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浙江专用浙江专用 20222022 高考数学二轮高考数学二轮复习小题专题练四复习小题专题练四小题专题练小题专题练(四四)立体几何立体几何1 1以下命题中，正确的选项是以下命题中，正确的选项是()A A有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B B侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C C侧面都是矩形的直四棱柱是长方体侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D D棱台各侧棱的延长线交于一点棱台各侧棱的延长线交于一点2 2a a(2 2，1 1，3)3)，b b(1 1，2 2，1)1)，假设假设a a(a ab b)，那么实数，那么实数的值为的值为()A A2 21414C.C.5 53.3.1414B B3 3D D2 2如下图，在正方体如下图，在正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E为棱为棱BBBB1 1的中点，假设用过点的中点，假设用过点A A，E E，C C1 1的平面截去该正的平面截去该正方体的上半局部，那么剩余几何体的侧视图为方体的上半局部，那么剩余几何体的侧视图为()-2-2-4 4假设圆锥的侧面展开图是圆心角为假设圆锥的侧面展开图是圆心角为 120120、半径为半径为 1 1 的扇形，那么这个圆锥的外表积与侧面的扇形，那么这个圆锥的外表积与侧面积的比是积的比是()A A4 43 3C C5 53 3B B2 21 1D D3 32 25 5向量向量m m，n n分别是直线分别是直线l l和平面和平面的方向向的方向向1 1量和法向量，假设量和法向量，假设 coscosm m，n n，那么，那么l l与与2 2所成的角为所成的角为()A A3030C C120120B B6060D D1501506 6某空间几何体的三视图如下图，某空间几何体的三视图如下图，那么该几何那么该几何体的体积为体的体积为()-3-3-7 7A.A.3 38 8C.C.3 38 8B.B.3 37 7D.D.3 37 7在正三棱柱在正三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中，中，ABAB4 4，点，点D D在在棱棱BBBB1 1上，假设上，假设BDBD3 3，那么，那么ADAD与平面与平面AAAA1 1C C1 1C C所所成角的正切值为成角的正切值为()2 2 3 3A.A.5 55 5C.C.4 42 2 3939B.B.13134 4D.D.3 38 8l l，m m，n n为三条不重合的直线，为三条不重合的直线，为两为两个不同的平面，那么个不同的平面，那么()A A假设假设m m，m m，那么，那么B B 假设假设l lm m，l ln n，m m，n n，那么那么l lC C假设假设l l，m m，m ml l，那么，那么m m-4-4-D D假设假设m mn n，m m，那么，那么n n9 9如图甲所示，如图甲所示，一只装了水的密封瓶子，其内一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由底面半径为部可以看成是由底面半径为 1 cm1 cm 和半径为和半径为 3 cm3 cm的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图乙水平放置时，液面高度为图乙水平放置时，液面高度为 20 cm20 cm，当这个几，当这个几何体如图丙水平放置时，液面高度为何体如图丙水平放置时，液面高度为 28 cm 28 cm，那，那么这个简单几何体的总高度为么这个简单几何体的总高度为()A A29 cm29 cmC C32 cm32 cmB B30 cm30 cmD D48 cm48 cm1010长方体长方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABABBCBC1 1，BBBB1 1 2.2.