2020届河北衡水中学高三文科数学试卷及答案.pdf
第 1 页 共 11 页 2020 届衡水中学高三期中考试 数学（文科）试卷 第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.复数321izii（i为虚数单位）的共轭复数为（）A1 2i B1 2i C1i D1 i 2.已知集合 0,1A，,Bz zxy xA yA，则B的子集个数为（）A8 B3 C4 D7 3.已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)abmm，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab（,为实数），则m的取值范围是（）A(,2)B(2,)C(,)D(,2)(2,)4.将函数 3sincosf xxx的图象向左平移m个单位(0)m，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A23 B3 C8 D56 5.已知等比数列 na中，3462,16aa a，则101268aaaa的值为（）A2 B4 C8 D16 6.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A3272 B3182 C273 D18 3 第 2 页 共 11 页 7.如图，偶函数()f x的图象如字母M，奇函数()g x的图象如字母N，若方程()0f g x，()0g f x的实根个数分别为m、n，则mn（）A12 B18 C16 D14 8.函数2)(1xaxf)1,0(aa的图象恒过定点A，若点A在直线01 nymx上，其中0,0nm，则nm21的最小值为（）A4 B5 C6 D223 9.三棱锥PABC中，PA 平面,1,3ABC ACBC ACBCPA，则该三棱锥外接球的表面积为（）A5 B2 C20 D4 10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A3024 B1007 C2015 D2016 11.已知函数32()3f xxxx的极大值为 m，极小值为 n，则 m+n=()A.0 B.2 C.-4 D.-2 第 3 页 共 11 页 12.某实验室至少需要某种化学药品 10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋 3kg，价格为 12 元；另一种是每袋 2kg，价格为 10 元.但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过 5 袋，则在满足需要的条件下，花费最少为（）元 A56 B42 C44 D54 第卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.与直线310 xy垂直的直线的倾斜角为 14.若函数(21)1()1axf xxx为奇函数，则a _ 15已知22:12,:210,(0)pxq xxaa，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 16 如图，在三棱锥ABCD中，2BCDCABAD，2BD，平面ABD 平面BCD，O为BD中点，点,PQ分别为线段,AOBC上的动点（不含端点），且APCQ，则三棱锥PQCO体积的最大值为_ 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17.(本小题满分 12 分）如图，在ABC中，030B，2 5AC，D是边AB上一点 （I）求ABC的面积的最大值；（）若2,CDACD的面积为 4，ACD为锐角，求BC的长 第 4 页 共 11 页 18(本小题满分 12 分）已知数列na中，11a，11()2nnnaa，记2nT为na的前2n项的和，221nnnbaa，Nn（1）判断数列 nb是否为等比数列，并求出nb；（2）求2nT.19.(本小题满分 12 分）如图所示，在多面体EFABC中，ABC是边长为 2 的等边三角形，O为BC的中点，/,3EFAO EAECEF （1）求证：ACBE；（2）若5,3BEEO，求点B到平面AFO的距离 第 5 页 共 11 页 20(本小题满分 12 分）如图，四棱锥ABCDP的底面ABCD为矩形，22AB，2BC，点P在底面上的射影在AC上，E，F分别是BCAB,的中点.（I）证明：DE平面PAC；（II）在PC边上是否存在点M，使得FM平面PDE？若存在，求出PCPM的值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分 12 分）设函数axxxxfln)(.（1）若函数)(xf在),1(上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在221,eexx，使axfxf)()(21成立，求实数a的取值范围.第 6 页 共 11 页 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号请在答题卡上将所做的题号后面的方框涂黑.22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，已知直线l:tytx21（t 为参数）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin2cos,直线l和曲线C的交点为,A B（）求直线l和曲线 C 的普通方程；（）求|PBPA 23已知函数 f xx，4g xxm （）解关于x的不等式 20gf xm；（）若函数 f x的图像恒在函数 g x图像的上方，求实数m的取值范围 高三期中考试文科数学参考答案 1-5.BADAB 6-10.BADA B 11.D 12.C 13.3 14.