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勾股定理一、内容提要一、内容提要1.勾股定理及逆定理：ABC 中CRta2b2=c22.勾股定理及逆定理的应用 作已知线段 a 的2，3，5倍 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 证明线段的平方关系等。3.勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式 a2b2=c2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数.4.勾股数的推算公式 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家17891853）任取两个正整数 m 和 n(mn),那么 m2-n2，2mn,m2+n2是一组勾股数。k21 k21 如果 k 是大于 1 的奇数，那么 k,是一组勾股数。22 K K 如果 k 是大于 2 的偶数，那么 k,1,1是一组勾股数。22 如果 a,b,c 是勾股数，那么 na,nb,nc(n 是正整数)也是勾股数。5.熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。1.常用勾股数口诀记忆22常见勾股数常见勾股数3，4，5：勾三股四弦五5，12，13：512 记一生6，8，10：连续的偶数7，24，25：企鹅是二百五8，15，17：八月十五在一起特殊勾股数特殊勾股数连续的勾股数只有 3，4，5连续的偶数勾股数只有 6，8，102.100 以内的勾股数开头数字为开头数字为 2020 以内以内6.3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82二、例题二、例题例 1.已知线段 aa5a2a3a5a求作线段5aa222分析一：5a5a4a a2a15a 是以 2a 和 a 为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：5a9a 4a25a 是以 3a 为斜边，以 2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例 2.四边形 ABCD 中DAB60，BDRt，BC1，CD2求对角线 AC 的长A例 3.已知ABC 中，ABAC，B2Abc求证：AB2BC2ABBC例 4.如图已知ABC 中，ADBC，ABCDACBDCBmDn求证：ABAC例 5.已知梯形 ABCD 中，ABCD，ADBC求证：ACBD证明：作 DEAC，DFBC，交 BA 或延长线于点 E、FACDE 和 BCDF 都是平行四边形DEAC，DFBC，AECDBFDjC作 DHAB 于 H，根据勾股定理AH2AD2-DH2，FHDF2-DH2EBADBC，ADDFAFHAHFH，EHBH222DEDH EH，BDDH BHDEBD即 ACBD例 6.已知：正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 EFGH 内接于 ABCD，AEa，AFb,且 SEFGHAEDH23求：ba的值（20012001 年希望杯数学邀请赛，初二）年希望杯数学邀请赛，初二）F三、练习三、练习CBG1.以下列数字为一边，写出一组勾股数：7，8，9，10，11，12，2.根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：252242，52122，8 15，25-153.ABC 中，AB25，BC20，CA15，CM 和 CH 分别是中线和高。那么SABC，CH，MH4.梯形两底长分别是 3 和 7，两对角线长分别是6 和 8，则 S梯形5.已知：ABC 中，AD 是高，BEAB，BECD，CFAC，CFBD求证：AEAF222226.已知：M 是ABC 内的一点，MDBC，MEAC，MFAB，且 BDBF，CDCEEA求证：AEAFFA(5)EFMBCCDBD7.在ABC 中，C 是钝角，a2-b2=bc求证A2B8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长10 等腰直角三角形 ABC 斜边上一点 P，求证：AP2BP22CP211.已知ABC 中，ARt，M 是 BC 的中点，E，F 分别在 AB，ACMEMF求证：EF2BE2CF212.RtABC 中，ABC90，C600，BC2，D 是 AC 的中点，从 D 作 DEAC 与 CB 的延长线交于点 E，以 AB、BE 为邻边作矩形 ABEF，连结 DF，则 DF 的长是。（20022002 年希望杯数学邀请赛，初二试题年希望杯数学邀请赛，初二试题）AFA(11)(12)EDFBEMCBC13.ABC 中，ABAC2，BC 边上有 100 个不同的点 p1，p2，p3，p100,记 mi=APi2+BPiPiC(I=1,2，100)，则 m1+m2+m100=_7.知识点一：勾股定理知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么 a2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释：要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2,a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理知识点二：用面积证明勾股定理方法一：方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（1）中，所以。3方法二：方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（2）中，所以。方法三：方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）1 和（3）2 所示的两个形状相同的正方形。在（3）1 中，甲的面积=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）,在（3）2 中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：方法四：方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。.，所以。经典例题透析经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtABC 中，C=90(1)已知 a=6，c=10，求 b，(2)已知 a=40，b=9，求 c；(3)已知 c=25，b=15，求 a.思路点拨思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：解析：(1)在ABC 中，C=90，a=6，c=10,b=(2)在ABC 中，C=90，a=40，b=9,c=4(3)在ABC 中，C=90，c=25，b=15,a=举一反三举一反三【变式】:如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,则 AB 的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，.求：BC 的长.总结升华总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.举一反三举一反三【变式 1】如图，已知：，于 P.求证：.【变式 2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。类型三：勾股定理的实际应用类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60方向走了后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的地 C 点。（1）求 A、C 两点之间的距离。（2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。到达 B 点，然总结升华总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出ABC 是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。