厚壁圆筒的弹塑性分析.pdf

外压厚壁圆筒的弹塑性分析 姓名：黄达飞 学号：SQ 指导老师：林智育 时间：2011-6-25 一、二、问题描述 内半径为 a，外半径为 b 的厚壁圆筒，在外表面处作用有均匀压力 p（如图1（a），圆筒材料为理想弹塑性的（如图 1（b）。随着压力 p 的增加，圆筒内的及r都不断增加，若圆筒处于平面应变状态下，其z也在增加。当应力分量的组合达到某一临界值时，该处材料进入塑性变形状态，并逐渐形成塑性区，随着压力的继续增加，塑性区不断扩大，弹性区相应减小，直至圆筒的截面全部进入塑性状态时即为圆筒的塑性极限状态。当圆筒达到塑性极限状态时，其外压达到最大值，即载荷不能继续增加，而圆筒的变形也处于无约束变形状态下，即变形是个不定值，或者说瞬时变形速度无穷大。为了使讨论的问题得以简化，本文中限定讨论轴对称平面应变问题，并设2/1。（a）（b）图 1 厚壁圆筒 三、弹性分析 1.基本方程 平面轴对称问题中的未知量为r，r，u，它们应该满足基本方程及相应的边界条件，其中平衡方程为 0rdrdrr （1）几何方程为！drdur，ru （2）本构方程为 rrrEE11 （3）边界条件为 rrFs，在力的边界S上 （4）2.应力的求解 取应力分量r，为基本未知函数，利用平衡方程和以应力分量表示的协调方程联立求解，可以求得应力分量的表达式为 221221rCCrCCr （5）如图 1（a）所示内半径为 a，外半径为 b 的厚壁圆筒，在外表面处受外压 p，内表面没有压力，相应的边界条件为 0arr，pbrr 将以上边界条件代入式（5），则可以求得两个常数为 2221abpbC，22222abpbaC 则应力分量为 222222222211raabpbraabpbr （6）上式和弹性常数无关，因而适用于两类平面问题。四、弹塑性分析 1.屈服条件 在塑性理论中，常用的屈服条件是米泽斯（Mises）屈服条件，其表达式为：222222226szrzrzzrr （7）由于厚壁圆筒为轴对称平面应变问题，则有0zrzr，即r，z均为主应力，且由0z以及2/1，可以得到rz21，代入 Mises屈服条件其表达式为#ssr155.132 （8）2弹塑性分析 当压力 p 较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，由式（6）可求出应力分量 222222222211raabpbraabpbr （9）在ar 处r有最大值，即筒体由内壁开始屈服，若此时的压力为ep，由式（8）和（9）可以求得弹性极限压力为 2222155.1babpse （10）当epp 时，圆筒处于弹性状态；当epp 时，在圆筒内壁附近出现塑性区，并且随着压力的增大，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近仍然为弹性区。由于应力组合r的轴对称性，塑性区和弹性区的分界面为圆柱面。设筒体处于弹塑性状态下的压力为pp，弹塑性分界半径为pr，分别考虑两个变形区（图 2），也可将两个区域按两个厚壁圆筒分别进行讨论，设弹性区和塑性区的相互作用力为q，即qprrr。图 2 弹塑性分析 为求弹性区的应力分量，将弹性区作为内半径为pr，外半径为 b，承受外压pp，内压q的厚壁圆筒。由圆筒的弹性分析公式可以求得弹性区（brrp）的应力分量为 222222222222222211pppppppppppprrbpbqrrrbqpbrrbpbqrrrbqpbr （11）,为求解塑性区的应力分量，将弹性区作为内半径为 a，外半径为pr，承受外压q的厚壁圆筒。应满足平衡方程和屈服条件，即 0rdrdrr ssr155.132 由上面两式可得 rCsrln155.1 由于在 r=pr处压力为q，即qprrr，代入可得psrqCln155.1，代入r表达式，并利用屈服条件求得，即塑性区（prra）的应力分量为 1ln155.1ln155.1rrqrrqpspsr （12）上式（11）和（12）中的pr和q是未知量，由径向应力边界条件确定他们之间的关系。在塑性区的 r=a 处压力为 0，即0arr，代入式（12）的第一式可得 arqpsln155.1 （13）在弹性区的 r=pr处刚达到屈服，由屈服条件ssr155.132可得 2222155.1ln155.1brrbarpppspsp （14）上式给出了pprp，当给定pp可以确定pr，或者给定pr后也可以确定pp。将式（13）、（14）确定的q代入式（11）、（12），则可以得到pr表示的弹性区（brrp）和塑性区（prra）的应力分量。222222222222222211pppppppppppprrbpbqrrrbqpbrrbpbqrrrbqpbr （15）1ln155.1ln155.1ln155.1ln155.1rrarrrarpspspspsr （16）随着压力的增加，塑性区不断扩大，当pr=b 时，整个截面进入塑性状态，即圆筒达到塑性极限状态，此时的压力不能继续增加，该临界值称为塑性极限压力，以lp表示。将pr=b 代入式（14），得 abpslln155.1 （17）令式（16）中的pr=b，则得压力达到lp时的应力分量，此时整个截面进入塑性状态。1ln155.1ln155.1rarassr （18）取5a，15b，200s，10pr，则由式（10）、（13）、（14）、（17）可得 7.102ep，160q，5.166pp，8.253lp （19）)将式（19）代入式（9）、（15）、（16）、（18）中可以得到在ep、pp、lp作用下的应力分布如图 3 所示。（a）ep作用下的应力分布 （b）pp作用下的应力分布 （c）lp作用下的应力分布 图 3 应力分布 三种状态下均有0，0r，且r绝对值的最大值在筒体的外壁处，而的绝对值的最大值则随着外压的增加而由内壁移动到外壁。五、有限元分析 由于厚壁圆筒具有中心对称性，且所受的载荷也具有中心对称性，所以其应力分布同样具有中心对称性；厚壁圆筒是平面应变状态。为了计算简便，可以将模型简化为 1/4 的平面圆环，并且加上适当的载荷边界条件和位移边界条件，其 abaqus 模型如图 4 所示。图 4 厚壁圆筒的 abaqus 模型 定义材料的屈服极限为200s，划分成四节点四边形平面应变单元（如图5），定义不同大小的外压p 提交计算。图 5 厚壁圆筒的有限元网格 当100p时，epp，圆筒处于弹性状态，计算结果如图 6，可以看出整个模型处于弹性状态没有塑性应变。（a）Mises 应力分布云图 （b）塑性应变分布云图！图 6 弹性状态计算结果 当150p时，leppp，圆筒处于弹塑性状态，计算结果如图 7，可以看出模型外壁附近部分处于弹性状态没有塑性应变，而内壁附近部分处于塑性状态，有塑性应变。（a）Mises 应力分布云图 (b)塑性应变分布云图 图 7 弹塑性状态计算结果￥当260p时，lpp，圆筒处于塑性状态，计算结果如图 8，可以看出模型整个截面都有塑性应变，整个模型处于塑性状态。（a）Mises 应力分布云图 (b)塑性应变分布云图 图 8 弹塑性状态计算结果 以上三种压力状态下的有限元计算结果与理论的计算结果是一致的。