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相似三角形典型例题 例 1.如图，P 为 RtABC 斜边 AB 上任意一点（除 A、B 外），过点 P 作直线截ABC，使截得的新三角形与ABC 相似，满足这样条件的直线的作法共有（）A、1 种 B、2 种 C、3 种 D、4 种 错解：过点 P 可作 PEBC 或 PEAC，可得相似三角形。选 B 解：过点 P 可作 PEBC 或 PEAC，可得相似三角形；过点 P 还可作 PEAB，可得：EPA=C=90，A=A APEACB；共有 3 条 选：C 点拨：在一个问题有多种情况时，分类小心有遗漏。例 2.如图所示，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 相交于 O，试问：AOB 和DOC是否相似 错解：AOBDOC.理由如下：在AOB 和DOC 中，ADBC，,AOB=DOC，AOBDOC 正解：要得到AOBDOC，如果由两边对应成比例且夹角相等，则应得到；而这位同学根据平行线型得到AODCOB，则。以上两个比例式是不一样的.所以该学生的解答是不正确的。例 3.如图 1，在 44 的正方形方格中，ABC 和DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上。（1）填空：ABC_，BC_；（2）判断ABC 与DEF 是否相似，并证明你的结论。图 1 解：（1）ABC135，BC 2 2（2）能判断ABC 与DEF 相似（或ABCDEF），这是因为ABCDEF135，ABDEBCEF2 ABCDEF 评析：本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应用，思维能力得以提高。例 4 如图 2 所示，某市经济开发区建有 B、C、D 三个食品加工厂，这三个工厂和开发区 A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且 ABCD900米，ADBC1700 米。自来水公司已经修好一条自来水主管道 AN，B、C 两厂之间的公路与自来水管道交于 E 处，EC500 米。若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价 800 元。图 2（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计并在 图形中画出；（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元 解：（1）过 B、C、D 分别作 AN 的垂线段 BH、CF、DG，交 AN 于 H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道线路。如图 3 所示。图 3$（2）BEBCCE17005001200（米）AEABBE221500（米）ABECFE 得CFABCEAE CFCEABAE5009001500300（米）BHECFE，得CFBHCEBE BHBECFCE1200300500720（米）ABEDGA，ABDGAEAD DGABADAE900170015001020（米）所以，B、C、D 三厂所建自来水管道的最低造价分别是720800576000（元），300800240000（元），1020800816000（元）。评析：将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊，但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学。、例 5.在ABC 中，B25，AD 是 BC 边上的高，并且ADBDDC2，则BCA的度数为_。解：（1）当高 AD 在ABC 内时，如图 4。图 4，ADBDDCADBDDCAD2 又ADBCDA，ADBCDA BADACD CADACD90 CADBAD90 B25，BCA65、（2）当高 AD 在ABC 外时，如图 5。图 5 同理可证ADBCDA ABDCAD25 ACD65 BCA180ACD115 评析：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法。例 6.定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形。探究：（1）如图 6，已知ABC 中C90，你能把ABC 分割成 2 个与它自己相似的小直角三角形吗若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由。￥图 6（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。我们把DEF（图 7）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为 1 阶分割（如图 7-1）；把 1 阶分割得出的 4 个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为 2 阶分割（如图 7-2）依此规则操作下去。n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n 为正整数），设此时小三角形的面积为Sn。若DEF 的面积为 10000，当 n 为何值时，23Sn（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）当 n1 时，请写出一个反映SSSnnn11，之间关系的等式（不必证明）。解：（1）如图 8，过点 C 作 CDAB，垂足为 D，CD 即是满足要求的分割线。图 8 理由：BB，CDBACB90 BCDACB（2）DEF 经 n 阶分割所得的小三角形的个数为14n Snn100004 当n 5时，SS5510000977.当 n6 时，SS6610000244.当 n7 时，SS7710000061.当 n6 时，236S SSSnnn211 评析：这道题的求解过程反映了标准所倡导的数学活动方式，如观察、实验、推理、猜想，而不仅仅是记忆，模仿，从而明白：研究问题要由表及里，由此及彼，学以致用。