设点设点A A关于直线关于直线BDBD1 1的对称点为的对称点为P P，那么，那么P P与与C C1 1两点之间的距离为两点之间的距离为()A A1 13 3C.C.3 3B.B.2 23 3D.D.2 21111如下图是一个几何体的三视图，那么该几如下图是一个几何体的三视图，那么该几-5-5-何体的体积为何体的体积为_，几何体中最长棱的长是，几何体中最长棱的长是_第第 1111 题图题图第第 1212 题图题图1212如图，正方体如图，正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为 1 1，P P是上底面是上底面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1内一动点，内一动点，那么三棱锥那么三棱锥P P ABCABC的的正视图与侧视图的面积的比为正视图与侧视图的面积的比为_，三棱锥，三棱锥P P ABCABC的体积是的体积是_1313正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的外表积为外表积为 1212，当正四棱柱的体积最大时，正四，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为棱柱的高为_1414正方体正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为 2 2，点，点M M为为CCCC1 1的中点，的中点，点点N N为线段为线段DDDD1 1上靠近上靠近D D1 1的三等分点，的三等分点，-6-6-平面平面BMNBMN交交AAAA1 1于点于点Q Q，那么线段，那么线段AQAQ的长为的长为_1515如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，E E，F F分别为线分别为线段段ADAD，BCBC上的点，上的点，ABEABE2020，CDFCDF3030.将将ABEABE绕直线绕直线BEBE、CDFCDF绕直线绕直线CDCD各自独立旋各自独立旋转一周，转一周，那么在所有旋转过程中，那么在所有旋转过程中，直线直线ABAB与直线与直线DFDF所成角的最大值为所成角的最大值为_第第 1515 题图题图第第 1616 题图题图1616如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，CDCDBDBD，ABDABD，ABABBDBD4 4，CDCD2 2，现将现将BCDBCD沿沿BDBD折起，折起，3 3 5 5当二面角当二面角A A BDBD C C的大小处于的大小处于，的过程时，的过程时，6 66 6线段线段ACAC长度的最小值是长度的最小值是 _，最大值是，最大值是_-7-7-1717ABCABC在平面在平面内，内，ACBACB9090，点，点P P，PAPAPBPBPCPC7 7，ABAB1010，ACAC6 6，那么点，那么点P P到平面到平面的距离等于的距离等于_，PCPC与平面与平面PABPAB所成角的正弦值为所成角的正弦值为_小题专题练小题专题练(四四)1 1解析：选解析：选 D.D.直棱柱的侧棱与底面垂直，底直棱柱的侧棱与底面垂直，底面形状不定，应选项面形状不定，应选项A A，C C 都不够准确；选项都不够准确；选项B B 中中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故 B B 不不正确正确2 2解析：选解析：选 D.D.由题意知由题意知a a(a ab b)0 0，即，即a aa ab b0 0，所以，所以 14147 70 0，解得，解得2.2.3 3解析：解析：选选 C.C.如图，如图，取取DDDD1 1的中点的中点F F，连接连接AFAF，2 2FCFC1 1，那么过点，那么过点A A，E E，C C1 1的平面即为面的平面即为面AECAEC1 1F F，所，所以剩余几何体的侧视图为选项以剩余几何体的侧视图为选项 C.C.1201204 4解析：选解析：选 A.A.圆锥的侧面积圆锥的侧面积1 1 3603602 2-8-8-1201201 1，圆锥的底面半径圆锥的底面半径2 21 12 2，圆圆3 33603603 31 1锥的底面积锥的底面积，圆锥的外表积侧面积圆锥的外表积侧面积9 99 94 4底面积底面积，所以这个圆锥的外表积与侧面积所以这个圆锥的外表积与侧面积9 9的比为的比为 43.43.1 15 5解析：选解析：选 A.A.由于由于 coscosm m，n n，所以，所以2 2m m，n n120120.所以直线所以直线l l与与所成的角为所成的角为3030.6 6解析：选解析：选 B.B.由三视图得，该几何体是从四由三视图得，该几何体是从四棱锥棱锥P P ABCDABCD中挖去半个圆锥后剩余的局部，中挖去半个圆锥后剩余的局部，四棱四棱锥的底面是以锥的底面是以 2 2 为边长的正方形，高是为边长的正方形，高是 2 2，圆锥，圆锥的底面半径是的底面半径是 1 1，高是高是 2 2，那么所求几何体的体积那么所求几何体的体积1 11 11 18 82 2V V 2 22 22 2 1 1 2 2.3 32 23 33 3-9-9-7.7.)解析：选解析：选 B.B.