、轴分别交于 A、B 两点，求勾股定理.(2)如图，类比(1)的解题过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出点 M(3，4)与点 N(-2，1)之间的距离.【答案】解：(1)根据题意得，A(0，4)，B(-2，O)，在 RtAOB 中，根据勾股定理，得 。(2)过 M 点作 轴的垂线 MF,过 N 作 轴的垂线 NE,MF,NE交于点 D。由 M(3，4)，N(-2，1)，得 MD=，ND=。38/39 MN=。【考点】直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。【分析】(1)由点在直线上，点的坐标满足方程的关系，可求出直线线 与 轴、轴的交点坐标，从而根据勾股定理求得勾股定理。(2)构造直角三角形，过 M 点作 轴的垂线 MF,过 N 作 轴的垂线 NE,MF,NE 交于点 D。在 RtMND 中，应用勾股定理即可求得点 M(3，4)与点N(-2，1)之间的距离。内容总结 （1）历年中考函数的图像与性质题精选 39/39 一、选择题 1.(北京 4 分)抛物线=26+5的顶点坐标为 A、(3，4)B、(3，4)C、(3，4)D、(3，4)【答案】A（2）3.(河北省 2 分)一次函数 y=6x+1 的图象不经过 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【答案】D（3）(3)由(2)得，二次函数解析式为=22 3