2019届高三理科数学二轮复习配套练习：第一篇+专题七+第1讲概率、随机变量及其分布列限时训练.pdf
专题七 概率与统计 第 1 讲 概率、随机变量及其分布列 (限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号 抽样方法 1,5 古典概型 2,3,6,11,12 几何概型 4,7,9 离散型随机变量的分布列 8,11,12 正态分布 10 一、选择题 1.(2018福州市质检)为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查,事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(C)(A)简单随机抽样 (B)按性别分层抽样(C)按年龄段分层抽样(D)系统抽样 解析:根据题意及分层抽样的特点,最合理的抽样方法是按年龄段分层抽样.故选 C.2.(2018武汉市四月调研)一张储蓄卡的密码共由 6位数字组成,每位数字都可以是 0 9中的任意一个.某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,如果任意按最后一位数字,不超过 2次就按对的概率为(C)(A)(B)(C)(D)解析:按 1 次按对的概率为,按 2 次按对的概率为=,由互斥事件的概率公式得所求的概率为 P=+=.故选 C.3.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:法一 4位同学,每位同学都可以选周六、周日参加活动,每位同学有 2 种选法,根据乘法原理,共有 24=16种方法.其中周六、周日都有同学参加活动的方法有+=14种.则所求概率为 P=.故选 D.法二 4位同学任选周六、周日的基本事件数为 24,都选择同一天活动为 2 种,则所求事件的概率为 1-=.故选 D.4.勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,其证明方法有几百种之多.著名的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图,在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到的正方形 ABDE是由 4 个全等的直角三角形和中间的一个小正方形 CFGH组成的.若 RtABC的三边长构成等差数列,则在正方形ABDE内任取一点,此点取自小正方形 CFGH内的概率为(C)(A)(B)(C)(D)解析:法一 由于 RtABC的三边长成等差数列,所以 2b=a+c,又a2+b2=c2,于是(2b-c)2+b2=c2,故=,=.大正方形ABDE的面积为c2,小正方形 CFGH的面积为(b-a)2,在正方形 ABDE内任取一点,此点取自小正方形 CFGH内的概率为=(-)2=.故选 C.法二 由于 RtABC的三边长成等差数列,不妨设 a=3,b=4,c=5,于是大正方形 ABDE的面积为 c2=25,小正方形 CFGH的面积为(b-a)2=1,所以在正方形ABDE内任取一点,此点取自小正方形CFGH内的概率为.故选 C.5.某学校采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800名学生中抽 50名学生做视力检查.现将800名学生从1 到800进行编号.已知从3348 这16 个数中抽到的数是39,则在1 16 中随机抽到的数是(B)(A)5(B)7 (C)11(D)13 解析:把 800名学生平均分成 50 组,每组 16 人,各小组抽到的数构成一个公差为 16 的等差数列,39在第 3 组,所以第 1 组抽到的数为 39-32=7.故选 B.6.(2018湖北武汉高三调研)将一枚质地均匀的骰子投两次,得到的点数依次记为 a 和 b,则方程 ax2+bx+1=0有实数解的概率是(C)(A)(B)(C)(D)解析:若方程ax2+bx+1=0有实根,则必有=b2-4a0,若 a=1,则 b=2,3,4,5,6;若 a=2,则 b=3,4,5,6;若 a=3,则 b=4,5,6;若 a=4,则 b=4,5,6;若 a=5,则 b=5,6;若 a=6,则 b=5,6,所以事件“方程ax2+bx+1=0有实根.”包含基本事件共5+4+3+3+2+2=19,所以事件的概率为.故选 C.7.(2018河北省“五个一名校联盟”二次考试)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000个点,则落在阴影部分(曲线 C的方程为 x2-y=0)的点的个数约为(B)(A)3 333(B)6 667(C)7 500(D)7 854 解析:题图中阴影部分的面积为(1-x2)dx=(x-)|=,正方形的面积为 1,设落在阴影部分的点的个数为 n,由几何概型的概率计算公式可知,=,n6 667.故选 B.二、填空题 8.(2018浙江杭州模拟)随机变量 的分布列为 -1 0 1 2 P x y 若 E()=,则 x+y=,D()=.解析:因为 E()=,所以由随机变量 的分布列,知 所以 x+y=,x=,y=,D()=(-1-)2+(0-)2+(1-)2+(2-)2=.答案:9.甲、乙两人约定上午 7:00至 8:00之间到某站乘公共汽车,在这段时间内有 3班公共汽车,它们开车时刻分别为 7:20,7:40,8:00,如果他们约定,见车就乘,则甲、乙同乘一车的概率为 .解析:设甲到达该站的时刻为 x,乙到达该站的时刻为 y,则 7 x 8,7 y 8,即甲、乙两人到达该站的时刻(x,y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大(单位)正方形.将三班车到站的时刻在图形中画出,则甲、乙两人要想乘同一班车,必须满足 或或 即(x,y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内,所以由几何概型的计算公式得 P=,即甲、乙同乘一车的概率为.答案:10.(2017四川资阳 4月模拟)已知随机变量 X服从正态分布 N(2,2),且 P(0X 2)=0.3,则 P(X4)=.解析:由题意结合正态分布的性质可知 P(2X 4)=0.3,则 P(X4)=0.2.答案:0.2 三、解答题 11.(2018山西省六校第四次联考)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 20 件产品作为样本.称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495,(495,500,(510,515,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.(1)在上述抽取的 20 件产品中任取 2 件,设 X 为取到重量超过 505克的产品件数,求 X=2的概率;(2)从上述 20 件产品中任取 2 件产品,设 Y 为取到重量超过 505克的产品件数.求 Y 的分布列与期望.解:(1)由频率分布直方图可知,重量超过 505克的产品件数是 20(0.055+0.015)=6,所以 P(X=2)=.(2)Y的所有可能取值为 0,1,2,由(1)知重量超过 505克的产品有 6 件.P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,所以 Y 的分布列为 Y 0 1 2 P E(Y)=0+1+2=.12.(2018洛阳市统考)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司,底薪 80 元,每单送餐员抽成 4 元;乙公司,无底薪,40单以内(含 40 单)的部分送餐员每单抽成 6 元,超出 40 单的部分送餐员每单抽成 7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,现从这两家公司各随机选取一名送餐员,并分别记录其 50 天的送餐单数,得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5(1)现从记录甲公司的 50 天送餐单数中随机抽取 3 天的送餐单数,求这 3 天送餐单数都不小于 40 的概率.(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:记乙公司送餐员日工资为 X(单位:元),求 X的分布列和数学期 望 E(X);小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.解:(1)记抽取的 3 天送餐单数都不小于 40 为事件 M,则 P(M)=.(2)设乙公司送餐员的送餐单数为 a,当 a=38时,X=386=228,当 a=39时,X=396=234,当 a=40时,X=406=240,当 a=41时,X=406+17=247,当 a=42时,X=406+27=254.所以 X 的所有可能取值为 228,234,240,247,254.故 X 的分布列为 X 228 234 240 247 254 P 所以 E(X)=228+234+240+247+254=241.8.依题意,甲公司送餐员的日平均送餐单数为 380.2+390.3+400.2+410.2+420.1=39.7,所以甲公司送餐员的日平均工资为 80+439.7=238.8元.由得乙公司送餐员的日平均工资为 241.8元.因为 238.8241.8,所以推荐小王去乙公司应聘.
