《空间向量运算的坐标表示》说课稿.pdf
空间向量运算的坐标表示说课稿空间向量运算的坐标表示说课稿各位评委、老师:大家好！今天我说课的内容是空间向量运算的坐标表示的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍：一、教材分析一、教材分析（一）地位和作用（一）地位和作用本节课内容选自人教数学选修 2-1 第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容,是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广,是空间向量运算的坐标表示的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础.它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答,所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。（二）目标的确定及分析（二）目标的确定及分析根据新课标和我对教材的理解,结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法;情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1)知识与技能:通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示,并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题.（2）过程与方法：通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比,使学生掌握空间向量运算的坐标表示,渗透类比的数学方法；会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观:通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。(三）重难点的确定及分析三）重难点的确定及分析本节课的重点是:空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所成角及线线垂直问题.本课的难点是：建立恰当的空间直角坐标系，正确求出点的坐标及向量的坐标，把空间向量运算的坐标公式运用到立体几何问题中。二、学生情况二、学生情况本课的学习对象高二学生,他们已经掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算、空间向量基本定理，有了一些基础，本节内容学生应该容易接受,但真正要用空间向量运算的坐标表示去解决具体的立体几何问题还有些难度.三、教法和学法分析三、教法和学法分析根据教材的特点和学生的实际情况，本节课采用“启发探究式的教学方法：从教材内容来看，空间向量的坐标运算无论是结构还是内容都与平面向量相似,因此在教学中运用类比作为思维的主线进行教学，从空间向量的坐标运算问题提出到空间直角坐标系的建立，从向量坐标的确定到向量坐标运算规律的探索、证明和记忆都与平面向量作类比，让学生经历向量坐标运算由平面向量向空间向量的推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展过程。从学生的特点确立引导探索结合的学习方法。考虑到我教的学生基础还是比较薄弱,如果放手学生自主探索，学生会无从下手,采用教师引导学生探索，引导学生思考，这样既可以避免学生无从下手，又可以让学生积极思考.把引导探索、交流探讨等活动贯穿于课堂教学的全过程,突出学生的主体地位。遵循“学为主体”的教育思想，做到学与练紧密结合。本课运用多媒体展示，三角板直观教具的演示，课堂讨论，合作学习等形式，通过比较分析、实践让学生能更好地理解空间向量运算的坐标表示，并能运用其去解决简单的立体几何问题。四、教学过程四、教学过程(一）一）、复习引入：、复习引入：平面向量的坐标运算：设a (a1,a2),b (b1,b2),A(x1,y1),B(x2,y2),则(1)a b (a1b1,a2b2)a b (a1b1,a2b2)a(a1,a2)(R)ab a1b1a2b2(2)a/b(b 0)a b即a1b1,a2b2a b ab 0a1b1 a2b2 02（3）|a|a12a2AB OBOA(x2x1,y2 y1)dAB|AB|(x2 x1)2(y2 y1)2cos a,b a1b1a2b2ab（注意：a,b 0,）2222|a|b|a1a2b1b2师生活动师生活动教师提出问题.学生思考、并回答。教师在学生回答的基础上补充、总结,并利用多媒体展示设计意图设计意图复习平面向量运算坐标表示,为本节课奠定基础.(二）二）、新授：、新授：空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示：设a (a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，则(1)a b (a1b1,a2b2,a3b3)a b (a1b1,a2b2,a3b3)a (a1,a2,a3)(R)ab a1b2a2b2a3b3问题：上述法则怎样证明呢？以ab为例进行证明 (将a a1i a2j a3k和b b1i b2j b3k代入即可）(2)a/b a b(b 0)即a1b1,a2b2,a3b3a b ab 0a1b1 a2b2 a3b3 02a12AB OBOA(x2x1,y2 y1,z2z1)(3)|a|a12a2dAB|AB|(x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)2cos a,b a1b1a2b2a3b3ab（注意:a,b 0,)223222|a|b|a1a2a3b1b2b3师生活动师生活动教师提出问题：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么?