高等数学同济第六版上试题.pdf
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)1.)(0),sin(cos)(处 有则 在设xxxxxf.（A）(0)2f （B）(0)1f （C）(0)0f （D）()f x 不可导.2.）时（，则当，设133)(11)(3xxxxxx.（A）()()xx与 是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）()()xx与 是等价无穷小；（C）()x 是比()x 高阶的无穷小；（D）()x 是比()x 高阶的无穷小.3.若()()()02xF xtx f t dt，其中()f x 在区间上(1,1)二阶可导且 ()0fx，则（）.（A）函数()F x 必在 0 x 处取得极大值；（B）函数()F x 必在 0 x 处取得极小值；（C）函数()F x 在 0 x 处没有极值，但点 (0,(0)F 为曲线()yF x 的拐点；（D）函数()F x 在 0 x 处没有极值，点(0,(0)F 也不是曲线()yF x 的拐点。4.)()(,)(2)()(10 xfdttfxxfxf则是连续函数，且设 （A）22x（B）222x（C）1x（D）2x.二、填空题（本大题有 4 小题，每小题4 分，共16分）5.xxxsin20)31(lim.6.,)(cos的一个原函数是已知xfxx xxxxfdcos)(则.7.lim(coscoscos)22221nnnnnn.8.21212211arcsindxxxx.三、解答题（本大题有5 小题，每小题8 分，共 40 分）9.设函数 ()yy x 由方程 sin()1xyexy 确定，求()yx 以及(0)y.10.d)1(177xxxx求 11.求，设1 32)(1020)(dxxfxxxxxexfx 12.设函数)(xf 连续，10()()g xf xt dt，且 0()limxf xAx，A 为常数.求()g x 并讨论()g x 在 0 x 处的连续性.13.求微分方程 2lnxyyxx 满足 1(1)9y 的解.四、解答题（本大题 10 分）14.已知上半平面内一曲线 )0()(xxyy，过点(,)01，且曲线上任一点 M xy(,)00 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、y 轴、直线 xx0 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题 10 分）15.过坐标原点作曲线 xyln 的切线，该切线与曲线 xyln 及 x 轴围成平面图形D.(1)求 D 的面积 A；(2)求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2 小题，每小题 4 分，共 8 分）16.设函数)(xf 在 0,1 上连续且单调递减，证明对任意的 ,0 1q，100()()qf x d xqf x dx.17.设函数)(xf 在,0 上连续，且 0)(0 xdxf，0cos)(0dxxxf.证明：在,0 内至少存在两个不同的点 21,，使.0)()(21ff（提示：设 xdxxfxF0)()(）解答 一、单项选择题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5.6e.6.cxx2)cos(21.7.2.8.3.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9.解：方程两边求导 (1)cos()()0 xyeyxyxyy cos()()cos()xyxyeyxyy xexxy 0,0 xy，(0)1y 10.解：767uxx dxdu 1(1)112()7(1)71ududuuuuu原式 1(ln|2ln|1|)7uuc 7712ln|ln|1|77xxC 11.解：1012330()2xf x dxxedxxx dx 01230()1(1)xxdexdx 00232cos(1sin)xxxeedx 令 3214e 12.解：由(0)0f，知(0)0g。100()()()xxtuf u dug xf xt dtx(0)x 02()()()(0)xxf xf u dug xxx 0200()()A(0)limlim22xxxf u duf xgxx 0200()()lim()lim22xxxxf xf u duAAg xAx，()g x 在 0 x 处连续。13.解：2lndyyxdxx 22(ln)dxdxxxyeexdxC 211ln39xxxCx 1(1),09yC ，11ln39yxxx 四、解答题（本大题 10 分）14.解：由已知且 02dxyyxy ，将此方程关于 x 求导得 yyy 2 特征方程：022 rr 解出特征根：.2,121rr 其通解为 xxeCeCy221 代入初始条件 yy()()001，得 31,3221CC 故所求曲线方程为：xxeey23132 五、解答题（本大题 10 分）15.