微分的概念、性质及应用.pdf
第 二 章 第 6 节：函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学容：1.微分的定义计算函数增量y fx0 x fx0是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x0变到x0 x（图 2-1），问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数：A x2。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量x自x0取得增量x时，函数A相应的增量图 2-1A，即2A x0 x x0 2x0 xx。22从上式可以看出，A分成两部分，第一部分2x0A是A的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分x在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当2x 0时，第二部分x是比x高阶的无穷小，即x 0 x。由此可见，如果边22长改变很微小，即x很小时，面积的改变量A可近似地用第一部分来代替。一般地，如果函数y fx满足一定条件，则函数的增量y可表示为y Ax 0 x，其中A是不依赖于x的常数，因此Ax是x的线性函数，且它与y之差y Ax 0 x，是比x高阶的无穷小。所以，当A 0，且x很小时，我们就可近似地用Ax来代替y。定义定义设函数设函数y fx在某区间有定义，在某区间有定义，x0 x及及 x x0在这区间，如果函数的增量在这区间，如果函数的增量y fx0 x fx0可表示为可表示为y Ax 0 x，其中其中A是不依赖于是不依赖于x的常数，而的常数，而0 x是比是比x高阶的无穷小，那么称函数高阶的无穷小，那么称函数y fx在点在点x0是可微的，而是可微的，而Ax叫做函数叫做函数y fx在点在点x0相应于自变量增量相应于自变量增量x的微分，记作的微分，记作dy，即即dy Ax。定理定理 1 1函数函数fx在点在点x0可微的充分必要条件是函数可微的充分必要条件是函数fx在点在点x0可导，且当可导，且当fx在在点点x0可微时，其微分一定是可微时，其微分一定是dy f x0 x。设函数y fx在点x0可微，则按定义有式成立。式两边除以x，得y0 x。Axx于是，当x 0时，由上式就得到A limy f x0。x0 x因此，如果函数fx在点x0可微，则fx在点x0也一定可导（即f x0存在），且A f x0。反之，如果y fx在点x0可导，即y f x0 x0 xlim存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成其中 0（当x 0）。由此又有y f x0，xy f x0 x x。因x 0 x，且不依赖于x，故上式相当于式，所以fx在点x0也是可微的。由此可见，函数fx在点x0可微的充分必要条件是函数fx在点x0可导，且当fx在点x0可微时，其微分一定是dy f x0 x。例例 1 1 设yexcosx，求dy解：解：dyexcosxexsinxdxdy ex(cos x sin x)dx微分在近似计算中的应用：微分在近似计算中的应用：在f x00的条件下，以微分dy f x0 x近似代替增量y fx0 x fx0时，相对误差当x 0时趋于零。因此，在x很小时，有精确度较好的近似等式y dy。即fx0 x fx0 f x0 x或f(x)f(x0)f(x0)x特别地，当x00,x很小时，有f(x)f(0 0)f(0 0)x（3）（3）式是计算零点附近的函数值当x很小时，有下列近似计算公式：n1 1 x 1 11 1xsin x xtgx xex1 1 xnln(1 1 x)x例 证明：n1 1 x 1 11 1（当x很小时）x。n令f(x)n1 1 x1 11 11 1n f(0 0)(1 1 x)|x0 0nn1 1因为f(0 0)1 1由f(x)f(0 0)f(0 0)x故，当x很小时，n1 1 x 1 11 1xn例例 2 2 一个充好气的气体，r 4 4m，升空后，因外面气压降低，气球半径r增大了 10cm，求体积增加了多少？解：解：因为V 4 4r3 33 34 43 3r)x 4 4r2 2x3 3所以V dv(4 43 3.14144 42 20 0.1 1 2020(m3 3)例例 3 3 求4 4.2 2的近似值解解设f(x)x,取x0 04 4,x 0 0.2 2，则x 4 4.2 2所以或者：f(x)1 12 2 xf(4 4)2 2f(4 4)1 14 44 4.2 2 f(4 4)f(4 4)(4 4.2 2 4 4)2 2.05054 4.2 2 4 4(1 10 0.0505)2 2 1 10 0.0505 2 2(1 10 0.5 50 0.0505)2 2.05052.2.微分的几何意义微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。在直角坐标系中，函数y fx的图形是一条曲线。对于某一固定的x0值，曲线上有一个确定点Mx0，y0当自变量x有微小增量x时，就得到曲线上另一点Nx0 x，y0 y.从图 2-2 可知：MQ x，图 2-2QN y。过 M 点作曲线的切线,它的倾角为，则QP MQtan x f x0，即dy QP。由此可见，当y是曲线y fx上的 M 点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上M 点的纵坐标的相应增量。当x很小时，y dy比x小得多。因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。3.微分运算法则及微分公式表由dy f xdx，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当u、v都可导）：du v du dv，dCu Cdu，duv vdu udv，u vdu udvd。2vv微分公式表：d xx1dx，dsin x cosxdx，dcosx sin xdx，dtan x sec2xdx，dcot x csc2xdx，dsecx secxtan xdx，dcscx cscxcot xdx，d ax axlnadx，d ex exdx，dlogaxdln x1dx，xlna1dx，x11 x2darcsin xdx，darccos x 11 x2dx，darctanx1dx，21 x1darccot x dx。1 x21x注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如：dx 2dx，11，dx d2xx1dx dax b，a1axdx dax。lna4.复合函数微分法则与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设y fu及u x都可导，则复合函数y fx的微分为xdx。dy yxdx fu由于xdx du，所以，复合函数y fx的微分公式也可以写成du。dy f udu或dy yu由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式dy f udu保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时（即设u为另一变量的任一可微函数时），微分形式dy f udu并不改变。例例 4 求yesin x的微分解解dyd(esin x)esin xdsinxesin xcosxdx自我训练：（1）y ln 1 ex，求dy。（2）y lnx2 a2 x，求dyx0。（3）有一半径为R的铁球，镀上 0.01cm 厚的银，问大约用多少体积的银。小结：本节讲述了微分的定义，练习了微分的运算和利用微分作近似计算希望大家熟记微分公式，为以后学习积分大好基础