如图，可得如图，可得ADADEBEB(ABABBDBDEBEB3 3ABABEBEB42423 31212552 2 3 3coscos2 22 2 3 3(为为ADAD与与EBEB的夹角的夹角)，所以所以coscos，sinsin5 513133939，tantan，又因为，又因为BEBE平面平面AAAA1 1C C1 1C C，5 56 62 2 3939所以所求角的正切值为所以所求角的正切值为.13138 8解析：选解析：选 A.A.由由l l，m m，n n为三条不重合的直为三条不重合的直线，线，为两个不同的平面知，在为两个不同的平面知，在 A A 中，假设中，假设m m，m m，那么由面面平行的判定定理得，那么由面面平行的判定定理得，故，故 A A 正确；在正确；在 B B 中，假设中，假设l lm m，l ln n，m m，n n，那么，那么l l与与相交、平行或相交、平行或l l，故故 B B 错误；在错误；在 C C 中，假设中，假设l l，m m，m m-10-10-l l，那么，那么m m与与相交，故相交，故 C C 错误；在错误；在 D D 中，假中，假设设m mn n，m m，那么那么n n或或n n，故故D D 错误错误 应应选选 A.A.9 9 解析：解析：选选 A.A.设这个简单几何体的总高度为设这个简单几何体的总高度为h h，图乙简单几何体上面没有充满水的高度为图乙简单几何体上面没有充满水的高度为x x，图，图丙简单几何体上面没有充满水的高度为丙简单几何体上面没有充满水的高度为y y，那么，那么 x x9 9y y，x x9 9，所以所以h h29.29.x x2020y y2828 y y1 1，10.10.解析：选解析：选 A.A.将长方体中含有将长方体中含有ABDABD1 1的平面取出，的平面取出，过点过点A A作作AMAMBDBD1 1，延长，延长AMAM，使，使MPMPAMAM，那么，那么P P是是A A关于关于BDBD1 1的对称点，的对称点，如下图，如下图，过过P P作作PEPEBCBC1 1，垂足为垂足为E E，依题意，依题意ABAB1 1，ADAD1 1 3 3，BDBD1 12 2，1 1ABDABD1 16060，BAMBAM3030，PBEPBE3030，PEPE，2 2-11-11-3 3BEBE，所以，所以PCPC1 11 1，应选，应选 A.A.2 21111解析：解析：由三视图可知，该几何体是棱长为由三视图可知，该几何体是棱长为 2 2 的正方体的正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中的三棱锥中的三棱锥M M A A1 1B B1 1N N，如下图，如下图，M M是棱是棱ABAB上靠近点上靠近点A A的一个三等分点，的一个三等分点，N N是棱是棱C C1 1D D1 1的中的中1 11 14 4点，所以点，所以VMVM A A1 1B B1 1N N 2 22222.又又A A1 1B B1 13 32 23 32 2，A A1 1N NB B1 1N N 2 2 1 1 5 5，A A1 1M M2 2 1010，B B1 1M M3 32 22 22 22 22 22 22 22 2 3 32 24 42 22 2 13132 2 ，MNMN3 33 31 12 273732 2 2 2 ，所以该几何体中最长棱所以该几何体中最长棱3 33 37373的长是的长是.3 3-12-12-4 4答案：答案：3 373733 31212解析：作三棱锥解析：作三棱锥P P ABCABC的正视图时，点的正视图时，点A A的正投影是的正投影是D D，点点P P的正投影在的正投影在C C1 1D D1 1上，上，因此三棱因此三棱1 11 12 2锥锥P P ABCABC正视图的面积正视图的面积S S正正 1 1 ，作三棱锥，作三棱锥2 22 2P P ABCABC的侧视图时，的侧视图时，点点A A的正投影是的正投影是B B，点点P P的正的正投影在投影在C C1 1B B1 1上，因此三棱锥上，因此三棱锥P P ABCABC的侧视图的面的侧视图的面1 11 12 2积积S S侧侧 1 1 ，故故S S正正S S侧侧11，11，三棱锥三棱锥P P ABCABC2 22 21 11 1的体积的体积V VS SABCABCAAAA1 1.3 36 61 1答案：11答案：116 61313 解析：解析：设正四棱柱的底面边长为设正四棱柱的底面边长为a a，高为高为h h，球的半径为球的半径为r r，由题意知，由题意知 4 4r r2 21212，所以，所以r r2 23 3，又，又 2 2a ah h(2(2r r)1212，所以，所以a a6 6，所以，所以2 22 2 h h 2 2正四棱柱的体积正四棱柱的体积V Va a h h 6 6 h h，那么，那么V V6 62 2 2 22 22 22 2h h2 2-13-13-3 32 2h h，由，由V V0，得0，得 00h h22，由，由V V022，2 2所以当所以当h h2 2 时，正四棱柱的体积最大，时，正四棱柱的体积最大，V Vmaxmax8.8.