解：（1）根据题意，先设切点为)ln,(00 xx，切线方程：)(1ln000 xxxxy 由于切线过原点，解出 ex 0，从而切线方程为：xey1 则平面图形面积 10121)(edyeyeAy （2）三角形绕直线 x=e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则 2131eV 曲线 xyln 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线x=e 一周所得旋转体体积为V2 1022)(dyeeVy D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221eeVVV 六、证明题（本大题有2 小题，每小题 4 分，共 12 分）16.证明：100()()qf x d xqf x dx 100()()()qqqf x d xqf x d xf x dx 10(1)()()qqqf x d xqf x dx 12120,1()()12(1)()(1)()0qqffqq fqq f 故有：100()()qf x d xqf x dx 证毕。17.证：构造辅助函数：xdttfxFx0,)()(0。其满足在,0 上连续，在),0(上可导。)()(xfxF，且 0)()0(FF 由题设，有 0000)(sincos)()(coscos)(0|dxxFxxxFxxdFxdxxf，有 00sin)(xdxxF，由积分中值定理，存在),0(，使 0sin)(F 即 0)(F 综上可知),0(,0)()()0(FFF.在区间,0 上分别应用罗尔定理，知存在 ),0(1 和),(2，使 0)(1F 及 0)(2F，即 0)()(21ff.大一高数试题及答案 一、填空题（每小题分，共分）_ 函数2 的定义域为 _ 2 _。函数x 上点（，）处的切线方程是_。（Xoh）（Xoh）设（X）在 Xo 可导且（Xo），则 ho h _。设曲线过（，），且其上任意点（，）的切线斜率为，则该曲线的方程是 _。_。4 _。x 设（，）（），则x（，）_。_ R R22 累次积分 （2 2 ）化为极坐标下的累次积分为 _。0 0 3 2 微分方程 （）2 的阶数为_。3 2 设级数 n 发散，则级数 n _。n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，每小题分，每小题分，共分）（一）每小题分，共分 设函数（），（），则（）（）0 时，是 （）无穷大量 无穷小量 有界变量 无界变量 下列说法正确的是 （）若（X）在 XXo 连续，则（X）在 XXo 可导 若（X）在 XXo 不可导，则（X）在 XXo 不连续 若（X）在 XXo 不可微，则（X）在 XXo 极限不存在 若（X）在 XXo 不连续，则（X）在 XXo 不可导 若在区间（，）内恒有（），（），则在（，）内曲线弧（）为 （）上升的凸弧 下降的凸弧 上升的凹弧 下降的凹弧 设(x)(x)，则 （）(X)(X)为常数 (X)(X)为常数 (X)(X)（）（）1 （）-1 方程在空间表示的图形是 （）平行于面的平面 平行于轴的平面 过轴的平面 直线 设（，）3 3 2 ，则（，）（）（，）2（，）3（，）（，）2 n 设n，且 ，则级数 n （）n n=1 在时收敛，时发散 在时收敛，时发散 在时收敛，时发散 在时收敛，时发散 方程 2 是 （）一阶线性非齐次微分方程 齐次微分方程 可分离变量的微分方程 二阶微分方程 （二）每小题分，共分 下列函数中为偶函数的是 （）x 3 3 设（）在（，）可导，12，则至少有一点（，）使（）（）（）（）（）（）（）（）（21）（2）（1）（）（）（2）（1）（）（21）设（X）在 XXo 的左右导数存在且相等是（X）在 XXo 可导的 （）充分必要的条件 必要非充分的条件 必要且充分的条件 既非必要又非充分的条件 设（）（）2，则（），则（）（）过点（，）且切线斜率为 3 的曲线方程为 （）4 4 4 4 x 2 （）x0 3 0 （）x0 22 y0 对微分方程（，），降阶的方法是 （）设，则 设，则 设，则 设，则 设幂级数 nn 在o（o）收敛，则 nn 在o（）n=o n=o 绝对收敛 条件收敛 发散 收敛性与n 有关 设域由，2 所围成，则 （）D 1 1 0 x _ 1 y 0 y _ 1 x 0 x _ 1 x 0 x 三、计算题（每小题分，共分）_ 设 求 。（）（2）求 。x4/3 计算 。（x）2 t 1 设 （），（），求 。0 t 求过点（，），（，）的直线方程。_ 设 x，求 。x asin 计算 。0 0 求微分方程（）2 通解 。将（）展成的幂级数 。（）（）四、应用和证明题（共分）（分）设一质量为的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度 （比例常数为）求速度与时间的关系。_ （分）借助于函数的单调性证明：当时，。附：高数（一）参考答案和评分标准 一、填空题（每小题分，共分）（，）2 2 （）/2 （2）0 0 三阶 发散 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的 （）内，每小题分，每小题分，共分）（一）每小题分，共分 （二）每小题分，共分 三、计算题（每小题分，共分）解：（）（）（分）（）（分）_ （）（分）
