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数形结合思想例题选讲 数形结合思想例题选讲 数形结合思想是“数”与“形”结合，互相浸透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题互相转变，使抽象思想和形象思想有机结合。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转变 （）会集的运算及韦恩图 （）函数及其图象 （）数列通项及乞降公式的函数特色及函数图象 （）方程（多指二元方程）及方程的曲线 以形助数常用的有借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特色；借助于分析几何方 法；以数助形常用的有借助于几何轨迹所依据的数目关系；借助于运算结果与几何定理的结合。例题选讲 种类一：会集的运算及韦恩图 利用数形结合的思想解决会集问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。当所给问题的数目关系比较复杂，且没有学容斥原理前，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的成效。例如图，是全集，、是的个子集，则暗影部分所表示的会集是（）。解：暗影部分是 与的公共部分（转变成会集语言就是），且在 的外 部（转变成会集语言就是 ），应选。经过上述例子，我们知道：当应用 题中牵 涉到会集的交集、并集、补集时，用韦恩图比用数轴法简略。种类二：图表信息题 此类题目都有图形（或图表）作为已知条件，须联系函数的性质分析求 解，解 决问题的要点是从已知图形（图表）中发掘信息 例直角梯形如图（），动点从点出发，由 沿边运动，设点 运动的路 程为，的面积为假如函数 的图象如图（），则 的面积为（）解：由 时由变最大说明，图象可知 当由 由及时不变 说明点在 上 即 图（）图（）则 因此过作 由此可求出 选 例在某种新式资料的研制中，实验人员获取了以下一组实验数据：现准备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，此中最凑近的一个是 数形结合思想例题选讲 解：解法一 把表中的数值取整数代入以下函数中逐个计算 近似估量 最凑近值的一个函数为 应选解法二 把表中近似描点连线 比较可得最凑近的函数为的图象 应选 种类三：分析几何中直线与曲线 例曲线 与直线 有两个交点时，实数 的取值范围 分析 方程的曲线为半圆，为过（，）的直线 答案（种类四：方程（多指二元方程）及方 程的曲线交点问题 例已知最小正周期为 的函数，当 时，则函数（）的图象 与的图象交点个数为（）解：本题观察周期函数的图象和性质，对数函数的图象和性质及含有绝对的函数的图象的画法，本题考 查数形结合思想 由图象可知，有 个交点 应选 种类五：二次函数种类 例 设当 时，恒建立，求 解法一 由，在 上恒建立 在 上恒建立 观察函数 的图象在 时位于轴上方 如图两种状况 不等式的建立条件是 的取值范围 ，综上所述 解法二 由 令在同一坐标系中作出两个函数的图象 如图满足条件的直线 位于与之间，而直线、对应的值（即直线 的斜率）分别为，故直线对应的 种类六：函数知识解应用题 函数知解应用题的题型比较丰富 一般为中档题 此中对于建立的各种数学模型，要能够模型鉴别，充分利 用数学方法加以解决，并能累积必定数目的典型的函数模型，这是顺利解决实质问题的重要资本 例某医药研究所开发一种新药 假如成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药 量（毫克）与 时间（小时）之间的函数关系近似满足以以下图曲线 据进一步测定，每毫升血液中含药量许多于毫克时，毫克 数形结合思想例题选讲 治疗疾病有效 则服药一次治疗该疾病有效的时间为（）小时 小时 小时 小时 解：由已知图象可得 将点代入可得 令可得 或 从而得服药一次治疗该疾病有效的时间为 故应选 种类七：创新题 例 如图 三台机器人 和检测台（与均不可以重合）位于一条直线上三台机器人需把各自生产的零件送交 处进行检测 送检程序设定：当把零件送到处时，立刻自动 出发送检，当 把零件送到 处时，立刻自动出发送检，设 的送检的速度为，且送检速度是 的倍、的倍 （）求三台机器人 把各自生产的零件送到检测台 处的时间总和；（）现要求三台机器人 送检时间总和一定最短，请你设计出检测台 在该直线上的地址 解：（）由已知得检测台 的地址坐标为，则机器人 与检测台的距离分别为又 的送检的速度为，则的送检的速度为，的送检的速度为 故三台机器人 按程序把各自的生产零件送到检测台处的时间总和为 数形结合思想例题选讲 （）设为检测台的地址坐标，则三台机器人 与检测台的距离分别为 于是三台机器人 按程序把各自的生产零件送到检测台处的时间总和为 只要求的最小值 而由分段函数图象适合 时，有 即送检时间总和最短为 又检测台与均不可以重合，故可将检测台 设置在直线上机器人 和 之间的任何地址（不含 的地址），都能使各机器人 的送检时间总和最短