学生思考、看课本,并尝试回答。教师多媒体展示并讲授，板演推导过程,强调成立条件。设计意图设计意图培养学生自学能力和类比的方法。(三）应用举例三）应用举例例例 1 1如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E1,F1分别是A1B1,C1D1的一个四等分点，求直线BE1与DF1所成角的余弦值。师生活动师生活动教师提出问题：如何运用空间向量运算坐标公式解决问题学生交流、讨论、思考，并尝试找出办法。教师分析：选择适当的坐标系后,建系求点坐标，向量坐标，根据夹角公式求出两异面直线上的对应向量夹角的余弦值，从而得到异面直线所成角的余弦值。多媒体展示并讲授。解：解：不妨设正方体的棱长为 1，分别以DA,DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，B(1,1,0),E1(1,31,1),D(0,0,0),F,1)1(0,441131BE1(1,1)(1,1,0)(0,1)DF1(0,1)(0,0,0)(0,1)4444BE1 DF1 0 0 (1115)11 4416BE117DF14BE1 DF1BE1 DF1174COS BE1,DF115151617171744因此，直线BE1与DF1所成角的余弦值是15.17设计意图设计意图培养学生思考问题和解决问题的能力。师生活动师生活动教师 提出问题：异面直线上对应向量的夹角与异面直线所成角相等吗?为什么？有何关系？学生交流、讨论、思考，尝试作答。教 师 结 论：不 一 定 相 等，可 能 相 等 或 互 补。则cos COS BE1,DF1 BE1DF1BE1 DF1教师 利用空间向量坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤都有哪些？学生共同讨论，总结教师利用空间向量坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤:（1）建立适当的空间直角坐标系,并求出相关点的坐标。（建系求点）（2)将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示。（构造向量并坐标化）(3）经过向量运算确定几何关系，解决几何问题.(向量运算、几何结论)设计意图设计意图通过问题，引导学生体会解题思路的形成过程并能养成思考的习惯.例 2 如右图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E,F分别是 BB1，D1B1的中点，求证 EFDA1.师生活动师生活动教师让学生读题并提出思考：如何将所求证问题转化为向量问题处理？学生进一步思考并回答。教师 引导学生根据正方形的特殊性，写出相关点及向量的坐标,套用向量运算坐标公式解决此问题。学生根据思路完成该题。证明:如图，不妨设正方体的棱长为 1，分别以DA,DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz,则 E（1,1,11111 1），F（，,1),所以EF (,)。22222 2又 A1（1，0，1），D（0，0，0），所以 DA1（1，0,1),11 1所以EFDA1（，）(1,0,1)022 2因此EFDA1，即 EFDA1.教师评价总结:应用空间向量的坐标运算解决立体几何问题，可使复杂线面关系的论证变得程序化,简单化。设计意图设计意图提高学生应用所学知识解决实际问题的能力.（四）课堂练习：（四）课堂练习：如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1中，点M是AB的中点,求DB1与CM所成的角的余弦值。师生活动师生活动教师将题目用多媒体投影，布置学生练习。学生通过立体的学习，尽量独立完成.教师 在学生完成后，在多媒体上演示解题过程,让学生对比自己的解题过程。解解:设正方体的棱长为 1，建立空间直角坐标系Oxyz，1D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M(1,0)2DB1(1,1,1)(0,0,0)(1,1,1)CM (1,0)(0,1,0)(1,0)DB13CM 52121211DB1CM 111()1 0 22COS DB1,CM DB1CMDB1 CM123 521515因此,直线DB1与CM所成的角的余弦值是15。15设计意图设计意图让学生及时巩固所学方法,培养学生独立分析解决问题的能力.（五）课堂小结（五）课堂小结1.1.知识知识:（1）空间向量运算的坐标表示；（2）利用空间向量运算坐标表示解决简单的立体几何问题.2 2。方法。方法:（1)类比(2）数形结合师生活动师生活动学生总结,老师补充设计意图设计意图培养学生总结的习惯,巩固所学（六）布置作业（六）布置作业教材第 97 页 练习题 2、3五、板书设计五、板书设计空间向量运算的坐标表示一、复习引入三、例题讲解课堂小结：二、探究新知例 11、2例 2布置作业:四、课堂练习六、教学效果设计及反思六、教学效果设计及反思本节课从教材内容考虑,通过学习我们要达到两个要求:一、掌握空间向量运算的坐标表示;二、会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题。由于空间向量的坐标运算无论是结构还是内容都与平面向量相似，用类比的方法探究学习空间向量运算坐标公式,学生接受起来很容易，甚至通过互相讨论就可以得到运算公式。在用空间向量运算坐标公式解决立体几何问题时,要涉及到空间直角坐标系的建立，要把几何关系转为向量关系，结合相应的例题，学生能够理解，在课堂练习上学生还是无法独立完成，还是要多做一些练习巩固所学知识。