-1 15.(0,2 16.248 17.（1）因为在ABC中，030,2 5,BACD是边AB上一点，所以由余弦定理得：22222AC20ABBC2AB BCcosABCABBC3AB BC23 AB BC 第 7 页 共 11 页 所以2020 2323AB BC 所以ABC1SAB BCsinB5 232 所以ABC的面积的最大值为5(23)（2）设ACD，在ACD中，因为2,CDACD的面积为4，ACD为锐角，所以ABC11SAC CDsin2 52sin422 所以2 55sin,cos55，由余弦定理，得，2225ADACCD2AC CDcos20485165 所以4AD，由正弦定理，得sinsinADCDA，所以42sinsin A，所以5sin5A，此时sinsinBCACAB，所以sin4sinACABCB所以BC的长为4 18.（1）11()2nnnaa，1121()2nnnaa，212nnaa，即212nnaa 2 分 221nnnbaa，22112221221221111222nnnnnnnnnnaabaabaaaa 所以 nb是公比为12的等比数列.5 分 11a，1212a a，212a11232baa 1313()222nnnb 6 分（2）由（1）可知212nnaa，所以135,aaa是以11a 为首项，以12为公比的等比第 8 页 共 11 页 数列；246,aaa是以212a 为首项，以12为公比的等比数列 10 分 21321242()()nnnTaaaaaa 1111()1()322231121122nnn 12 分 19.（1）取AC的中点H，连接,EH BH，因为EAEC，所以EHAC，因为ABC为等边三角形，所以,BABC BHAC，因为BHEHH，所以AC 平面BEH，因为BE 平面BEH，所以ACBE（2）因为在EAC中，3,2EAECAC，所以3 12EH ，因为ABC为等边三角形，所以3BH，因为5BE，所以222EHHBBE，所以EHHB，因为ACHBH，所以EH 平面ABC，又因为3434ABCS，所以163233E BCAV，因为EF/AO，所以63FBCAE BCAVV,因为3EO，四边形AOFE为平行四边形，3EAEF，第 9 页 共 11 页 所以0133120,333224AOFAOFS，设点B到平面AFO的距离为d，由1626B AFOFBCAVV，得1363346d，解得2 23d 20.（I）在矩形ABCD中，:2:1AB BC，且E是AB的中点，tanADE=tan12CAB,ADE=CAB,CAB DAC90,ADE DAC90,即ACDE.由题可知面PAC 面ABCD，且交线为AC，DE 面PAC.DABEFCPMGH（II）作DC的中点G，GC的中点H，连结GB、HF.DGEB，且DG EB 四边形EBGD为平行四边形，DEGB F是BC的中点，H是GC的中点，HFGB，HFDE.作H作HMPD交PC于M，连结FM，HFDE,HMPD，平面HMF平面PDE，FM平面PDE.由HMPD可知：3PMDHMCHC 21.（1）函数定义域为：1,0 xxx且，对函数)(xf求导：axxxf2ln1ln)(，若函数)(xf在),1(上为减函数，则0ln1ln)(2axxxf在),1(恒成立 所以：0)(maxxf 2 分 第 10 页 共 11 页 由axaxxxf41)21ln1(ln1ln)(22，故 当21ln1x，即2ex 时，041)(maxaxf 所以：41a，所以a的最小值是415 分（2）若存在221,eexx，使axfxf)()(21成立，则问题等价为：当221,eexx时，axfxf)()(maxmin 由（1）知：)(xf 在2,eex的最大值为a41，所以41)(maxaxf 所以问题转化为：41)(minxf7 分（）当41a时，由（1）知：)(xf在2,ee是减函数，所以)(xf的最小值是412)(222aeeef，解得：24121ea（）当41a时，axxf41)21ln1()(2在2,ee的值域是aa41,当0a，即0a时，)(xf在2,ee是增函数，于是：41)()(mineaeeefxf，矛盾 当0a，即410 a时，由)(xf 的单调性和值域知：存在唯一的20.eex，使得0)(0 xf 且当0,xex时，0)(xf，)(xf为减函数；当20,exx时，0)(xf，)(xf为增函数 所以：)(xf的最小值为41ln)(0000axxxxf，即：41412141ln141ln1200eeexxa，矛盾 综上有：24121ea 第 11 页 共 11 页 22解：（1）直线l的普通方程是：03 yx，曲线 C 的普通方程是：xy224分（2）将直线l的标准参数方程是：tytx222221（t 为参数）代入曲线xy22可得 04262tt，所以26|2121ttttPBPA10 分 23.（）6,22,6；（）4m 解：（）由 20gf xm得42x，242,26xx ，故不等式的解集为 6,22,6 （5 分）（）函数 f x的图象恒在函数 g x图象的上方 f xg x恒成立，即4mxx恒成立 444xxxx，m的取值范围为4m （10 分）