举一反三举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?5（二）用勾股定理求最短问题（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线举一反三举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所爬行的最短路线的长是_类型四：利用勾股定理作长为类型四：利用勾股定理作长为5、作长为、的线段的线段的线段。举一反三举一反三【变式】在数轴上表示的点。类型五：逆命题与勾股定理逆定理类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确7、如果ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC 的形状。举一反三举一反三【变式 1】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积。【变式 2】已知:ABC 的三边分别为 m2n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数,且 mn),判断ABC 是否为直角三角形.【变式 3】如图正方形ABCD，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且BF=请问 FE 与 DE 是否垂直?请说明。经典例题精析经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法AB。61、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。总结升华：总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三举一反三【变式变式 1 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。【变式变式 2 2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【变式变式 3 3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求 n。思路点拨：思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。总结升华：总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式变式 4 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40【变式变式 5 5】四边形ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。类型二：勾股定理的应用类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？总结升华总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三举一反三【变式变式 1 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设 2 步为 1m），却踩伤了花草。【变式变式 2 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD 的面积是多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线）。【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。（2）如图可直接得出平行四边形ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积7（3）过 A 作 AKBC 于点 K（如图所示），则在 RtACK 中，故类型三：数学思想方法类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角为直角三角形问题来解决示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。形，将问题转化3、如图所AB、AC 边上的总结升华总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法（二）方程的思想方法4、如图所示，已知ABC 中，C=90，A=60，求、的值。总结升华：总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：举一反三：【变式变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的长。A2023B10、若VABC中，AB 13cm,AC 15cm，高 AD=12,则 BC 的长为（）A：14 B：4 C：14 或 4 D：以上都不对18、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点的最短路程是；24、如图，已知在ABC 中，CDAB 于 D，AC20，BC15，DB9。(1)求 DC 的长。(2)求 AB 的长。A AD DB BC C27、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为 8cm，长 BC为 10cm当小红折叠时，顶点 D 落在 BC 边上的点 F 处（折痕为 AE）想一想，此时 EC 有多长？ADE8BC初二奥数竞赛第初二奥数竞赛第 5 5 讲讲勾股定理勾股定理1.如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 为边向内作等边ABD，连接 DC，以 DC 为边作等边DCEB、E 在 C、D 的同侧，若 AB=，则 BE=_2如图所示，在ABC 中，AB=5cm，AC=13cm，BC 边上的中线 AD=6cm，那么边 BC 的长为 _cm3如图，设 P 是等边ABC 内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB 的度数是_4如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为 _5 若ABC 的三边 a、b、c 满足条件：+6如图，AD 是ABC 的中线，ADC=45，把ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C处，则 BC与 BC 之间的数量关系是 BC=_BC7如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为ABC 内一点，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后与ACP重合，如果 AP=3，那么线段 PP的长等于 _8如图，已知 AB=13，BC=14，AC=15，ADBC 于 D，则 AD=_9如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且ABC=90，则四边形 ABCD 的面积是_cm210如图，已知 P 是ABC 边 BC 上一点，且 PC=2PB，若ABC=45，APC=60，求：ACB 的大小9+338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为 _11一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由12如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形（1）使三角形三边长为3，；（2）使平行四边形有一锐角为45，且面积为 413 已知：如图，在ABC 中，AB=AC，A=120，AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC，AB 于点 M，N，求证：CM=2BM14如图，在 RtABC 中，A=90，D 为斜边 BC 中点，DEDF，求证：15在ABC 中，AB=AC（1）如图，若点 P 是 BC 边上的中点，连接 AP求证：BPCP=-；=+（2）如图，若点P 是 BC 边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；（3）如图，若点 P 是 BC 边延长线上一点，线段 AB，AP，BP，CP 之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论（不必证明）10显示解析1112