垂径定理及其推论.pdf

圆部分知识点总结圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆周角定理：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。点和圆的位置关系点和圆的位置关系设O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有：dr点 P 在O 外。过三点的圆过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线L L的距离为 d,那么：直线L L与O 相交dr；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。切线的性质与判定定理切线的性质与判定定理B1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可O2、性质定理：切线垂直于过切点的半径P推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。A推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。切线长定理切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是两条切线PA PB；PO平分BPAC圆幂定理圆幂定理BAOE1、相交弦定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，DPAPB PCPD推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径AB CD，CE AEBE切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线PA PCPB割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。即：在O中，PB、PE是割线APCPB PDPEE两圆公共弦定理两圆公共弦定理DO圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。PCB22如图：O1O2垂直平分AB。O1AO2ACO2即：O1、O2相交于A、B两点O1O2垂直平分AB圆的公切线圆的公切线BBO1（1）公切线的长：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；（2）外公切线的长：CO2是半径之差；CO2是半径之和三角形的内切圆和外接圆三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，那么两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdr）两圆内含dr）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。圆内正多边形的计算圆内正多边形的计算1.正三角形在O中ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：OD:BD:OB 1:3:2；BCBOACOOADBADE2.正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2：3.正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA 1:3:2.弧长和扇形面积弧长和扇形面积1、弧长公式 n的圆心角所对的弧长l的计算公式为l 2、扇形面积公式S扇nr180OSAn1R2lR36021l 2r rl2l其中 n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，L L是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积S B其中L L是圆锥的母线长，r 是圆锥的底面半径。内切圆及有关计算。内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）ABC 中，C=90，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径 r=（3）SABC=a bc。21r(a bc)，其中 a，b，c 是边长，r 是内切圆的半径。2拱高问题拱高问题1.如图，圆弧形桥拱的跨度AB12 米，拱高 CD4 米，则拱桥的半径为（）A6.5 米B9 米C13 米D15 米B表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为 O，半径为R经过圆心O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC2.如图，用AB的中点，CD 就是拱高与 AB 相交于点 D，根据前面的结论，D 是 AB 的中点，C 是A