答案：答案：2 21414解析：如下图，在线段解析：如下图，在线段DDDD1 1上靠近点上靠近点D D处处取一点取一点T T，1 1使得使得DTDT，因为因为N N是线段是线段DDDD1 1上靠近上靠近D D1 1的三等的三等3 32 2分点，故分点，故D D1 1N N，3 31 12 2故故NTNT2 2 1 1，3 33 3因为因为M M为为CCCC1 1的中点，的中点，故故CMCM1 1，连接连接TCTC，由由NTNTCMCM，且且CMCMNTNT1 1，知四边形知四边形CMNTCMNT为平行四边形，故为平行四边形，故CTCTMNMN，同理在同理在AAAA1 1上靠近上靠近A A处取一点处取一点Q Q，使得，使得AQAQ-14-14-1 1，连接，连接BQBQ，TQTQ，3 3那么有那么有BQBQCTCTMNMN，故，故BQBQ与与MNMN共面，共面，1 1即即Q Q与与Q Q重合，故重合，故AQAQ.3 31 1答案：答案：3 31515解析：解析：ABAB不动，因为不动，因为ABABCDCD，故无论直线，故无论直线DFDF运动到哪里，其与运动到哪里，其与CDCD的夹角不变，与的夹角不变，与ABAB的夹的夹角也不变为角也不变为 3030.假设假设DFDF不动，不动，ABAB转动，转动，两者的两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当定时的夹角；当ABAB转动到转动到BFBF的另一侧且与原始的另一侧且与原始位置共面时，位置共面时，假设假设DFDF不动，不动，可计算出两者的夹角可计算出两者的夹角是是 1010，假设，假设DFDF转动同一平面的另一边，此时转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为两线的夹角为 7070，取到最大值因此，此题正，取到最大值因此，此题正确答案是确答案是 7070.答案：答案：707016.16.-15-15-解析：设二面角解析：设二面角A A BDBD C C的平面角为的平面角为，如图，如图，取取BDBD的中点的中点E E，连接连接AEAE，那么那么AEAE2 2 3.3.因为因为ACACAEAEEDEDDCDC，所以所以ACAC2 2AEAE2 2EDED2 2DCDC2 22 2AEAEEDED2 2EDEDDCDC2 2AEAEDCDC12124 44 40 00 02222 3 32 2cos(cos()20208 8 3cos3cos，5 53 3因为因为，所以，所以 coscos，6 66 62 23 32 2，所以，所以ACAC88，3232，故线段，故线段ACAC长度的取值长度的取值2 2范围是范围是22 2 2，4 4 22答案：答案：2 2 2 24 4 2 217.17.解析：如下图，取解析：如下图，取ABAB的中点的中点D D，连接，连接PDPD，CDCD，因为因为PAPAPBPB，所以，所以PDPDABAB，又，又ABCABC为直角三角为直角三角-16-16-形，形，所以所以ADADCDCD，又又PAPAPCPC，所以所以APDAPDCPDCPD，所所以以CDPCDPADPADP9090，所所以以PDPDDCDC.又又ABABDCDCD D，那么，那么PDPD，PDPD为点为点P P到平面到平面的的距离，又距离，又PAPA7 7，ABAB1010，所以，所以ADAD5 5，PDPDPAPAADAD2 2 6.6.法一：设点法一：设点C C到平面到平面PABPAB的距离为的距离为d d，PCPC与平与平1 1面面PABPAB所成角的大小为所成角的大小为，由由V VP P ABCABCV VC C PABPAB得得PDPDS S3 31 11 11 11 11 16 6 6 68 8d d 1010ABCABCd dS SPABPAB，即，即 2 23 33 32 23 32 22424d d24242 2 6 6，所以，所以d d.故故 sinsin.5 5PCPC3535法二：法二：过点过点C C作作CECEABAB于点于点E E，连接连接PEPE，因为因为2 22 2PDPD，PDPD 平面平面PABPAB，所以平面所以平面PABPAB平面平面ABCABC，又又CECE 平面平面ABCABC，平面平面ABCABC平面平面PABPABABAB，所以所以CECE平面平面PABPAB，那么，那么CPECPE为为PCPC与平面与平面PABPAB所成所成2424的角，在的角，在RtRtABCABC中，易得中，易得CECE，所以，所以sinsin 5 5-17-17-CPECPECECE2424PCPC3535.答案：答案：2 2 6 624243535-18-18-